vo thanh van

Một cách phù hợp với các em THCS đó là tách ra như sau
$1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$=1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+...+n((n+1)-1)$
$=(1.2+2.3+3.4+...+n(n+1))-(1+2+3+...+n)$
$=\dfrac{n(n+1)(n+2)-0.1.2}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}$
$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

IMO Shortlist 2008

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009.

Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2y^2 } }} = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }} \\\sqrt {x(1 - 2x)} + \sqrt {y(1 - 2y)} = \dfrac{2}{9} \\\end{array} \right.$

Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số (x_n) xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}x_1 = \dfrac{1}{2} \\x_n = \dfrac{{\sqrt {x_{n - 1} ^2 + 4x_{n - 1} } + x_{n - 1} }}{2} \\\end{array} \right.$

Xét dãy số ${y}_{n}=\sum_{1}^{n}\dfrac{1}{{{x}_{i}}^{2}}$. Chứng minh dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định $A, B$ và điểm $C$ di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180)$ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt là $D,\ E,\ F$. $AI$ và $BI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. (3điểm)
Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực. Với mỗi $n$ nguyên dương, $a^n+b^n+c^n$
là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên $p,q,r$ sao cho $a,b,c$ là các nghiệm của pt bậc ba $x^3+px^2+qx+r=0$.

Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp $S$ gồm $2n$ số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp $T$ sao cho trong $T$ không có 2 phần tử $a,b$ nào thỏa mãn $|a-b| \in \left\{ {1;n} \right\}$
(chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên)

Mình có đứa em nó muốn kiếm bản này bằng ebook.Ai có thể up lên cho mình được không. Mình cảm ơn nhiều nhé.

Cuốn này đúng là có bản ebook nhưng mà chỉ có thầy Thuận có thôi anh à.Em đã hỏi nhiều lần nhưng mà thầy ko share được

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
_________________
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2008 - 2009
KHÓA NGÀY 06-11-2008
____________________________________________
MÔN THI : TOÁN ( VÒNG 2 )
Buổi thi : Sáng ngày 07-11-2008
Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian giao đề

Bài 1 ( 3 điểm )
Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình :
$x^2 + 5x - 10 = \sqrt{60 - 24x - 5x^2}$
Bài 2 ( 3 điểm )
Cho các số thực dương a , b , c . Chứng minh bất đẳng thức :
$\dfrac{( a - b - c )^2}{2a^2 + ( b + c )^2} + \dfrac{( b - c - a )^2}{2b^2 + ( c + a )^2} + \dfrac{( c - a - b )^2}{2c^2 + ( a + b )^2} \ge \dfrac{1}{2}$
Bài 3 ( 3 điểm )
Trong mặt phẳng cho tam giác đều AEF và hình chữ nhật ABCD . Các đỉnh E , F của tam giác đều lần lượt nằm trên các cạnh BC , CD của hình chữ nhật ABCD . Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác ABE và ADF bằng diện tích tam giác CEF.
Bài 4 ( 4 điểm )
Cho hàm số $f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2 )\sqrt{x^2 - 2x + 3}$ . Chứng minh rằng với mọi số thực m , hệ phương trình sau luôn có nghiệm thực :

$\left\{ \begin{array}{l} f^{(2008)}(x) + f^{(2008)}(y) = 0 \\ x^2 - my = 4 - m \end{array} \right.$

Bài 5 ( 3 điểm )
Cho dãy số thực $( a_n )$ được xác định bởi công thức truy hồi $\left\{ \begin{array}{l} a_1 = \dfrac{1}{2} \\ a_{n+1} = \dfrac{a_n^2}{a_n^2 - a_n^2 + 1} \end{array} \right.$
Chứng minh $a_1 + a_2 + ... + a_n \le 1$ với mọi số nguyên dương n .
Bài 6 ( 4 điểm )
Tìm tất cả các cặp số nguyên $( x , y )$ thỏa mãn : $2008x^3 - 3xy^2 + 2008y^3 = 2009 $

-------------------------HẾT---------------------------

Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm .

Sở Giáo Dục và Đào Tạo
Thành Phố Cần Thơ
_________________
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2008 - 2009
KHÓA NGÀY 06-11-2008
____________________________________________
MÔN THI : TOÁN ( VÒNG 1 )
Buổi thi : Sáng ngày 06-11-2008
Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian giao đề

Bài 1 ( 2.5 điểm )
Giải Phương Trình sau trên R : $x^4 - 6x^2 - 12x - 8 = 0 $
Bài 2 ( 2.5 điểm )
Giải Hệ Phương trình sau trên R :
$\left\{ \begin{array}{l} y^2 - xy + 1 = 0 \\ x^2 + y^2 +2x + 2y + 1 = 0 \end{array} \right.$


Bài 3 ( 3 điểm )
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC , có AB = a , AC = b , $\hat{BAC} = 135^o$ , điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác sao cho $\hat{BAM} = 45^o$ . Tính độ dài AM theo a,b .
Bài 4 ( 3 điểm )
Trong không gian cho hình chóp S.ABC , trọng tâm tam giác ABC là G , trung điểm SG là I. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua I cắt các tia SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P ( không trùng với S ) . Xác định vị trí mặt phẳng $(\alpha)$ để thể tích khối chóp S.MNP là nhỏ nhất .
Bài 5 ( 3 điểm )
Trong không gian cho hình chóp S.ABC , T là điểm thay đổi trong mặt phẳng ABC/
Đường thằng qua T . song song với đường thẳng SA cắt mặt phẳng (SBC) tại A' .
Đường thằng qua T . song song với đường thẳng SB cắt mặt phẳng (SBC) tại B' .
Đường thằng qua T . song song với đường thẳng SC cắt mặt phẳng (SBC) tại C' .
Mặt phẳng (A'B'C') cắt đường thẳng ST tại điểm I .
Chứng minh tỷ số $\dfrac{SI}{ST}$ không thay đổi khi điểm T thay đổi trong mặt đáy ABC trong mặt đáy ABC của hình chóp S.ABC
Bài 6 ( 3 điểm )
Cho đa thức với hệ số thực $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d $, biết rằng phương trình P(x) = 0 không có nghiệm thực . Chứng minh $F(x) = P(x) + P'(x) + P''(x) + P'''(x) + P^(4) (x) > 0 $ với mọi số thực x .
Bài 7 ( 3 điểm )
Cho n số thực $a_1,a_2, ... , a_n$ khác 0 , đôi một phân biệt . Chứng minh phương trình $ \sqrt{1+a_1 x} + \sqrt{1+a_2 x} + ... + \sqrt{1+a_n x} = n $ không có quá hai nghiệm thực phân biệt .

-------------------HẾT----------------------

Ghi chú Giám thị coi thi không giải thích gì thêm .

Và đây là file PDF ^^

Cái này anh chưa gõ thành file PDF em à,hơi mất thời gian.Bài viết này anh nghĩ sẽ còn update nữa,chưa dừng lại ở đây.Tuy nhiên nếu ai có thời gian thì có thể giúp mình chuyển sang file PDF được không? Thanks nhìu

Qua các ví dụ trên,có lẽ các bạn cũng đã hình dung được ít nhiều về bất đẳng thức Schur và những ứng dụng của nó trong phương pháp đổi biến p,q,r.Để kết thúc bài viết này,mời các bạn cùng giải một số bài tập sau:
Bài tập 1:Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn $a^3+b^3+c^3=3$.Chứng minh rằng
$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\le 3$
(Vasile Cirtoaje)
Bài tập 2: Darij Grinberg
Cho a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$
Bài tập 3: Vasile Cirtoaje
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Chứng minh rằng $12+9abc\ge 7(ab+bc+ca)$
Bài tập 4:Vũ Đình Quý
Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^2-a+1}+\dfrac{1}{b^2-b+1}+\dfrac{1}{c^2-c+1}\le 3$
Bài tập 5:VMO 2002
Chứng minh rằng với các số thực a,b,c thoả mãn $a^2+b^2+c^2=9$,ta có
$2(a+b+c)-abc\le 10$
Bài tập 6: Junior TST 2003,Romania
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$1+\dfrac{3}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{ab+bc+ca}$
Bài tập 7: Balkan Contest
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$2(a^2+b^2+c^2)+12\ge 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$
Bài tập 8: Phạm Kim Hùng
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực không âm và $k\ge 3$ thì
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{k}{a+b+c}\ge \dfrac{2\sqrt{k+1}}{\sqrt{ab+bc+ca}$
Bài tập 9: Lê trung Kiên,Võ Quốc Bá Cẩn
Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca+6abc=9$.Chứng minh rằng
$a+b+c+3abc\ge 6$
Bài tập 10:Tìm số $a$ nhỏ nhất sao cho BDT sau đúng với mọi $x,y,z$ không âm:
$(\dfrac{x+y+z}{3})^a(\dfrac{xy+yz+zx}{3})^{\dfrac{3-a}{2}}\ge \dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$
Bài tập 11: Phạm Kim Hùng
Cho a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2-bc+c^2}} +\dfrac{c}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le 3$
Bài tập 12:Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$ thì
$\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[10]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
Bài tập 13:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $a+b+c=1$
Cmr $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+2abc \geq\dfrac{247}{54}$
Bài tập 14:
Cho $a,b,c$ thỏa mãn $2\le a,b,c \le 1$.Chứng minh rằng
$6a^2(b+c)+6b^2(c+a)+6c^2(a+b)\le 33abc$
Bài tập 15:Vasile Cirtoaje
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng
$\dfrac{5-ab}{1+c}+\dfrac{5-bc}{1+a}+\dfrac{5-ca}{1+b}\ge ab+bc+ca$

CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG !!!

Ví dụ 21:
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{6-ab}+\dfrac{1}{6-bc}+\dfrac{1}{6-ca}\le \dfrac{3}{5}$
Lời giải:

Chuyển đổi BDT về như sau:
$108-48q+13pr-3r^2\ge 0$
$\Leftrightarrow 4(9-4q+3r)+r(1-r)\ge 0$
Ta thấy BDT trên đúng do :
Theo BDT AM-GM :$r=abc\le (\dfrac{a+b+c}{3})^3=1$
và theo BDT Schur thì $3r\ge \dfrac{3p(4q-p^2)}{9}=4q-9\Rightarrow 3r+9-4q\ge 0$
Vậy BDT đựoc chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1,a=0,b=c=\dfrac{3}{2}$ và các hoán vị
Ví dụ 22:Darij Grinberg
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:

$\dfrac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\ge a+b+c$
Lời giải:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta cần chứng minh:
$[\sum a^2(b+c)^2]^2 \ge (\sum a)[\sum a^2(b+c)(b^2+c^2]$
Đổi biến theo p,q,r,khi đó bất đẳng thức viết thành:
$r(2p^3+9r-7pq)\ge 0$
Áp dụng BDT Schur,ta có $p^3+9r\ge 4pq$ và BDT quen biết $p^2-3q\ge 0$,ta có đpcm.
Ví dụ 23: Muhai Piticari,Dan Popescu
Chứng minh rằng với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$,ta có
$5(a^2+b^2+c^2)\le 6(a^3+b^3+c^3)+1$

Lời giải:

Đổi biến về p,q,r,ta cần chứng minh $5-10q\le 6(1-3q+3r)+1$
$\Leftrightarrow 18r-8q+2\ge 0$
Mặc khác BDT trên đúng theo BDT Schur nên ta có đpcm.
Và một ví dụ điển hình cho phương pháp này là BDT IRAN 96:
Ví dụ 24:IRAN 96:
Chứng minh rằng nếu $x,y,z>0$ thì

$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x+y)^2}+\dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(z+x)^2}) \ge \dfrac{9}{4}$
Lời giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến p,q,r,ta chuyển bất đẳng thức về dạng như sau:
$q(\dfrac{(p^2+q)^2-4p(pq-r)}{(pq-r)^2})\ge \dfrac{9}{4}$
Biến đổi tương đương,rút gọn,ta cần chứng minh
$4p^4q-17p^2q^2+4q^3+34pqr-9r^2\ge 0$
$\Leftrightarrow pq(p^3-4pqr+9r)+q(p^4-5p^2q+4q^2+6pr)+r(pq-9r)\ge 0$
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm.

Ví dụ 20: Dương Đức Lâm
Cho a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:

$(\dfrac a{b + c})^2 + (\dfrac b{c + a})^2 + (\dfrac c{a + b})^2 + \dfrac {10abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}\ge2$
Lời giải:

Ta có:$(a + b)(b + c)(c + a) \ge \dfrac {8}{9}(ab + bc + ca)(a + b + c) \ge \dfrac {8}{3}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(a + b + c)$
Đặt $x = \dfrac {2a}{b + c} ,y= \dfrac {2b}{c+a},z= \dfrac {2c}{a +b}$,ta có:
$xy + yz + zx + xyz = 4$
Lúc đó BDT trở thành
$x^2 + y^2 + z^2 + 5xyz \ge 8$
Đưa bất đẳng thức về dạng $p,q,r$,từ giả thiết,ta có $q + r = 4$
và lúc đó,bất đẳng thức trở thành $p^2 - 2q + 5r \ge 8$
$\Leftrightarrow p^2 - 7q + 12 \ge 0$
Nếu $4 \ge p$,sử dụng BDT Schur,ta có:
$r \ge \dfrac {p(4q - p^2)}{9}$
$\Rightarrow 4 \ge q + \dfrac {p(4q - p^2)}{9}$
$\Leftrightarrow q \le \dfrac {p^3 + 36}{4p + 9}$
$\Rightarrow p^2 - \dfrac {7(p^3 + 36)}{4p + 9} + 12 \ge 0$
$\Leftrightarrow (p - 3)(p^2 - 16) \le 0$
điều này đúng vì $4 \ge p \ge \sqrt {3q} \ge 3$
Nếu $p \ge 4$,ta có $p^2 \ge 16 \ge 4q$,
$p^2 - 2q + 5r \ge p^2 - 2q \ge \dfrac {p^2}{2} \ge 8$
Vậy BDT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$ hoặc $x = y = 2,z = 0$ và các hoán vị

