Isidia

1. Về sức khoẻ, theo Nesbit thấy thì việc theo đuổi Toán không đòi hỏi nhiều sức khoẻ hơn so với những ngành khác, như ngành Ngôn Ngữ học mà bạn chọn chẳng hạn. Nếu bạn muốn theo đuổi ngành Thể dục Thể thao thì lại là một câu chuyện khác.

 

 

Thực ra mình bị một chứng bệnh thần kinh mà không dùng thuốc sẽ bị phát chứng. Bệnh này được psychiatrist của mình chẩn đoán là generic, tức không rõ nguyên do, nhưng mẹ mình tin nó bắt đầu phát chứng từ lúc mình học community college năm 2017 và do quá cố gắng học xong lóp Precalculus II nên mình mắc bệnh. Cá nhân mình nghĩ mình đã có dấu hiệu từ trước đó, nhưng mình không phải bác sỹ nên không dám nói. Buồn cười là nếu mẹ mình đúng thì tại sao khi mình học Calculus I, mình không bị, vì Calculus I dễ hơn Precalculus II là cái chắc.

 

 

2. Về khả năng, nếu để làm Toán chuyên nghiệp (tức là kiếm sống bằng việc nghiên cứu Toán) thì đúng là cần có một mức tài năng nhất định (mặc dù nhận định này cũng đáng để bàn thêm, vì tài năng phần lớn cũng là từ rèn luyện mà ra). Nhưng "theo đuổi Toán" không chỉ có một con đường đi lên Toán chuyên nghiệp, có thể học Sư Phạm hay thậm chí chỉ là Cao Đẳng Toán để dạy học chẳng hạn, mà con đường như vậy theo Nesbit thì không cần tài năng xuất chúng gì cả.

 

 

Mình mất căn bản Toán rất nặng (tới giờ chưa hiểu vì sao tỷ lệ thuận là y=kx và tỷ lệ nghịch là y=k/x). Mình học kém Toán ở VN từ hồi tiểu học. Lớp 5 mém rớt vì thi trượt. Những năm sau cũng không khá khẵm gì hơn nhưng điểm thấp nhất cũng là 4.5; 5. Do trục trặc hoài môn này mà mẹ mình chuyển mình sang học trước international. Nếu gia đình không hi sinh làm cật lực để mình có điều kiện thì mình nghĩ mình sẽ học ở hóc bà tó nào đó và mãi mãi không ngước đầu lên được trong xã hội Việt Nam lúc bấy giờ.

 

 

3. Về tính kế thừa và truyền cảm hứng qua các thế hệ, chủ đề chính của topic, thì không chỉ môn Toán mà rất nhiều môn học khác như Lý, Hoá, Sinh (hay Tiếng Anh) cũng phần nào tương tự, có lẽ do bạn dành sự quan tâm nhiều hơn đến Toán nên mới chú ý về điểm này ở môn Toán mà thôi. Về Ngôn Ngữ học thì Nesbit không rành, nhưng suy luận một cách tự nhiên thì không nhiều người học ở VN (học sinh không được học mà phải lên đại học và phải chọn đúng ngành đó thì mới được học), nên tất nhiên "phong trào" không thể nào bì được với những môn khác đặc biệt là môn Toán. Tuy nhiên nếu nhìn rộng ra thế giới thì ngôn ngữ học (linguistics) cũng là một ngành rất phát triển.

 

 

Mình từng học THPT ở trường VN với giáo trình và giáo viên VN nên theo mình quan sát, những nhóm chuyên Toán, Lý, Hóa đã có, mình không rõ có Anh không, nhưng Toán vẫn mạnh và sôi nổi nhất. Mình nghĩ có lẽ do quá trình học tệ quá nên mình đâm ra không biết gì về các lớp chuyên các môn cả.

 

Ngược với điểm Toán, điểm Hóa và Lý của mình không tồi lắm, 6-7 điểm. Sinh vật là môn mình thích nhất. Nhưng trội nhất vẫn là tiếng Anh vì mình được 9-10 thường xuyên. Thầy giáo cũng khen mình phát âm "chuẩn" (theo cấp độ "chuẩn" ở lứa tuổi ấy) và đá thêm một vế "chuẩn như Mỹ già".

