PhanThai0301

$4, a,b,c>0, a+2b+3c\geq 10, CMR: P= a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8a}+\frac{1}{c}\geq \frac{13}{2}$
 

P/s: mình nghĩ bài này ko ra trong kì thi chuyên đâu.

  Giả sử P đạt GTNN tại a= x, b= y, c= z thì $x+2y+z=10$.                                                                             (1)

  Ta có: $\frac{3}{4a}=\frac{3}{4x}=\frac{3a}{x^{2}};\frac{9}{8b}=\frac{9}{8x}=\frac{9a}{x^{2}};\frac{1}{c}=\frac{1}{z}=\frac{c}{z^{2}}$.

  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có;

       $\frac{3}{4a}+\frac{3a}{x^{2}}\geq \frac{3}{x}$.

      $\frac{9}{8b}+\frac{9b}{8y^{2}}\geq \frac{9}{4y}$.

       $\frac{1}{c}+\frac{c}{z^{2}}\geq \frac{2}{z}$

  => $P\geq a(1-\frac{3}{x^{2}})+b(1-\frac{9}{8y^{2}})+c(1-\frac{1}{z^{2}})+\frac{3}{x}+\frac{9}{4y}+\frac{2}{z}$.

   Để sử dụng được GT thì $1-\frac{3}{x^{2}}=\frac{1-\frac{9}{8y^{2}}}{2}=\frac{1-\frac{1}{z^{2}}}{3}$    (2)

   Từ (1); (2) ta tìm ra x, y ,z thay lại vào biểu thức ta tìm được GTNN của P là $\frac{13}{2}$.

Cho số $\overline{abcd}$ là số nguyên tố có 4 chữ số. Chứng minh rằng phương trình: 

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ không có nghiệm hữu tỷ 

 Chém bài này đã .

 Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm này phải âm giả sử nghiệm đó là $x_{0}=-\frac{p}{q};p,q\epsilon N*$, (p,q)= 1. Khi đó:

        $-a\frac{p^{3}}{q^{3}}+b\frac{p^{2}}{q^{2}}-c\frac{p}{q}+d=0$.

<=> $-ap^{3}+bp^{2}q-cpq^{2}+dq^{3}=0$ => $\left\{\begin{matrix} a\vdots q & & \\ d\vdots p & & \end{matrix}\right.$

  Do đó p, q là các số tự nhiên có 1 chữ số và vì p, q là nghiệm của phương trình nên $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(qx+p)(ex^{2}+fx+g);e,f,g\varepsilon N*, có 1 chữ số.$

  Ta có: $\overline{abcd}=f(10)=(10q+p)(100e+10f+g)=\overline{qp}.\overline{efg}$ trái với GT $\overline{abcd}$ là số nguyên tố.

   Vậy điều phản chứng là sai ta có đpcm.

giải hộ mình bài này với các bạn ơi 

cho phân số tối giản $\frac{p}{q}$ thoả mãn 

$\frac{p}{q}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{2017}$. chứng minh p lẻ q chẵn

 Ta chỉ cần cm q chẵn là đủ (vì khi đó $\frac{p}{q}$ là số lẻ kéo theo p là số lẻ).

 Ta có: $2^{10}=1024<2017<2048=2^{11}$. Đặt N= 2017!, khi đó sẽ tồn tại sô nguyên dương k>10 sao cho $\inline N\vdots 2^{k}$ mà N không chia hết cho $2^{k+1}$.

 Từ đó $N=2^{k}m$ (m là số lẻ nào đó).

 Nhận thấy $\frac{p}{q}=\frac{a_{1}+a_{2+...+a_{2017}}}{N}$ (với $a_{i}=\frac{N}{i}$, ở đó i= 1, 2, ..., 2017).

 Mặt khác theo lí luận trên thì $a_{i}=2^{k-10}b_{i}$ (ở đó $b_{i}$ là số chẵn, với mọi i=1,2,..,2017).

