NTL2k1

$2cos^{2}x+\sqrt{3}cosx(2sinx-3)-11=3sinx$

Đề sai phải không nhỉ ???

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (a) cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh: $MA.NB.PC.QD\leq \frac{AB.BC.CD.DA}{16}$

Trong sách tham khảo của mình có bài này ...

Hãy chứng minh $cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos(A)}{2}}$

Có $cosA=2cos^2\frac{A}{2}-1\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{cosA+1}{2}}$

Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+12}-4)-(\sqrt{x^2+5}-3)-(3x-6)=0\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3)=0$

Dễ thấy $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3< 0$

Vậy $S={2}$

Giải phương trình:

$2sin2x-3\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx-5=0(*)$

$PT\Leftrightarrow 2sin2x-2\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx-5=0$

Đặt $a=\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx(\left | a \right |\leq 2)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2sin2x=2-a^2 & & \\ -2\sqrt{2}sinx=2a-2\sqrt{2}cosx& & \end{matrix}\right.$

$(*)\Rightarrow 2-a^2+2a-2\sqrt{2}cosx+\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx-5=0$

$\Leftrightarrow -a^2+2a-3-\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx=0(1)$

Đặt $u=-\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx$

$\Rightarrow u=\sqrt{4-a^2}$

Ta duoc $(1)\Leftrightarrow -a^2+2a-3+\sqrt{4-a^2}=0\Leftrightarrow a^4-4a^3+11a^2-12a+5=0\Leftrightarrow a^2(a-2)^2+7(a-\frac{6}{7})^2-\frac{1}{7}=0$ 

Mà $ a^2(a-2)^2+7(a-\frac{6}{7})^2-\frac{1}{7}>0$ 

Vậy $(*)$ vô nghiệm

tìm m để bất phương trình:2sin_²x-mcosx-3$\leq$ 0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc (0;$\frac{\Pi }{2}$)

$PT\Leftrightarrow 2cos^2x+mcosx+1\geq 0$

Bài toán trở thành: Tìm $m$ để $2cos^2x+mcosx+1\geq 0$ với mọi $cosx\in(0;1)$

$\Delta =m^2-8$

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cosx\geq \frac{-m+\sqrt{m^2-8}}{4}> 0} \\ {cosx\leq \frac{-m-\sqrt{m^2-8}}{4}< 1} \\ \end{array}} \right.$

Giải $\left\{\begin{matrix} -m+\sqrt{m^2-8}>0 & & \\ -m-\sqrt{m^2-8}<4 & & \end{matrix}\right.$

Ta được $m\leq -2\sqrt{2}$

Giải phương trình lượng giác sau :

$\sqrt{sinx}$ + $sinx$ + sin²x + cosx = 1

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{sinx}+\frac{1}{2})^2=(cosx-\frac{1}{2})^{2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{sinx}+\frac{1}{2}=cosx-\frac{1}{2}} \\ {\sqrt{sinx}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-cosx} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cosx=\sqrt{sinx}+1(1)} \\ {\sqrt{sinx}=cosx(2)} \\ \end{array}} \right.$

$(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx=0 & & \\ cosx=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=k2\pi$

Còn $(2)$ thì mình giải chưa ra, bạn thử làm xem nhé

giải phương trình $sin(cosx)=cos(sinx)$

$PT$ $\Leftrightarrow sin(cosx)=sin(\frac{\pi}{2}-sinx)\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cosx=\frac{\pi}{2}-sinx} \\ {cosx=sinx+\frac{\pi}{2}} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {sin(x+\frac{\pi}{2})=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}} \\ {sin(x-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}} \\ \end{array}} \right.$

Đến đây bạn tự giải nhé

Giải hệ : $\left\{\begin{matrix}2x-2y+\sqrt{2x+y+2xy+1}=1(1) \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^3-2y-1 \end{matrix}\right.$

$(1)$$\Leftrightarrow 2x+1+\sqrt{(2x+1)(y+1)}=2(y+1)$

Đặt $a=\sqrt{2x+1}\geq 0$

       $b=\sqrt{y+1}\geq 0$

Ta được

$(1)\Leftrightarrow a^2+ab=2b^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b)+b(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+2b)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=b & & \\ a=-2b & & \end{bmatrix}$

TH1:

$ a=b\Leftrightarrow 2x=y$ thế vào $(2)$ ta được $\sqrt[3]{3y+1}=y^3-2y-1$ (đến đây mình chưa tìm được $y$ bạn thử làm nhé)

TH2:

$a=-2b$ (loại)

Nhận thấy $x=0$ là 1 nghiệm (lấy)

Xét $x\neq 0$, chia cả 2 vế cho $\sqrt{x}$ ta có: $\sqrt{2x-1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{2x+4+\dfrac{1}{x}}\geqslant 5$

Đặt: $a=2x+\dfrac{1}{x}\implies \sqrt{a-1}+\sqrt{a+4}\geqslant 5\\$

Bình phương lên giải, sau đó thay ngược lại giải BPT ẩn $x$

Bạn làm tiếp được không ạ ?