 

 

Nếu có điều gì có thể giúp ích cho bạn hiện tại: Nesbit cho rằng với làn sóng AI mấy năm trở lại đây thì những ai theo đuổi ngành linguistics cũng có tương lai khá sáng sủa nếu làm việc trong intersection giữa linguistics và NLP. Bạn có thể cân nhắc về hướng này. Sẽ được học thêm về Toán. Nếu đã thích Toán mà công việc không có Toán thì thật là uổng phí.

 

 

Cũng gần đây thôi mình rất quan tâm đến machine translation, vì mình nghĩ nó là một trong những thành tựu lớn lao nhất của AI. Nó mở ra cánh cổng trí thức cho rất nhiều người, và nếu hoàn thiện hơn, sẽ xóa nhòa ranh giới ngôn ngữ giữa con người với nhau.

 

Nhưng ngành này đòi hỏi phải học nhiều về Toán thống kê và khoa học máy tính (computer science), cộng thêm một lô các môn Hóa-Lý, vả lại cũng khác selective ở bậc undergrad, không chắc đã được chuyển thẳng từ community college vào State University of Ohio nên mình từ bỏ. Không phải mình chán Toán mà là mình sợ bệnh tái phát.

 

Rốt cục mình chọn Speech Language Pathology vì tính mình rất phù hợp với nó. Dĩ nhiên, nó cũng có nhiều thử thách riêng nhưng mình tin mình vượt được.

 

Cám ơn bạn đã trả lời chi tiết bài của mình.

 

Theo ý kiến cá nhân của mình, sự sôi nổi này bắt nguồn từ việc nhà nước ta copy mô hình giáo dục Toán của Liên Xô. Mình cũng đã đọc một vài tài liệu về giáo dục Liên Xô thời Israel Gelfand và Andrey Kolmogorov, và họ rất thành công trong việc xây dựng các trường đặc biệt chuyên dạy Toán. Đó là thời vàng son của toán học Nga-Soviet. Nhà toán học lỗi lạc Perelman cũng là học trò thời kỳ này. 

 

Tiếc là ở VN, bệnh thành tích đã khiến cho mô hình này biến chất.

 

Tệ hại hơn, gymnasium tức các trường chuyên lớp chọn của Liên Xô chia thành ít nhất 2 loại theo mình biết: 1) Toán, Lý, Hóa; 2) Ngoại ngữ. Ở VN chỉ copy có 1) mà thôi.

Quên nói là bên cạnh những việc kể trên, mình thấy hoạt động thi học sinh giỏi Toán ở VN cũng rất sôi nổi. Dù ai cũng có thể chửi bới chỉ trích những cuộc thi này nhưng nó cũng có tác dụng tích cực nhất định giúp hun đúc khả năng và tài năng Toán.

 

Ngó qua môn tiếng Anh hay ngôn ngữ học chẳng hạn, chẳng có bất cứ cái gì để ươm mầm hết cả.

 

Có vẻ như Việt Nam yêu Toán tới mức nghẹt thở do siết chặt nó trong vòng tay mình vậy.

 This series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)=\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$ has attracted my curiosity because many prominent mathematicians in the XVIII century came up with contradictory results. Chiefly among these mathematicians are Euler and Lagrange. I have introduced this series in this thread, so please visit it to learn more on how Euler derived it.

Lagrange's approach

I have kept the links to many papers written by Euler, Lagrange, Daniel Bernoulli and d'Alembert on the famous problem of vibrating string. Among these papers, I am particularly interested in a paper of Lagrange entitled "Recherche sur la nature et la propagation du son" (Research on the nature of the propagation of wave) (see the entire work here). On page 110, he wrote:

"Supposons, pour simplifier le calcul, que la séries dont on veut prendre la somme soit généralement"

$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)...$$

He rewrote the series in exponential forms, and formed a sum of two infinite terms:

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\dfrac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+\dfrac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}...$$

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}}{2}...+=\dfrac{e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}}{2}...$$

$$=\dfrac{1}{2}\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}...\right]+\dfrac{1}{2}\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}...\right]$$

Here we have two infinite geometric series with the common ratio $e^{ix}$ and $e^{-ix}$. We can write it in the form $\dfrac{1}{1-e^{ix}}$, but we need to subtract $1$ because the geometric series has $1$ as its first term, while our series do not have this.

