PhanThai0301

Cho ABC có góc BAC lơn hơn hoặc bằng 60 độ. CMR AB+ ÁC bé hơn hoặc bằng 2BC.

Xin chào mọi người . Sau đây mình sẽ cung cấp các bài toán về đa thức.

[1] CMR không có đa thức $P(x)$ nào với hệ số nguyên có thể có giá trị $P(7)= 5, P(15)= 9$.

[2] Cho $f(x)$ là đa thức bậc lớn hơn 1 có hệ số nguyên, k,l là 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. CMR f(k+l) $\vdots k.l$ khi và chỉ khi f(k)$\vdots l$ và $f(l)\vdots k.$.

[3] Cho f(x), g(x) là 2 đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện F(x)= $f(x^{3})+xg(x^{3})$ chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$. CMR $f(x), g(x)$ cùng chia hết cho $(x-1)$.                                                                   

[4] Cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên và f(0), f(1) là các số lẻ. CMR đa thức f(x) ko có nghiệm nguyên.        

[5] Cho f(x)= $ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn với mọi x sao cho $-1\leq x\leq 1$ và $\left | f(x) \right |\leq q$. Tìm $q$ nhỏ nhất sao cho $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq pq.$.

[6] Xác định đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận $\sqrt[7]{\frac{5}{3}}+\sqrt[7]{\frac{3}{5}}$ là một nghiệm.

[7] CMR nếu đa thức P(x)= $x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+1$ có nghiêm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2.$.

[8]  Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn $P(2012)= P(2013)= P(2014)= 2013$. CMR đa thức $P(x)- 2004$ ko có nghiệm nguyên.

[9] Cho đa thức f(x)= $a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a^{4}(a_{0}\neq 0;a_{1},_{2},_{3} ,a_{4})$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $f(2004)=f(-2004) và f(2015)= f(-2015)$

     CMR f(x)= f(-x) với mọi số thực x.

[10] Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thỏa mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: $xP(x-1)= (x-2)P(x)$.

Tobe continue.........................

 Thêm 1 bài tỉ lệ thức nữa nhé!

           Cho $Cho \frac{bz+cy}{x(-ax+by+cz)}=\frac{cx+az}{y(ax-by+cz)}=\frac{ay+bx}{z(ax+by-cz)}$ (1)

                   a) Chứng minh $a) \frac{ay+bx}{c}=\frac{bz+cy}{a}=\frac{cx+az}{b}$

               b) $\frac{x}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}=\frac{y}{b(a^{2}+c^{2}-b^{2})}=\frac{z}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

 a) Đặt k=  $\frac{xyz(bz+cy)}{x(-ax+by+cz)}=\frac{xyz(cx+az)}{y(ax-by+cz)}=\frac{xyz(ay+bx)}{z(ax+by-cz)}$

       =>k= $\frac{yz(bz+cy)}{-ax+by+cz}=\frac{xz(cz+az)}{ax-by+cz}=\frac{xy(ay+bx)}{ax+by-cz}$

     Suy ra k= $\frac{yz(bz+cy)}{-ax+by+cz}=\frac{xz(cx+az)}{ax-by+cz}=\frac{yz(bz+cy)+xz(cx+az)}{2cz}=\frac{c(x^{2}+y^{2})+z(ax+by)}{2c}$

     Lập tương tự ta có: k= $\frac{a(y^{2}+z^{2})+x(by+cz)}{2a}=\frac{b(z^{2}+x^{2})+y(cz+a)}{2b}$

     Suy ra: $\frac{c(x^{2}+y^{2})+z(ax+by)}{c}=\frac{a(y^{2}+z^{2})+x(by+cz)}{a}=\frac{b(z^{2}+x^{2})+y(az+ax)}{b}$

     Trừ mỗi vế trên cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, suy ra:

         $\frac{z(ax+by-cz)}{c}=\frac{x(by+cz-ax)}{a}=\frac{y(cz+ax-by)}{b}$       (2)

    Nhân các đẳng thức (2) với (1) tương ứng ta có:

         $a) \frac{ay+bx}{c}=\frac{bz+cy}{a}=\frac{cx+az}{b}=\frac{1}{M}$   (dpcm)

  b) Từ phần a)=> $\frac{1}{2abcM}=\frac{x}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}=\frac{y}{b(c^{2}+a^{2}-b^{2})}=\frac{z}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$ (đpcm).

 Tìm các số nguyên tố $p_{1}; p_{2}; . . .;p_{8}$ thỏa mãn phương trình: $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+...+p_{7}^{2}=p_{8}^{2}$

           Giải phương trình sau:  $(x^{4}+5x^{3}+8x^{2}+7x+5)^{4}+(x^{4}+5x^{3}+8x^{2}+7x+3)^{4}=16$.

    Cho 2 tập hợp A và B thoă mãn đồng thời 2 điều kiên a, b sau:

a) Trong mỗi tập hợp, các phần tử của nó đều là các số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 2008.

b) Tổng số các phần tử của 1 tập hợp lớn hơn 2008.

   CMR tồn tại ít nhất 1 phần tử của tập hợp A và 1 phân tử của tập hơp B có tổng bằng 2008.

Mình xin đóng góp bài này: $CMR$: trong $1990$ số tự nhiên liên tiếp tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho $27$.

      Giả sử 1990 số tự nhiên liên tiếp là:

          n, n+1, n+2, . . .,n+1899.                                                                        (1)

    Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2, . . ., n+999 có một số chia hết cho 1000.

    Giả sử số đó là n' có tận cùng là 3 chữ số 0 và giả sử tổng các chữ số của n' là k.

    Khi đó 27 số n'+1; . . .; n'+9; n'+19; . . .; n'+99; n'+199; n'+299; . . .; n'+899 (2) có tổng các chữ số lần lượt là k, k+1, k+2, . . ., k+26.

    Trong đó 27 số tự nhiên liên tiếp k, k+1, k+2, . . ., k+26 có 1 số chia hết cho 27(đpcm).

     Chú ý rằng từ $n'+899\leq n+999+899< n+1899$ nên các số ở trong dãy (2) còn nằm trong dãy (1).

     =>đpcm