tcm

Tính tổng $T = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}$.

 

Lời giải:

$T = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{2 - 1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} + \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - 1 = 1$.

 

Mình không hiểu sao lại suy ra được $T$ như bên dưới lời giải, bạn nào biết hướng dẫn giúp mình nhé.

 

Thanks.

Nếu bài này có thêm điều kiện $x \in Z^+$ thì giải như sau:

$A = \frac{(x + 16)(x + 9)}{x} = \frac{x^2 + 25x + 144}{x} = x + 25 + \frac{144}{x}$. Do $x$ và $\frac{144}{x}$ là hai số dương có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi $x = \frac{144}{x} \Leftrightarrow x = 12$.

Vậy $min \ A = \frac{588}{12} = 49$.

Ta có 

$B=\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+...+\left | x-100 \right |$=$(\left | x-1 \right |+\left | 100-x \right |)+...+(\left | x-50 \right |+\left | 51-x) \right |$$\geq 101.50=5050$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 50\leq x\leq 51$

 

Sao mỗi ngoặc đơn lại có kết quả là 50 nhỉ?

Theo mình thì làm như sau:

 

Đặt $B_{1} = |x - 1| + |100 - x|$

       $B_{2} = |x - 2| + |99 - x|$

       $B_{3} = |x - 3| + |98 - x|$

       ...

       $B_{50} = |x - 50| + |51 - x|$

Ta có:

$min \ B_{1} = 99 \Leftrightarrow 1 \leqslant x \leqslant 100$

$min \ B_{2} = 97 \Leftrightarrow 2 \leqslant x \leqslant 99$

$min \ B_{3} = 95 \Leftrightarrow 3 \leqslant x \leqslant 98$

...

$min \ B_{50} = 1 \Leftrightarrow 50 \leqslant x \leqslant 51$

Vậy $min \ B = 1 + 3 + ... + 97 + 99 = 2500 \Leftrightarrow 50 \leqslant x \leqslant 51$.

  Ngẫm nghĩ kỹ, cả $3$ "cách" này thực chất chỉ là $1$ cách (vì chỉ chọn được $7$ em nói trên).Như vậy, mỗi cách chọn có $3$ em giỏi Văn bị "sách" tính thành $3$ cách.Mà số cách chọn có $3$ em giỏi Văn là $C_4^3.C_9^4=504$.Suy ra riêng khoản này, "sách" tính thừa $1008$ cách.

 

  Ngẫm nghĩ kỹ, cả $6$ "cách" này thực chất chỉ là $1$ cách (vì chỉ chọn được $7$ em nói trên).Như vậy, mỗi cách chọn có $4$ em giỏi Văn bị "sách" tính thành $6$ cách.Mà số cách chọn có $4$ em giỏi Văn là $C_4^4.C_9^3=84$.Suy ra riêng khoản này, "sách" tính thừa $420$ cách.

 

 

Mình chưa hiểu 2 câu này lắm, bạn có thể giải thích kỹ hơn ở 2 câu này không? (vì sao ra được con số 1008 và 420 ấy)

À, mình mới hỏi một anh thì mới biết được là cách giải của sách bị sai.

 

Cách giải của sách sai ngay ở bước đầu tiên (tổ hợp chập 2 của 4 phần tử).

Nếu gọi a, b, c, d là 4 bạn giỏi Văn thì khi chọn 2 bạn a, b và 5 bạn còn lại bao gồm c, d và 3 bạn giỏi Toán thì sẽ trùng với khi chọn 2 bạn c, d và 5 bạn còn lại bao gồm a, b và 3 bạn giỏi Toán. Cứ thế thì sẽ nhiều lên.

Vì vậy nên làm theo cách ở post #2 và post #5 là khá chắc chắn.

 

Cảm ơn mọi người đã quan tâm nhé!

 

P/S: Cái chuyên đề đã hack não rồi mà đáp án còn sai thì bố con nhà nào mà mần ra @@

Cách làm của mình như sau:

 

Cách đó có khác gì cách ở post #2 của mình đâu?

 

Đây là cách giải của sách nè:

 

Số cách chọn 2 trong 4 học sinh giỏi Văn là số tổ hợp chập 2 của 4 phần tử và bằng $\frac{4.3}{2} = 6$.

