taconghoang

Bài 71 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm bất kì thuộc trung trực của BC. $I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác ABM, ACM. Chứng minh $(AI_{1}I_{2})$ qua 1 điểm cố định.

Bài 9 : Cho bảng ô vuông kích thước 2017x2018, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi. Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ ô đó một viên sỏi sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa viên sỏi).  Hỏi sau hữu hạn phép thực hiện các bước trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô hay không ? 

$\text{ Gọi tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại C của } (O) \text{ tại } S.$

$\text{Dễ dàng chứng minh } S,X,A \text{ thẳng hàng và } AX \text{ là đường đối trung trong tam giác } ABC$.

$\text{ Phần chứng minh đã có tại đây }$ https://diendantoanh...-2019/page-3}$.

$\angle NAZ  = \angle YAX = 90 - \angle AZY \Rightarrow AN \perp YZ$.

$\frac{NE}{NF} = \frac{BX}{CX} = \frac{BY}{YF} = \frac{CZ}{ZE} \Rightarrow ZN \perp AY , YN \perp AZ \Rightarrow \text{ dpcm}$.

diendan(105).PNG

Cách khác phù hợp với THCS hơn  

Bài 51: Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước

Gọi D là điểm chính giữa cung BC chứa A. E là trung điểm BC 

Ta có : 

$S_{ABC}\leq S_{DBC}=DE.CE=\sqrt{R^2-OE^2}.(R+OE)=\sqrt{(R+OE)^3(R-OE)}=\frac{\sqrt{(R+OE)(R+OE)(R+OE)(3R-3OE)} }{\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A trùng D và 3R-3OE=R+OE => R=2OE => AB=AC=CB

Bài 41: Cho tam giác ABC và các điểm như hình vẽ 

a)CM rằng nếu diện tích các tam giác được tô màu đôi một bằng nhau thì diện tích các tứ giác không được tô màu cũng đôi một bằng nhau.

Câu này dành cho bạn nào có hứng thú: b)Tìm tất cả các tam giác ABC và bộ điểm D,E,F  tương ứng thỏa đk ở câu a)

Câu a) chỉ cần chứng minh K là trung điểm CD là xong  

Ta có : $S_{IJK}=S_{CKF}\Rightarrow S_{ICJ}=S_{CFJ}\Rightarrow IF//CJ$

Áp dụng bổ đề hình thang vào hình thang JIFC => AK đi qua trung điểm L của CJ 

Tương tự ta cũng có DJ//AK => KL //DJ => K là trung điểm CD. 

P/s : sr em làm theo hình của em mọi người thông cảm vì điểm không giống đề :3 

 

Bài $35$: Cho $\triangle ABC$ nhọn. Đường tròn $(O; \dfrac{BC}{2} )$ cắt $AB, AC$ thứ tự tại $E,D$. Các tiếp tuyến kẻ từ $E,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $I$ và lần lượt cắt tiếp tuyến kẻ từ $B, C$ của $(O)$ tại $F,G$. $FG$ cắt $AI$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $M,N$. Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle ABC $ và $MA, NA$ lần lượt các tiếp tuyến của $(O)$.

 

Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.

 

 

Hồi lớp 9 tôi khá thích tự phát hiện ra những tính chất hình học, hôm nay tìm lại được vài bài trên máy tính nên muốn đóng góp cho Topic.

 

Bài 35 đơn giản lại như sau : Cho tam giác ABC, đường tròn (O;BC/2) cắt AB AC tại E F. H là trực tâm tam giác ABC. I là trung điểm AH.Từ A vẽ các tiếp tuyến AM,AN. Chứng minh IE IF là các tiếp tuyến của (O) và M,N,H thẳng hàng

Bài này quen quá rồi

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $BE,CF$. $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ cắt $EF$ tại $N$. Kẻ $NX \perp BC$, $XY \perp AB$ , $XZ \perp AC$. Chứng minh $N$ là trực tâm của tam giác $AYZ$.

1. Chứng minh tổng hai góc đối.

2. Chứng minh được $MM_1,NN_1,PP_1,QQ_1$ là các phân giác tương ứng nên $M_1N_1,P_1Q_1$ là các đường kính của $(MNPQ)$.

Câu 2. Phải chứng minh nó là trục đối xứng trước rồi mới suy ra được nó là đường kính chứ ? 