Từ điều kiện: $(x+y)^2=(\sqrt{x+1}+\sqrt{2y+2})^2\leqslant (1+2)(x+y+2)\\\implies \dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\leqslant x+y\leqslant\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}$

Ta có: $P=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+\sqrt{4-x-y}\\=(x+y)^2+2(x+y)+2+\sqrt{4-x-y}$

Khảo sát hàm $f(t)=t^2+2t+2\sqrt{4-t}$ trên đoạn $\left [ \dfrac{3-\sqrt{33}}{2},\dfrac{3+\sqrt{33}}{2} \right ]$

Phải là $f(t)=t^2+2t+2+\sqrt{4-t}$ với $t=x+y$ chứ nhỉ

Giải PT lượng giác sau: $\frac{sin^{2}x-cos^{2}x+cos^{4}x}{cos^{2}x-sin^{2}x+sin^{4}x}=9$ $(*)$

ĐK: $cos^2x-sin^2x+sin^4x\neq 0\Leftrightarrow 1-2sin^2x+sin^4x\neq 0\Leftrightarrow (sin^2x-1)^2\neq 0\Leftrightarrow cos^4x\neq 0\Leftrightarrow cosx\neq 0\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi$

$(*)$ $\Leftrightarrow \frac{sin^2x+cos^2x(cos^2x-1)}{cos^2+sin^2x(sin^2x-1)}=9$

$\Leftrightarrow \frac{sin^2x-sin^2cos^2}{cos^2x-sin^2xcos^2x}=9$

$\Leftrightarrow sin^2x-sin^2xcos^2x=9cos^2x-9sin^2xcos^2x$

$\Leftrightarrow 8sin^2xcos^2x=8cos^2x+cos2x$

$\Leftrightarrow 8cos^2x(sin^2x-1)=cos2x\Leftrightarrow -8cos^4x=cos2x$

$\Leftrightarrow -4cos^2x(cos2x+1)=cos2x\Leftrightarrow -2(cos2x+1)^2=cos2x\Leftrightarrow -2cos^2x-5cos2x-2=0$

$\Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cos2x=-\frac{1 }{2}} \\ {cos2x=-2 (loai)} \\ \end{array}} \right.$

$\Rightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi} \\ {2x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\frac{\pi }{3}+k\pi} \\ {x=\frac{2\pi }{3}+k\pi} \\ \end{array}} \right.$ (thỏa mãn ĐK)

$sin^{4}x - sin^{4}(x+\frac{\Pi }{2}) = 4sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}cosx$ (*)

Khó quá

$(*)$ $\Leftrightarrow sin^4x-cos^4x=2sinxcosx=sin2x$

$\Leftrightarrow sin^2x-cos^2x=sin2x$

$\Leftrightarrow sin2x+cos2x=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}sin(2x+\frac{\pi }{4})=0$

$\Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+\frac{\pi }{4}=k2\pi} \\ {2x+\frac{\pi }{4}=2\pi+k2\pi} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\frac{-\pi }{8}+k\pi} \\ {x=\frac{7\pi }{8}+k\pi} \\ \end{array}} \right.$

1,Ta có$\sqrt{x}+3> 0$

$P=\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\geq 2\Leftrightarrow -5\sqrt{x}+2\geq 2\sqrt{x}+6\Leftrightarrow -7\sqrt{x}\geq 4$(vô lí)

2, Ta có$P=\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}= -5+\frac{17}{\sqrt{x}+3}$

Dễ thấy$0< \frac{17}{\sqrt{x}+3}\leq \frac{17}{3}\Rightarrow -5< P< \frac{2}{3}\Rightarrow P\in$-4;-3;-2;-1;0

Ở ý 2 bạn làm sai đề rồi

$4sinx$$\frac{1}{2}(cos(-\pi /6)-cos(2x-\pi ))+cos3x=1$

$sinx-2sinxcos(2x+\pi )+cos3x=1\Leftrightarrow sinx+2sinxcos2x+cos3x=1$

$\Leftrightarrow sinx+2\frac{1}{2}\left [ sin(-x)+sin(3x) \right ]+cos3x=1$

$\Leftrightarrow sin3x+cos3x=1$ (*)

$\Leftrightarrow 2sin3xcos3x=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{2k\pi }{3}$

$x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$

Có sai sót rồi bạn 

Chỗ màu đỏ phải là $x=\frac{\pi }{2}+\frac{k2\pi }{3}$

Cụ thể

(*) $\Leftrightarrow$ $\sqrt{2}sin(3x+\frac{\pi }{4})=1$

$\Leftrightarrow sin(3x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}=sin\frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi} \\ {3x+\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}+k2\pi} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\frac{k2\pi }{3}} \\ {x=\frac{\pi }{2}+\frac{k2\pi }{3}} \\ \end{array}} \right.$