Chọn xong 2 học sinh trên, còn 2 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, cần chọn 5 người trong số 11 học sinh, đó là số tổ hợp chập 5 của 11 phần tử và bằng $\frac{11.10.9.8.7}{5!} = 462$.

Vậy có: $6.462 = 2772$ cách lập nhóm.

 

Mình đọc qua cách trên cũng thấy hợp lý mà nhỉ?

Tổ hợp hại não~

Đúng thật, mấy bài chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp khó thì không khó nhưng độ hack não chắc vô đối rồi!
Mà đây mới là ví dự thôi đấy, phần bài tập còn khó hơn nhiều.

Cập nhật:

 

Mình đã phát hiện ra lỗi sai trong cách trên. Trước hết, cách trên là làm theo phần bù. Tức là chọn ra một nhóm gồm 7 học sinh mà tối thiểu cần 2 học sinh giỏi Văn thì sẽ có 3 trường hợp:

TH1: 2 học sinh giỏi Văn, 5 học sinh giỏi Toán.

TH2: 3 học sinh giỏi Văn, 4 học sinh giỏi Toán.

TH3: 4 học sinh giỏi Văn, 3 học sinh giỏi Toán.

Nhưng nếu theo cách trên thì đã tính luôn các trường hợp 5 học sinh giỏi Văn, 2 học sinh giỏi Toán; 6 học sinh giỏi Văn, 1 học sinh giỏi Toán và 7 học sinh giỏi Văn.

 

Vì thế, mình làm lại theo cách xét trường hợp sau:

 

TH1: Số cách chọn 2 học sinh giỏi Văn, 5 học sinh giỏi Toán từ 4 hoc sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán là: $C_{4}^{2}.C_{9}^{5}$.

TH2: Số cách chọn 3 học sinh giỏi Văn, 4 học sinh giỏi Toán từ 4 học sinh giỏi Văn, 9 học sinh giỏi Toán là: $C_{4}^{3}.C_{9}^{4}$.

TH3: Số cách chọn 4 học sinh giỏi Văn, 3 học sinh giỏi Toán từ 4 học sinh giỏi Văn, 9 học sinh giỏi Toán là: $C_{4}^{4}.C_{9}^{3}$.

Vậy, có: $C_{4}^{2}.C_{9}^{5} + C_{4}^{3}.C_{9}^{4} + C_{4}^{4}.C_{9}^{3} = 1344$ cách.

 

Nó vẫn ra đáp án như cũ @@

Mình cảm ơn nhiều nhé!

 

P/S: Nếu rảnh thì bạn qua topic này giúp mình bài này luôn nhé.

https://diendantoanh...-2-học-sinh-gi/

Bạn sai ở cách 2 ở chỗ mình in đậm ấy, nếu như chữ số ở hàng đv là 5 thì ý đó đúng, nhưng nếu là 0 thì bị tính 2 lần nên sai.

Vậy thì bài này phải làm theo cách xét trường hợp chứ không làm theo cách 2 được hả bạn?

Cho 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 6. Từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

 

Mình có 2 cách giải như sau:

 

Cách 1:

Số các số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số 0 đứng cuối là: $4! = 24$.

Số các số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số 5 đứng cuối là: $3.3! = 18$.

Vậy, có thể lập được: $24 + 18 = 42$ số.

 

Cách 2:

Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (0, 5).

Chữ số hàng vạn có 3 cách chọn (khác 0 và khác chữ số hàng đv).

Chữ số hàng nghìn có 3 cách chọn (khác chữ số hàng vạn và chữ số hàng đv).

Chữ số hàng trăm có 2 cách chọn (khác chữ số hàng vạn, hàng nghìn và hàng đv).

Chữ số hàng chục có 1 cách chọn (khác chữ số các hàng khác).

Vậy, có thể lập được: $2.3.3.2.1 = 36$ số.

 

Như mọi người thấy thì kết quả của 2 cách trên hoàn toàn khác nhau. Và mình đang thắc mắc là cách nào bị sai hay cả 2 cách đều sai? Nếu ai biết giúp mình nhé.

 

Mình cảm ơn.

Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

 

Cách giải của mình như sau:

 

Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ từ 13 học sinh (gồm 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán) là: $C_{13}^{7}$

Số cách chọn 7 học sinh giỏi Toán từ 9 học sinh giỏi Toán là: $C_{9}^{7}$

Số cách chọn 6 học sinh giỏi Toán và 1 học sinh giỏi Văn từ 9 học sinh giỏi Toán và 4 học sinh giỏi Văn là: $C_{9}^{6}.C_{4}^{1}$

Vậy số cách lập nhóm (trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn) là: $C_{13}^{7} - C_{9}^{7} - C_{9}^{6}.C_{4}^{1} = 1344$ cách.

 

Nhưng đáp án trong sách lại là 2772 cách lập nhóm.

Vậy nên cho mình hỏi là cách giải của mình sai ở chỗ nào nhỉ? Nếu ai biết xin chỉ giáo.

 

Mình cảm ơn.

3.Trong phép tính dưới đây, các chữ cái khác nhau đại diện cho các chữ số khác nhau. Hãy tìm số có 5 chữ số SASMO.

S T A Y

+ C O O L    

=S A S M O        

 

 

Dễ thấy $S = 1$. Ta có:

    1TAY

+  COOL

= 1A1MO

Lúc này, có 3 trường hợp xảy ra:

 

TH1: $C = 8$ và $A = 0$. Ta có:

    1T0Y

+  8OOL

= 101MO

Khi đó, $M = O + 1$ và $T + O = 11$

$\Rightarrow T \in $ ($1; 10$) và $O \in $ ($1; 10$).

Dễ thấy các trường hợp $O = 9; 8; 7; 5; 3$ không hợp lệ. (vì khi đó, sẽ có 2 chữ cái giống nhau)

Nếu $O = 6 \Rightarrow M = 7; T = 5$, ta được:

    150Y

+  866L

= 10176

$\Rightarrow Y, L \in $ {$2; 3; 4; 9$} và $Y + L \geqslant 10$ => Không thỏa.

Nếu $O = 4 \Rightarrow M = 5; T = 7$, ta được:

    170Y

+  844L

= 10154

$\Rightarrow Y, L \in $ {$2; 3; 6; 9$} và $Y + L \geqslant 10$ => Không thỏa.

Nếu $O = 2 \Rightarrow M = 3; T = 9$, ta được:

    190Y

+  822L

= 10132

$\Rightarrow Y, L \in $ {$4; 5; 6; 7$} và $Y + L \geqslant 10$

$\Rightarrow Y = 5; L = 7$ hoặc $Y = 7; L = 5$.

Lúc này, SASMO = $10132$.

 

TH2: $C = 9$ và $A = 0$. Ta có: ... (lười làm quá)

TH3: $C = 9$ và $A = 1$. Ta có: ... (lười làm quá)

^^

 

Vậy, STAY = $1907$, COOL = $8225$ và SASMO = $10132$

hoặc STAY = $1905$, COOL = $8227$ và SASMO = $10132$

Cho $abcd=1$. Chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\geq 1$

 

Hướng giải của em như sau:

 

Từ $abcd = 1$ ta có: $a = \frac{1}{bcd}$, $b = \frac{1}{acd}$, $c = \frac{1}{abd}$, $d = \frac{1}{abc}$ (1)

và $a$, $b$, $c$, $d$ $\neq 0$

Thay (1) vào bất đẳng thức đã cho, ta được:

$\frac{1}{(\frac{1}{bcd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{acd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{abd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{abc})^{2} + 1} \geqslant 2$

$\Leftrightarrow \frac{(bcd)^{2}}{(bcd)^{2} + 1} + \frac{(acd)^{2}}{(acd)^{2} + 1} + \frac{(abd)^{2}}{(abd)^{2} + 1} + \frac{(abc)^{2}}{(abc)^{2} + 1} \geqslant 2$

Bất đẳng thức trên tương đương với:

$\frac{w}{w + 1} + \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geqslant 2 \forall w, x, y, z > 0$

Dễ dàng chứng minh: $\frac{w}{w + 1} \geqslant \frac{1}{2} \forall w > 0$ ....

$\Rightarrow \frac{w}{w + 1} + \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$

hay $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1} + \frac{1}{c^{2} + 1} + \frac{1}{d^{2} + 1} \geqslant 2$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = d$

Chắc bạn ấy tách hết mẫu ra đó em !!!

 

Tách hết tử chứ anh nhỉ?

Mà nếu làm thế thì cơ hơi "dở" không anh? Em nghĩ phải có cách tách nào ngắn và dễ hơn chứ nhỉ