$$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{ix}}-1\right]+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{-ix}}-1\right]$$

$$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{ix}}-\dfrac{1-e^{ix}}{1-e^{ix}}\right]+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{-ix}}-\dfrac{1-e^{-ix}}{1-e^{-ix}}\right]$$

$$=\dfrac{e^{ix}}{2(1-e^{ix})}+\dfrac{e^{-ix}}{2(1-e^{-ix})}$$

Adding them together, we have:

$$\dfrac{e^{ix}(1-e^{-ix})+e^{-ix}(1-e^{ix})}{2(1-e^{ix})(1-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{e^{ix}-+e^{-ix}-2}{2(1-e^{ix}-e^{-ix}+1)}=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2(-e^{ix}-e^{-ix}+2)}-\dfrac{2}{2(2-e^{ix}-e^{ix})}$$

$$=\dfrac{\cos(x)-1}{2-e^{ix}-e^{-ix}}==\dfrac{\cos(x)-1}{2-2\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}\right)}=\dfrac{\cos(x)-1}{2(1-\cos(x))}=-\dfrac{1}{2}$$

Thus, according to Lagrange, this series has the sum of $-\dfrac{1}{2}$.

However, we plug $x=0$ into $\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$, we will have a series of the form $1+1+1+1+1...=+\infty$

So this series admits two value. In our modern view, it is divergent. Yet Lagrange held on so tightly that he offered us an explanation that was very characteristic of mathematicians of his generation:

Mais, dira-t-on, comment peut-il se faire que la somme de la suite infinis $\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$ soit toujours égale à $-\dfrac{1}{2}$, puisque dans le cas $x=0$, elle devient nécessairement égale à une suite d'autant d'unités? Je ré ponds que cela provient des termes qui se détruisent naturellement dans tous les cas, excep té dans celui òu $x=0$. (page 111)

Lagrange then proceeds to examine the partial sum of this series. 

"Pour rendre la chose plus sensible, cherchons la somme de la suite:"

$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+...\cos(mx)$$

He used the formula for summing finite geometric series $\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}$. Rewrite the finite given series above as:

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}+...e^{mix}}{2}+\dfrac{e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}+...e^{-mix}}{2}$$

Apply the formula, substracting $1$ from the series as above, we have:

$$\dfrac{1-e^{(m+1)ix}}{1-e^{ix}}-\dfrac{1-e^{ix}}{1-e^{ix}}+\dfrac{1-e^{-(m+1)ix}}{1-e^{-ix}}-\dfrac{1-e^{-ix}}{1-e^{-ix}}=\dfrac{e^{ix}-e^{(m+1)ix}}{2(1-e^{ix})}+\dfrac{e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}}{2(1-e^{ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}-e^{(m+1)ix})(2-2e^{-ix})+(2-2e^{-ix})(e^{-ix}-e^{-(m+1)ix})}{4(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{\color{red}{2}(e^{ix}-1-e^{(m+1)ix}+e^{mix}+e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}-1+e^{-mix})}{\color{red}{4}(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}-1-e^{(m+1)ix}+e^{mix}+e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}-1+e^{-mix})}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}+e^{-ix}-e^{mix}+e^{-mix}-(e^{(m+1)ix}+e^{-(m+1)ix})-2)}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}+\dfrac{e^{mix}+e^{-mix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}-\dfrac{e^{(m+1)ix}+e^{-(m+1)ix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}-\dfrac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{\cos(x)+\cos(mx)-\cos[(m+1)x]-1}{2-2\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}=\dfrac{\color{red}{\cos(x)}+\cos(mx)-\cos(m+1)\color{red}{-1}}{2\color{red}{(1-\left(\cos(x)\right)})}$$

$$=\dfrac{\cos(mx)-\cos[(m+1)x]}{2{(1-\left(\cos(x)\right)})}-\dfrac{1}{2}$$

 

Proof that the concerned series is divergent for all $x$

In order to prove this, we need two theorems that are encountered in Calculus and Analysis:

Theorem 1: If a series is convergent, this implies that the limit of the sequence that makes up that series must tend to 0. 

Theorem 2 (this theorem is pointed out to me by Nguyễn Mạnh Linh, but the blog that contains this theorem along with its proof has been deleted):

Let $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ be a sequence of real numbers, with $x$ being given. If all subsequences of $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to a limit, then $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ also converges to that limit.