Ví dụ 18:HSG Toán QG THPT năm 2006 bảng B
Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 thì

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge 2(a+b+c)$
Lời giải:

Đặt $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}$,ta có $xyz=1$,đồng thời đổi biến thành p,q,r,ta có bất đẳng thức:
$p^2-2q+3\ge 2q \Leftrightarrow 4q-p^2\le 3$
Mà bất đẳng thức trên đúng theo BDT Schur nên ta có đpcm.
Ví dụ 19: Phạm Sinh Tân
Cho $a,b,c$ la các số thực không âm , tìm số $k$ nhỏ nhất để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và đẳng thức xảy ra khi ba biến lệch nhau , chỉ rõ đằng thức xảy ra

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+k \dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
Lời giải:

Đổi biến BDT theo p,q,r và chuẩn hóa p=1.Ta cần chứng minh bất đẳng thức:
$\dfrac{1-2q+3r}{q-r}+k\dfrac{q}{1-3q+3r}\geq 2\sqrt{k}+1$
Ta có:$\dfrac{1-2q+3r}{q-r}+k\dfrac{q}{1-3q+3r}\geq\dfrac{1-3q+3r}{q}+k\dfrac{q}{1-3q+3r}+ 1\geq 2\sqrt{k}+1$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}x,x,0)$ hoặc $(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}x,x,0)$ và các hoán vị.
*Một số bài tập tương tự:
Bài toán 3:Phạm Sinh Tân
Với 3 số thực không âm a,b,c,chứng minh rằng

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+k \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\ge 2\sqrt{k}+1$

Bài toán 4:Phạm Sinh Tân
Với a,b,c là các số thực không âm và không có quá hai số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+9 \dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\ge 6$

Ví dụ 16:Võ Thành Văn

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{4}{81(ab+bc+ca)}+abc\geq \dfrac{5}{27}$
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Schur,ta có:
$r\geq\dfrac{p(4q-p^2)}{9}=\dfrac{4q-1}{9}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\dfrac{4}{81q}+\dfrac{4q-1}{9}\geq \dfrac{5}{27}\Leftrightarrow \dfrac{4}{81q}+\dfrac{4q}{9}\geq \dfrac{8}{27}$
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng theo BDT AM-GM nên ta có đpcm.
Ví dụ 17:Nguyễn Mạnh Dũng

Cho $a,b,c \ge 0, ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac {ab + 1}{a + b} + \dfrac {bc + 1}{b + c} + \dfrac {ca + 1}{c + a} \ge 3$
Lời giải:

Ta có:
$\dfrac {ab + 1}{a + b} + \dfrac {bc + 1}{b + c} + \dfrac {ca + 1}{c + a} \ge 3$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc} (ab + 1)(c + a)(c + b) \ge 3(a + b)(b + c)(c + a)$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc} (ab + 1)(c^2 + 1) \ge 3[(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc]$
$\Leftrightarrow (a^2 + b^2 + c^2) + ab + bc + ca + abc(a + b + c) + 3 + 3abc \ge 3(a + b + c)$
$\Leftrightarrow (a + b + c)^2 + abc(a + b + c + 3) + 2 \ge 3(a + b + c)$
Đặt $p = a + b + c,q = ab + bc + ca = 1,r = abc$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$p^2 + r(p + 3) - 3p + 2 \ge 0$
$\star p > 2\Rightarrow p^2 - 3p + 2 + r(p + 3) = (p - 1)(p - 2) + r(p + 3) > 0$
$\star p \le 2$
Áp dụng BDT Schur,ta có:
$p^3 + 9r \ge 4pq \Leftrightarrow r \ge \dfrac {4p - p^3}{9}$
Ta cần chứng minh:
$p^2 - 3p + 2 + (p + 3)\dfrac {4p - p^3}{9} \ge 0$
$\Leftrightarrow p^4 + 3p^3 - 13p^2 + 15p - 18 \le 0$
$\Leftrightarrow (p - 2)(p^3 + 5p^2 - 3p + 9)$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng vì $p \le 2$ và $p^3 + 5p^2 - 3p + 9 = p^3 + 4p^2 + \left(p - \dfrac {3}{2}\right)^2 + \dfrac {27}{4} > 0$
Ta có đpcm
Đẳng thức xảy a khi và chỉ khi $a = b = 1,c = 0$ và các hoán vị

