Hiện đã có đề TST January, xin mạn phép đăng để hoàn thiện topic.
Bài 1: Cho số nguyên dương $n$ và $S\subseteq\{0,1\}^n$ là một tập các xâu nhị phân độ dài $n$. Cho một số lượng lẻ các xâu (không nhất thiết phân biệt) $x_1,\, x_2,\, \dots ,\, x_{2k+1}\in S$, ta gọi "đa số" của chúng là xâu $y\in\{0,1\}^n$ sao cho bit thứ $i$ của $y$ là bit xuất hiện nhiều lần nhất trong số các bit thứ $i$ của $x_1,\, x_2,\, \dots ,\, x_{2k+1}$ (ví dụ, khi $n=4$, "đa số" của 0000, 0000, 1101, 1100, 0101 là 0100.)
Giả sử với số nguyên dương $k$ nào đó $S$ có tính chất $P_k$ sao cho đa số của bất kỳ $2k+1$ xâu trong $S$ (có thể có trùng lặp) cũng thuộc $S$. Chứng minh rằng $S$ cũng có tính chất $P_k$ với mọi $k$.
Bài 2: Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi, sao cho nó có hai đường chéo vuông góc nhau tại $H$, và không có hai cạnh kề nhau nào bằng nhau. Gọi $M,\ N$ lần lượt là các trung điểm các đoạn $BC, \, CD$. Các tia $MH$ và $NH$ cắt các đoạn $AD,\, AB$ lần lượt tại $S$ và $T$. Chứng minh rằng tồn tại điểm $E$ nằm bên ngoài $ABCD$ sao cho:
$\quad \bullet$ tia $EH$ chia đôi các góc $BES$, $TED$ và
$\quad \bullet$ $\angle BEN = \angle MED$.
Bài 3: Alice và Bob cùng chơi một trò chơi. Đầu tiên Alice bí mật chọn một tập hữu hạn $S$ các điểm nguyên trên mặt phẳng Đề-các. Sau đó, với mọi đường thẳng $\ell$ trên mặt phẳng mà song song với trục tung hay trục hoành hay có hệ số góc bẳng $\pm 1$, Alice nói cho Bob biết số điểm thuộc $S$ mà $\ell$ đi qua. Bob dành chiến thắng nếu anh ta có thể xác định được $S$.
Chứng minh rằng nếu Alice chọn một tập $S$ có dạng
$$S = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid m \le x^2 + y^2 \le n\}$$
với số nguyên dương $m, n$ nào đó, Bob có thể thắng trò chơi này (Bob không hề biết rằng $S$ có dạng trên.)