Now, using theorem 1, let assume that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty cos(nx)$ is convergent. This implies that the sequence $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}$ converges to zero as n tends to infinity. Applying theorem 2, this imples that all subsequences of $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to 0. Now, for the sequence $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}=\cos(x), \cos(2x), \cos(3x), \cos(4x),...$, we can extract a subsequence $(cos(2nx))_{n=1}^{+\infty}=\cos(2x), \cos(4x),...$ that tends to zero as n approaches infinity. This means $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(2nx)=0$.

From trigonometry, we know that $\cos(2nx)=2\cos^2(nx)-1$. If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(nx)=0$, this means $\displaystyle\lim_{n\to\infty} 2\cos^2(nx)-1=2\cdot 0-1=-1$. This proves that  $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(2nx)=-1$, hence  $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(nx)=0$ is impossible. Thus, the series is divergent.

I wish to thank Vũ Tuấn Hiền for providing me guidance to this problem. His direction is important for me to decisively prove that this series is divergent.

Historical commentary:

 

This series and the method of using to sum it is demonstrated by the famed French mathematician Henri Lebesgue in his small lecture note on trigonometric series entitled "Leçons sur les séries trigonométriques professées au Collège de France" (page 35, section 21). He wrote: "Que l'on donne à la methode l'une ou l'autre forme, elle n'est rigoureuse que si l'on a étudié pour $|z|=1$, la série qui joue le rôle de (Z). Dans ce cas particulier, elle conduit à un résulta exact, mais, dans d'autres cas, elle peut conduire à des résultas incorrects, c'est ainsi que Lagrange écrivait l'égailité

$$0=\dfrac{1}{2}+\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$$

alors que la série du second membre est divergent, comme on le voit en calculant la somme de ses n premiers termes."

 

Mình từng muốn theo đuổi Toán nhưng do sức khỏe và khả năng nên không thể theo đuổi tiếp.

 

Mình quay lại với lĩnh vực mà mình giỏi nhì, sau lĩnh vực mình giỏi nhất là Sử học, đó là Ngôn ngữ học. Hiện mình đang theo đuổi ngành bệnh lý ngôn ngữ và phát âm (speech language therapy). Mình hiện đang ở Việt Nam, nhưng sẽ qua Mỹ để theo đuổi.

 

Có một điều mình thấy thật đáng trân trọng là thế hệ này đến thế hệ khác các học sinh giỏi Toán nối tiếp nhau để truyền cảm hứng và đam mê cháy bỏng. Mình thấy các bạn đã thành công lớn như Nguyễn Mạnh Linh hay Phạm Khoa Bằng đều chia sẻ kiến thức cho các em nhỏ hơn. Đến như mình, một người lạc đường ngoài ngành cũng được hưởng lây cái sự đam mê ấy, trong khi ngành Ngôn Ngữ học giống một bãi sa mạc hay con tàu ma. Lóp trước chẳng truyền gì cho nỗi cho lớp sau. Các dự thảo cũng khan hiếm. Chẳng ai tề tựu sau giờ học để cùng thảo luận và làm bài cùng nhau.

 

Điều gì khiến các bạn, những học sinh và sẽ là nhà Toán học tương lai, nối tiếp nhau để tiếp sức cho đam mê như vậy?

 

PS: Nhận định của mình về ngành Ngôn Ngữ Học chủ yếu dựa vào kinh nghiệm rất gần đây khi đi dự thính các lớp Hán-Nôm ở ĐHKHXHNV ở TP.HCM

 

Thật đáng thương khi các nhà khoa học thần kinh cố gắng hiểu làm thế nào não bộ phát triển toán học nói chung, họ thường tỏ ra nhầm lẫn toán học với "cảm giác số" (tạm dịch từ number sense). Cái thứ hai là một khoa tri thức rất khác biệt, vốn hoàn toàn tách rời khỏi toán học (có hằng tá ví dụ về những nhà toán học nổi tiếng mà chẳng tý cảm giác số nào). Toán học có nghĩa là tạo ra các cấu trúc và nói riêng, những con số tỏ ra là một cấu trúc thú vị, nhưng nhưng điều đó là khá xa khi kết nối với toán học nói chung.