 Do đó $\frac{p}{q}=\frac{2^{k-10}(b_{1}+...+b_{2017})}{2^{k}m}=\frac{b_{1}+...+b_{2017}}{2^{10}m}$.

 Lí luận kéo theo $b_{1}+...+b_{2017}$ là số lẻ suy ra q chẵn (Q.E.D)

Mình có cách khác hay hơn cho bài này

$<=>\frac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ba}}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{{a\sqrt{a^2+8bc}}+{b\sqrt{b^2+8ac}}+{c\sqrt{c^2+8ba}}}$ ($bunhiacovxki$)

Đặt $M={a\sqrt{a^2+8bc}}+{b\sqrt{b^2+8ac}}+{c\sqrt{c^2+8ba}}$

$={\sqrt{a}.\sqrt{a}\sqrt{a^2+8bc}}+{\sqrt{b}.\sqrt{b}\sqrt{b^2+8ac}}+{\sqrt{c}.\sqrt{c}\sqrt{c^2+8ba}}$

${\sqrt{a}\sqrt{a^3+8bca}}+{\sqrt{b}\sqrt{b^3+8bca}}+{\sqrt{c}\sqrt{c^3+8bca}}$

$M^2\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3.(2\sqrt{a}\sqrt{b}).(2\sqrt{b}\sqrt{c}).(2\sqrt{c}\sqrt{a}))$ ( $bunhiacovxki$)

$\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a))$ ( $cauchy$)

$=(a+b+c)(a+b+c)^{3}=(a+b+c)^{4}$

$=> M \leq (a+b+c)^2$

$A\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

$Q.E.D$

  Bạn ơi nếu a, b, c =0 thì tất cả cm của bạn đều sụp đổ, cái này đã có nhiều người nhầm lẫn.

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

        $(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$.

Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

   $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$.

BÀI 134

CMR: 

A=$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ba}}\geq 1$

  Cách 1: Sử dụng BĐT Holder cách này đã trình bày nhiểu trên diễn dàn.

  Cách 2: Ta chọn số dương r sao cho:

                     $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}\geq \frac{a^{2r}}{a^{2r}+2(bc)^{r}}$

                BĐT tương đương với $a^{2}(a^{2r}+2(bc)^{r})^{2}\geq (a^{2}+bc)a^{4r}$.

                                           <=> $b^{2r}c^{2r}+a^{2r}b^{r}c^{r}\geq 2a^{4r-2}bc$.   

                Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

                          $b^{2r}c^{2r}+a^{2r}b^{r}c^{r}\geq 2a^{r}b^{\frac{3r}{2}}c^{\frac{3r}{2}}$.

                Để dấu "=" thì $r=4r-2;3r=2$ <=> $r=\frac{2}{3}$.

                Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

                          $A\geq \frac{a^{2r}+b^{2r}+c^{2r}}{a^{2r}+b^{2r}+c^{2r}}=1$ (Q.E.D)

               Dấu bằng xảy ra khi <=> a = b = c.

Help me

Cho a,b,c>1 và 1/a+1/b+1/c=2

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$

(Olympic Iran 98)

 Vì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ => $\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$.

 Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:

    $x+y+z\doteq (x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^{2}$.

 => đpcm.

 Dấu bằng "=" xảy ra khi x = y = z = 3/2.
 

Cho a, b, c là các số thực tùy ý. CMR $(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$.

Cho x,y,z>0 thỏa mãn 2x + 4y + 7z = 2xyz

Tìm GTNN: P=x + y +z

  Bài này mình đã post lên vmf mà chưa có ai giải bây giờ mình mới nghĩ ra xin trình bày lời giải như sau:

 Giả sử P đạt min khi x =a, y =b, z =c. Khi đó a, b, c >0 và 2a + 4b + 7c = 2abc.                         (1)

 Dễ thấy khi P đạt min thì $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1$ và ta có thể viết các biểu thức x + y +z, 2x + 4y + 7z lại thành:

             $2x+4y+7z=2a.\frac{x}{a}+4b.\frac{y}{b}+7c.\frac{z}{c}$

 Áp dụng AM-GM ta có:

            $(x+y+z)^{2}(2x+4y+7z)\geq (a+b+c)^{2}(2a+4b+7c)[(\frac{x}{a})^{a}(\frac{y}{b})^{b}(\frac{z}{c})^{c}]^{\frac{2}{a+b+c}}[(\frac{x}{a})^{2a}(\frac{y}{b})^{4b}(\frac{z}{c})^{7c}]^{\frac{1}{2a+4b+7c}}$.