Bài 29 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), (I) là đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. AI cắt (O) tại A,J. E là trung điể m của BC. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S. AS cắt (O) tại A và D. DI cắt (O) tại D và M. Chứng minh MJ chia đôi IE.

Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ IM,IN,IK là các đường vuông góc tới BC,CA,AB. Tìm vị trí của điểm I sao cho $IM^2+IN^2+IK^2$ bé nhất. ( Đề tuyển sinh 10 tỉnh Bình Định 2017-2018)

Bài 20 : Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Qua P vẽ đường thẳng d1 bất kỳ cắt (O1) và (O2) tại A và P, đường thẳng d2 qua P cắt (O1) và (O2) tại C và D. BD cắt AC tại X. Vẽ dây PY// BD (Y $\in$ (O1)), PZ//AC (Z $\in$ (O2)). Chứng minh rằng : X, Y, Z, Q thẳng hàng.

 

 

 

 

 

Dễ dàng chứng minh được CDAE và CDFB nội tiếp. $\angle SDT = \angle CAB+\angle CBA =180^0- \angle SCT$

Từ đây suy ra SCTD nội tiếp.$\Rightarrow \angle CST=\angle CDT=\angle CBF=\angle CAB$

Từ đây suy ra ST // AB

Mình xin Mở rộng bài Toán:

a) Chứng minh ST là tiếp tuyến chung của (TCF) và (SEC)

b)Gọi N là giao điểm thứ 2 của ( TCF) và (SEC). Chứng minh CN đi qua một điểm cố định

a) Ta có : $\widehat{CST}=\widehat{CAD}=\widehat{CED} \Rightarrow ST$ là tiếp tuyến của (SEC). 

Tương tự ta cũng có ST là tiếp tuyến của (TCF)

gọi $T$ là tiếp điểm của $(O)$ và $(O')$, $TF$ cắt $(O)$ tại $N$, $AN$ cắt $EF$ tại $I$.

$O'F \perp BD$ nên $ON \perp BD$ do đó $N$ là điểm chính giữa cung $BD$ nên $AN$ là phân giác $\angle DAB$.

Dễ dàng chứng minh $BN^2 = NF.NT (1)$ ($\Delta NFB \sim \Delta NBT$)

$\angle NAT = \frac{1}{2}$ sđ cung $NT = \angle IET$ nên tứ giác $IEAT$ nội tiếp nên $\angle AIT = \angle AET = \angle IFT$ nên $\Delta NIF \sim \Delta NTI$ suy ra $NF.NT = NI^2 (2)$ 

từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $NI = NB = ND$ nên $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$.

Này là hệ quả của định lý Lyness : bổ đề Sawayama.

Mình xin tiếp sức 1 hệ quả khác từ bổ đề Sawayama 

Bài 18 : Cho đường tròn (O) hai điểm A,B nằm trên đường tròn, điểm C nằm trong đường tròn (O). Đường tròn (O') tiếp xúc trong với (O) tại R và tiếp xúc với CA,CB theo tứ tự ở P,Q. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh : A,P,R,I đồng viên.

Gọi D là giao điểm thứ 2 của AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dễ dàng chứng minh được D đối xứng với H qua BC.
Suy ra $R_{BHC}=R_{BDC}=R_{ABC}$.

Tương tự ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC, CHA, AHB bằng nhau và cùng bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

p/s: bạn Lao Hac mới lớp 8 thì phải, không cần quá chương trình làm gì đâu cho khổ ....

Tớ nghĩ bài này dùng hình bình hành của lớp 8.(phù hợp với lớp 8 hơn =))

vẽ hình bình hành BDCH và gọi M là trung điểm của BC 

Chứng minh được AH = 2OM 

Gọi N là điểm đối xứng của O qua BC 

Ta có OBNC là hình thoi và NOAH là hình bình hành => (N;R) là đường tròn qua B H C tương tự với các đường tròn còn lại.

Góp cho TOPIC một bài

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB>AC$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau ở $H$.  $BC$ cắt $EF$ ở $K$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $(O), (O')$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác $AEF, BKE$. Chứng minh $H$ là trực tâm của tam giác $AMK$.

 

p/s: Sưu tầm

Đây là 1 TH đặc biệt của định lý Brocard thì phải. 

Cho e hỏi cách vẽ (O') của bài 10 với ạ.