 

Anh nghĩ sự "nhầm lẫn" này tới từ sự thay đổi lớn lao về tính chất của Toán học (paradigm shift). Có những thời kỳ trước đây mà "cảm giác số", hay "cảm giác ký hiệu Toán" (symbolic feeling) và các quy luật biến đổi chúng đóng vai trò quan trọng trong những kỹ năng mà một nhà Toán học thành công phải có. Đó là những thời kỳ của Newton hay Euler, khi mà những lý thuyết mang tính cấu trúc rất trừu tượng và xa vời tầm với của trực giác chưa xuất hiện. Khi xem qua các bài viết của những nhà Toán học lớn nhất và lỗi lạc nhất thời kỳ này, như Lagrange, Euler, Laplace, những phép biến đổi xuất thần, những mẹo tính toán tinh tế thể hiện qua từng trang của họ. Những kỹ năng và trực giác này vẫn còn nằm lại với các bài toán sơ cấp của các bạn học sinh giỏi THPT. Có nhiều bạn có thể bỏ qua các bước biến đổi và "tính trong đầu". Đây là một khả năng bẩm sinh quan trọng, một tố chất cần thiết để trở thành một học trò giỏi hay xuất sắc Toán.

 

Nhưng để trở thành một nhà nghiên cứu chuyên nghiệp ngày nay thì những trực giác tinh tế như thế không còn là đủ nữa. Đến thế kỷ 19, những khái niệm mang tính cấu trúc mà nay thuộc lĩnh vực Abstract Algebra xuất hiện. Đó là những khái niệm như nhóm, vành, trường. Đây là hạt mầm cho tính cấu trúc mà em đề cập tới. Như các tác giả nổi tiếng Liên Xô viết trong cuốn "Mathematics: Its Content, Method and Meaning", Toán học là lĩnh vực tiến rất sâu vào địa giới của sự trừu tượng, hãy đọc phần quote này:

 

 

(Abstractions of Mathematics) occurs in a sequence of increasing degrees of abstractions, going much further in this direction than the abstractions of other sciences.

 

Vì em là một nhà Toán học đang theo đuổi toán học lý thuyết (hay thuần túy), và vì em đã vật lộn rất nhiều với những khái niệm trong những ngành Toán học khá trừu tượng ở bậc THCS và đại học, em chắc chắn sẽ đồng ý với sự nhận xét này.

 

Những đầu óc lớn lao của Toán học ngày nay là những người phải làm quen với sự trừu tượng cao độ và tính phức tạp đa hình đa dạng của các nền Toán học hiện đại. Anh không hiểu gì về Grothendieck, nhưng ông ấy chắc chắn phải là một thiên tài với bộ óc suy nghĩ hết sức trừu tượng.

 

Thật đáng tiếc khả năng Toán của anh rất hạn chế nên anh bất lực khi chiêm nghiệm bản chất của sự trừu tượng của Toán học. Nhưng đó chính là một trong hai yếu tố nêu trên khiến người ta nhầm tưởng "cảm giác số" là dấu hiệu của sự thành công của một người có khả năng Toán. Hai yếu tố ấy là gì? Là tính cấu trúc hóa và tính trừu tượng cao độ của Toán học ngày nay.

Hello mọi người!
Mình từng học qua Calculus 1 và đã từng tiếp xúc với khái niệm giới hạn. Trong khuôn khổ chương trình, mình chỉ được giới thiệu qua loa định nghĩa epsilon delta. Mình được cho xem hình ảnh graph của "một đường cong bất kỳ". Vậy thôi!

 

Sau đó là chấp nhận tất cả các luật giới hạn như giới hạn tổng, giới hạn tích, giới hạn thương 2 hàm số. Sau này mình ngồi tự chứng minh các định luật kia với sự hướng dẫn của bạn Nguyễn Mạnh Linh thì thấy rất khó khăn, phải nói cực khó vì không hiểu mình đang làm gì hết cả.

 

Quan trọng hơn khi học, người ta chỉ nói giới hạn tồn tại khi nào, chứ không giải thích gì về việc khi nào và tại sao một giới hạn không tồn tại.

 

Mình muốn hỏi có ai có thể dùng ngôn ngữ đơn giản giải thích ý nghĩa epsilon delta và những trường hợp mà giới hạn không tồn tại được không?

 

Tính mấy cái giới hạn hàm hố đã có wolfram lo, hiểu nó mới khó!

Mình không dám nói gì hết vì kiến thức Toán căn bản của mình rất tệ.