 Cái ta cần là 1 đánh giá dạng $(x+y+z)^{2}(2x+4y+7z)\geq kxyz$ để có thể sử dụng GT kaf suy ra kết quả bài toán.    Do đó, ta phải chọn các số x, y, z thích hợp sao cho số mũ của chúng bằng 1, tức là:

           $\left\{\begin{matrix} \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2a}{2a+4b+7c}=1& \\ & \\ \frac{2b}{a+b+c}+\frac{4b}{2a+4b+7c}=1 & \frac{2c}{a+b+c}+\frac{7c}{2a+4b+7c}=1 \end{matrix}\right.$                          (2)

  Từ (1); (2) ta tìm đc $a=3,b=\frac{5}{2},c=2$. Lúc này ta có:

           $x+y+z\geq \frac{15}{2}$.

  Vậy Min x + y + z là $\frac{15}{2}$ <=> $x=3,y=\frac{5}{2},z=2.$

Câu 5: (1 điểm)
    Chứng minh với mọi số nguyên $m \times n \geq 3$ bao giờ cũng xây dựng được 1 bảng chữ nhật gồm $m \times n$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng mỗi dòng, tổng mỗi cột là một số chính phương.          

    Ta xét n số thỏa mãn $a_{1}=x_{1}^{2}$    là số cp chẵn ,$a_{2}=x_{2}^{2}<...<a_{m-1}=x_{n-1}^{2}$ là các số cp chẵn lớn hơn $a_{1}$ và nếu tổng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}=2k+1$ ta chọn $a_{m}=x_{n}^{2}=k^{2}$.

   Ta chọn dãy $b_{1}$ là số cp lẻ và $b_{1}\geq 3^{2}$.

   Chọn $b_{2}=y_{2}^{2},b_{3}=y_{3}^{2},...,b_{n-1}=y_{y-1}^{2}$ là các số cp chẵn thỏa mãn $y_{2}>x_{m}.y_{1},y_{3}>x_{m}.y_{2},...,y_{n-1}>x_{m}.y_{y-2}$ nếu $b_{1}+b_{2}+...+b_{n-1}=2k+1$ , chọn

$b_{n}=y_{n}^{2}=h^{2}$. Khi đó $b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$ là số cp.

   Xét bảng m.n. Ta c/m đc bảng xây dựng như vậy là đúng vs đề bài.

   Xét dòng thứ i, tổng các số ở dòng i là $x_{i}^{2}y_{j}^{2}+...+x_{i}^{2}y_{n}^{2}=x_{2}^{2}(y_{j}^{2}+...+y_{n}^{2})$ là số cp.

    Tương tự tổng ở cột j là số cp.

     Mặt khác các số trong bảng phân biệt.

     => đpcm.

Cách khác của mình :

        Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:

               $\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(y+z)}}\leq \frac{x}{2x+\sqrt{yz}}$.

        Đặt $a=\sqrt{\frac{yz}{x^{2}}},b=\sqrt{\frac{xy}{z^{2}}},c=\sqrt{\frac{xz}{y^{2}}}$ thì abc = 1.

        Do đó ta cần chứng minh nếu abc = 1 thì

              $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq 1$.

        Quy đồng mẫu số rồi áp dụng BĐT AM - GM => đpcm.

Đề thi THPT chuyên tỉnh Hưng Yên vòng 2.

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2x + 4y + 7z = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z.

Đề thi vào chuyên tỉnh Hưng Yên vòng 1.

P/s: nguồn lượm trên facebook.