Ví dụ 14: Nguyễn Phi Hùng:
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=8$.Chứng minh rằng:

$4(a+b+c-4)\le abc$
Lời giải:

Theo giả thiết ta có $p^2-2q=8$
Mặt khác theo bất đẳng thức Schur bậc 4 ta có:
$r\ge \dfrac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\dfrac{(p^2-16)(p^2+8)}{12p}$
Vì vậy ta cần chứng minh
$\dfrac{(p^2-16)(p^2+8)}{12p}\ge 4(p-4)$
$\Leftrightarrow \dfrac{(p-4)^2(p^2+p-8)}{12p}\ge 0$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=2,c=0$ và các hoán vị.
Ví dụ 15:Cho $a; b; c > 0$ và $a + b + c = 1$.Chứng minh rằng

$\dfrac {\sqrt {a^2 + abc}}{ab + c} + \dfrac {\sqrt {b^2 + abc}}{bc + a} + \dfrac {\sqrt {c^2 + abc}}{ca + b}\le \dfrac {1}{2\sqrt {abc}}$
Lời giải:

Đổi biến thành $p,q,r$,ta có bổ đề:$r \le \dfrac {q^2(1 - q)}{2(2 - 3q)}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta có:
$\left[ \sum \dfrac {\sqrt {a^2 + abc}}{(b + c)(b + a)} \right]^2 \le \left[ \sum \dfrac {a}{(a + b)(b + c)}\right]\left(\sum \dfrac {a + c}{b + c}\right) = \dfrac {\sum a^2 + \sum ab}{(a + b)(b + c)(c + a)}\left( \sum \dfrac {a + c}{b + c}\right)$
Ta có:
$\sum \dfrac {a + c}{b + c} = \sum \dfrac {1}{b + c} - \sum \dfrac {b}{b + c} \le \sum \dfrac {1}{b + c} - \dfrac {(a + b + c)^2}{\sum a^2 + \sum ab}$
Nên cần chứng minh
$\dfrac {\sum a^2 + \sum ab}{(a + b)(b + c)(c + a)}\left[ \dfrac {1}{b + c} - \dfrac {1}{\sum a^2 + \sum ab}\right] \le \dfrac {1}{4abc}$
$\Leftrightarrow \dfrac {1 - q}{q - r} \left( \dfrac {1 + q}{q - r} - \dfrac {1}{1 - q}\right) \le \dfrac {1}{4r}$
$\Leftrightarrow \dfrac {4(1 - q^2)}{q - r} - 4 \le \dfrac {q - r}{r}$
$\Leftrightarrow \dfrac {4(1 - q^2)}{q - r} - \dfrac {q}{r} \le 3$
Sử dụng bổ đề,ta có:
$LHS \le \dfrac {4(1 - q^2)}{q - \dfrac {q^2(1 - q)}{2(2 - 3q)}} - \dfrac {q}{\dfrac {q^2(1 - q)}{2(2 - 3q)}} = 3 - \dfrac {q(1 - 3q)(5 - 7q)}{(1 - q)(4 - 7q + q^2)} \le 3$

*Với kĩ thuật xét trường hợp để giải ,chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán sau:
Bài toán 1:
Xét 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:

$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\le \dfrac{1}{32}$

Gợi ý:
Nhân vào rồi rút gọn,chuyển BDT về dạng p,q,r,ta cần chứng minh
$q^2-2q^3-r(2+r-4q)\le \dfrac{1}{32}$
Đến đây chúng ta xét 2 TH $q\le \dfrac{1}{4}$ và $q>\dfrac{1}{4}$
Bài toán 2:
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng

$\dfrac{a}{a^2+3}+\dfrac{b}{b^2+3}+\dfrac{c}{c^2+3}\le \dfrac{3}{4}$

Gợi ý:Đưa BDT về 1 hàm theo $q$:
$f(p)=27p^2-(54+12q)p+9q^2-58q+120\ge 0$
Đến đây chúng ta chia thành 2 TH:
TH1: $18q\ge 58+12p$
TH2: $18q\le 58+12p$