 

Nhưng theo mình biết, $\frac{dy}{dx}$ thời Leibnitz là tỷ lệ đại lượng cực bé (infinitement petit) $y$ trên đại lượng cực bé $x$. Không rõ trong Toán học hiện đại, nó có ý nghĩa gì mới.

Sao không thấy ai nói gì về phương trình đạo hàm và ứng dụng Vật Lý nhỉ?

Xã hội thì cũng không cần quá nhiều người làm toán nên từ phong trào này mà chắt lọc ra vài bạn đi học Toán cũng là quý rồi; nhưng mà cách tư duy ở Toán phổ thông thì đúng là đôi khi lại thấm đậm vào các bạn học nó quá sâu đến nỗi ngạc nhiên với Toán cao cấp (dù không cao cấp lắm!). Diễn đàn hay thay đổi bộ mặt qua từng thời kỳ như sóng vậy, tùy vào từng lứa.

Cần chuyên nghiên cứu Toán có lẽ không nhiều, nhưng cần có kiến thức tổng quát và hiểu Toán căn bản thì rất nhiều. Người ta chắc chắn sẽ suy nghĩ chín chắn hơn nếu được học Toán một cách đúng đắn, mình tin vậy.

 

- Lịch sử toán học: Mr handsome ugly

Lịch sử toán chắc viết thu hẹp, liên quan trực tiếp đến chủ đề đang thảo luận và học tập thôi. Chứ sách vở ngành này viết đến bây giờ đều không đạt chuẩn ok. Thậm chí các tác phẩm được cho xuất bản bởi nhà xuất bản danh giá Springer cũng không chất lượng lắm. Nhìn chung ngành này ít người đầu tư nghiên cứu nghiêm chỉnh. Chắc tại không mấy ai quan tâm nhiều lắm.

Chứ chả nhẽ cho các em làm hình học đại số trong đề thi? Đùa thôi, em pick bất kì một trong các lý do sau thì có thể xem như câu trả lời của anh.

1) Nó vô dụng vì không có ứng dụng gì?
2) Vì thi Olympic cũng vô dụng không kém?
3) Vì các thầy biết nó vô dụng nhưng bỏ thi thì không được?
4) Có vài thầy giả vờ rằng nó không vô dụng?

Em đang hỏi bọn anh theo cách này vì tiền đề là em giả sử cái gì thầy các em làm cũng là đúng, vậy các thầy không dạy các em học toán thì phải biết đặt câu hỏi hay hoài nghi à? Còn em muốn biết sao nó vô dụng theo kiểu cách chứng minh đàng hoàng thì hỏi anh nmlinh16, chắc một post cũng đủ tóm tắt cho em hiểu tại sao rồi.

Mình thấy rất lạ là hình học cổ điển được dạy rất kỳ quặc. Các bài vẽ hình rất phức tạp, hơn nhiều so với thời mình học THPT. Trong khi ứng dụng vào quang học ở Vật Lý không dạy (optics). Đó là cả một chuyên đề của Newton.

Nên giới thiệu các chủ đề sử học trong hình học, rất phong phú và đa dạng, vì toán học Châu Âu chịu ảnh hưởng nặng của hình học Hy Lạp cổ đại. Nên tham khảo các sách cổ như của L'Hopital để làm sáng tỏ liên hệ giữa hình học, đại số và giải tích cố điển.

Nên dạy cách chứng minh định lý Pythagoras, dạy cẩn thận lượng giác, bỏ qua các phương trình lượng giác phức tạp vô ích, dạy căn bản.

Hình học Euclid chắc chắn không vô dụng, vì với các bạn học sinh nhỏ tuổi, nếu dạy đúng cách sẽ khiến các bạn tiếp xúc với suy luận logic sớm nhất. Một nhánh toán học làm nảy sinh ra giải tích và đại số thì không thể vô dụng được.

Bản thân mình đang học lại toán, cảm thấy rất vất vả vì quên hết hình học. Làm như vậy không cảm thụ được nét đẹp toàn diện của toán.

Mình nghĩ Toán phổ thông nên dạy nền tảng, cộng thêm ứng dụng trong Vật Lý, Tin học, Hóa học v.v.

