Đến nội dung


yeutoan2001

Đăng ký: 02-07-2016
Offline Đăng nhập: 30-09-2018 - 17:49
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

20-09-2017 - 20:56

Ngày 1:

Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?

 

 

 

 

 

Ngày 2:

Bài 5:  Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.

Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$

                        Gọi Giao CK và AP là T

                        Gọi RN giao QM là H

        Dễ thấy: TK.TC=TA^2 
Lại có: KAP cân tại K => <KAP=KPA = <KCA=<KCB (DO CK là Phân giác ACB)

=> TK.TC=TP^2

=> TP=TA 

Đường trong O là đường tròn nội tiếp Tam giác HQR nên ba đường RM,HA,QN đồng qui tại điểm Lemone

               =>  (PAQT)=-1 Mà T là TĐ PA => TQ.TR=TA^2=TK.TC  ------->  RQKC nội tiếp                                      


Trong chủ đề: Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018

15-09-2017 - 23:11

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

       Câu4:

              $ a+b+c=(b-a)(a-c)(b-c)$
Bây giờ ta sẽ chỉ ra dù sao thì $a+b+c$ cũng chia hết cho $3$ 
          Trước tiên: nếu $3$ số $a,b,c$ có cùng số dư khi chia $3$ thì 
                 VP chia hết cho $3$
                       => VT  chia hết cho $3$
         Vậy còn trường hợp $a,b,c$ có bộ số dư khi chia cho ba lần lượt là $0,1,2$

                       Nhưng như vậy thì $a+b+c$  cũng chia hết cho $3$
Vậy $a+b+c$ chia hết cho $3$ nên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho $3$:

               Giả sử đó là $a,b$ cùng số dư  .

                     +>Ta giả sử $a,b$ chia cho $3$ cùng dư $0 $

                       => Vp Chia hết cho $3 => c$ chia hết cho $3 =>$ Vp chia hết cho $27 => a+b+c$ chia hết $27$

                    +> Giả sử a,b cùng chia 3 dư $1 =>$ vì $a+b+c$ chia hết cho 3 nên c cũng chia 3 dư 1

                         vậy $a-b,b-c,c-a $ chia hết cho $3 =>a+b+c$ chia hết 27 

                     +> cùng chia 3 dư 2  vì $ a+b+c$ chia hết cho 3 nên. c chia 3 dư 2 

                           Vậy $a-b;b-c;a-c $ chia hết cho $3 => a+b+c$ chia hết 27

===> QED 

               (lười Latex) 


Trong chủ đề: Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018

15-09-2017 - 22:38

Câu 1:  Đặt $v_n=\frac{1}{x_{n}+1}$   Hay thay $x_{n}=\frac{1-v_{n}}{v_{n}}$ 

 $=> v_{n+1}=1/3 +1/3.v_n $

           Tới đây dễ tìm được công thức tổng quát và lim 


Trong chủ đề: Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018

15-09-2017 - 22:34

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

           Câu 2 hình: đề nên sữa lại thành 

                 a: $AB,DC,EF$ đồng qui

                 b: $P,Q,E,F$ thẳng hành
Câu 3: a/  Thay: $x=0 => P(0)=0$
                Thay $x=3 => P(2)=0$

                       $=> P(x)=x(x-2)Q(x)$

 Thế vào trên được $Q(x)=Q(x-1) => Q(x)=C: const $

 Hay $P(x)=Cx(x-2)$


Trong chủ đề: Đề kiểm tra kiến thức hè THPT chuyên LHP Nam Định (môn toán chuyên)

30-08-2017 - 20:19

Câu 2:

   Đặt ẩn phụ x,y,z dễ dàng có điều sau:

         $x+y+z=5$

         $xyz=1$          

Trong x,y,z cũng có số bé hơn 4 chọn đó là z  

Ta cần CM:

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=$(5-z)z+\frac{1}{z}\geq \frac{17}{4}$

   $\Leftrightarrow (2z-1)^2(4-z)\geq 0$ (đúng)