1) cộng trừ nhân chia
2) giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 (giới thiệu định lý Abel-Ruffini)
3) phân tích đa thức thành nhân tử
4) hình học euclid và phi euclid
5) đạo hàm tích phân ( nhấn mạnh ý nghĩa và công dụng của chúng).
6) bất đẳng thức (dùng cho epsilon delta trong giải tích, nên học AM-GM, Cauchy-Schwart, bđt tam giác, một vài bài hay để có kỷ niệm đẹp
7) tập hợp cơ bản
8) dãy và chuỗi số ( hình học, số học, hình-số học)
9) Xác suất

Nên dạy đều cách chứng minh, cách thiết lập mô hình (mathematical modelling), tính toán (computation).

Nên dạy theo kiểu Liên Xô ngày xưa, đan xen các ứng dụng toán học từ các ngành khác, nên tránh dạy kiểu Bourbaki, trừ khi cho học sinh chuyên toán. Quan trọng là tư duy logic, quantitative reasoning.

Điều kiện cần để một chuỗi số $\sum x_{n}$ hội tụ là $\lim_{n\to \infty}x_{n}=0$. Nhưng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì dãy $(\cos{nx})$ không thể hội tụ (ví dụ nếu $x/\pi$ là hữu tỷ thì có một dãy con là $\pm 1$ , còn nếu $x/\pi$ là vô tỷ thì tập này trù mật trong $[-1,1]$).

 

Còn chuỗi đầu tiên chỉ đơn giản là khai triển Fourier của hàm $f(x)=\dfrac{x}{2}$ trên đoạn $[-\pi, \pi]$.

Bạn có thể khai triển chuỗi Fourier của  $f(x)=\dfrac{x}{2}$ được không? Mình cũng muốn xem quá.

 

Mình chưa được học về chuỗi Fourier nên không biết khai triển như thế nào.

 

Tập trù mật nghĩa là như thế nào vậy bạn, và nó ảnh hưởng gì đến sự hội tụ của chuỗi $\cos(nx)$?

Trong cuốn "The spirit of mathematical analysis" của Martin Ohm có đề cập tới chuỗi vô hạn này:

 

$\dfrac{x}{2}=\sin(x)-\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(3x)...$

 

Tác giả nói rằng nếu ta lấy đạo hàm từng phần tử ở hai vế (differentiating term by term) thì ta được chuỗi:

 

$\dfrac{1}{2}=\cos(x)-\cos(2x)+\cos(3x)...$

Kết quả trên là hàm hồ do chuỗi lượng giác bên tay phải phân kỳ (Có ai biết cách chứng minh nó phân kỳ không? Mình chỉ biết khi x=0 thì chuỗi này biến thành chuỗi Grandi, do đó nó phân kỳ).

 

Có ai có thể giải đáp giúp mình làm sao ta tìm được chuỗi đầu tiên không?

 

Được biết chuỗi này đã được Euler chứng minh trong bài "Subsidium calculi sinuum" (Đóng góp vào việc tính sin). Tuy nhiên bài viết bằng tiếng Latin chưa được dịch nên mình không đọc được:

 

http://eulerarchive....pages/E246.html

Mình không phải thành viên thường trực gì nhưng thấy có hai vị nổi bật:

 

thành viên Chanhquocnghiem và

 

thành viên Infinitesimal vì cả hai tích cực giải nhiều bài Toán hóc búa. Anh/chị infinitesimal hay hoạt động ở mục Toán dãy số, và có nhiều lời giải mình cho là rất hay! 

 

Vậy xin đề cử hai vị này!

Thử sách của Munkres đi, Calculus on Manifold:

 

http://fourier.math....lds/Munkres.pdf

 

Mình dĩ nhiên không đụng nổi Calculus on Manifold, nhưng mình cố cày gần hết cuốn Calculus của Spivak thì thấy style của vị này thiên về problem solving. Vừa giải Toán vừa học. Cách học này tốn nhiều thời gian nhưng kiến thức đạt được lại rất sâu. Sách của ông Spivak nhìn chung sẽ khó với những người như mình khi chưa quen viết chứng minh (proof). Munkres hồi đó thấy nhiều bạn đồng học bảo dễ làm sách dẫn đường hơn Spivak.

 

BTW, hình như sách Spivak (Giải tích trên đa tạp) đã được dịch sang tiếng Việt thập niên 80, bạn tìm trong thư viện đại học xem có không?