PhanDHNam

Chứng minh tồn tại $n\epsilon \mathbb{N}$(n khác không) sao cho  $(a^{n} -1)\vdots m$(ƯCLN(a,m)=1) 

Bài toán trên là bài toán mình giả định,rút ra từ bài toán khác.Mọi người thử chứng minh giúp mình với!

Dễ thấy $a^n-1\vdots a-1$.Vậy nếu m và a là hai số tự nhiên liên tiếp ( m<a) ( thỏa mãn điều kiện (m;a)=1) => m = a - 1

$\Rightarrow a^n-1\vdots m$ ( Do m = a - 1 )

Vậy tồn tại số tự nhiên n sao cho $a^n-1 \vdots m$ ((a;m)=1)với điều kiện m và a là  hai số tự nhiên liên tiếp 

Thật vậy giả sử lấy a= 3; m = 2; và n là số tự nhiên bất kì dễ thấy $3^n-1\vdots 2$

Tại sao đoạn đầu bạn lại suy được ra như vậy: Từ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x^2+x-1=0$

$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow 2x+1=-\sqrt{5}\Rightarrow 4x^2+4x+1=5\Rightarrow 4x^2+4x-4=0\Rightarrow x^2+x-1=0$

Từ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x^2+x-1=0$

$\Rightarrow x^2=1-x\Rightarrow x^8=x^4+4x^2+1+2x^2-4x-4x^3$

$\rightarrow \Rightarrow x^8+10x+13=x^4-4x^3+6x^2+6x+14=x^4-4x(x^2+x-1)+10x^2+2x+14=x^4+10x^2+2x+14$

mà $x^2=1-x\Rightarrow x^4=x^2-2x+1$

$\Rightarrow x^4+10x^2+2x+14=11x^2+15$

Hay $x^8+10x+13=11x^2+15$  (*)

do $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x^2=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$ Thay vào (*) ta được $x^8+10x+13=\frac{126+22\sqrt{5}}{4}\Rightarrow \sqrt{x^8+10x+13}=\sqrt{\frac{126+22\sqrt{5}}{4}}$

Từ giả thiết ta có : $(a-2)(a+1)\leq 0\Leftrightarrow a^2\leq a+2$ tương tự với b, c cộng ba vế lại ta được đpcm 

Done

$\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(2-x)^2}\geq \frac{2}{(x-1)(2-x)}\Rightarrow M\geq \frac{3}{(x-1)(2-x)}\geq \frac{3}{\frac{(x-1+2-x)^2}{4}}=12$

Min M = 12 khi x = 3/2

Đề thiếu x, y, z là các số dương nhé  

Đặt $a=\sqrt[3]{x}; b=\sqrt[3]{y}; c=\sqrt[3]{z}\Rightarrow abc=1$ và bất đẳng thức trở thành 

$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}$ 

Mặt khác do $a^3+b^3\geq ab(a+b)\Rightarrow a^3+b^3+abc\geqslant ab(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Done. 

Lời giải: 

Đặt $(a+b+c;ab+bc+ca;abc)=(p;q;r)$. Theo đề: $p=3$. 

Ta có hệ thức quen thuộc sau: $p^3+9r\ge 4pq\implies 27+9r\ge 12q\implies 9+3r\ge 4q\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.

Khi đó: $abc+\frac{12}{ab+bc+ca}=r+\frac{12}{q}\ge \frac{4q-9}{3}+\frac{12}{q}=\frac{4q}{3}+\frac{12}{q}-3=\frac{4}{3}(q+\frac{9}{q})-3\ge \frac{4}{3}.2.3-3=5$.

Vậy GTNN cần tìm là $5$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.

Cách của mình làm đến bước cuối thì không biết đánh giá kiểu gì 

Theo nguyên lí Dirichle trong ba số $a-1, b-1, c-1$ có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là : $a-1, b-1$

Khi đó $(a-1)(b-1)c\geq 0\Leftrightarrow abc\geq ac+bc-c=c(3-c)-c$

$\Leftrightarrow abc\geq 2c-c^2$

Mặt khác ta có : $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b)^2}{4}+c(3-c)=\frac{(3-c)^2}{4}+c(3-c)$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq \frac{-3c^2+6c+9}{4}\Leftrightarrow \frac{12}{ab+bc+ac}\geqslant \frac{48}{-3c^2+6c+9}=\frac{16}{-c^2+2c+3}$

$\Rightarrow abc+\frac{12}{ab+bc+ac}\geqslant 2c-c^2+\frac{16}{2c-c^2+3}$. Đến đây mình định đặt cụm $2c-c^2=t$ rồi AM-GM nhưng lại không biết âm dương, mong bạn góp ý . Mình cảm ơn

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =3. Tìm GTNN của biểu thức $abc + \frac{12}{ab+bc+ac}$

sách bài tập nâng cao toán 10 hình học có đấy bạn

Cho tam giác ABC bất kỳ. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có:

$1 + \frac{1}{2}x^2 \geq cosA + x( cosB + cosC)$

Ta chứng minh BĐT $2y^4+2z+1> x+y+z$ luôn đúng.
Ta có:
$2y^4-2y+1=2y^4-2y^2+\frac{1}{2}+2y^2-2y+\frac{1}{2}= 2(y^2-\frac{1}{2})^2+2(y-\frac{1}{2})^{2}> 0$
Hay $2y^4+1>2y$
Do đó $2y^4+2z+1>2y+2z=(y+z)+(y+z)> x+y+z$ (do x,y,z là 3 cạnh của một tam giác)
Tương tự, ta được: VT<$\sum \frac{x}{x+y+z}= 1$(Q.E.D)

Chuẩn rồi bạn

$\frac{x}{y^{4}+2y^{2}+2z}=\frac{x}{(y^{2}+1)^{2}+2z-1}< \frac{x}{2z-1}$
$\frac{x}{2z-1}+\frac{y}{2x-1}+\frac{z}{2y-1}< 1<=>x(2x-1)(2y-1)+y(2y-1)(2z-1)+z(2z-1)(2x-1)< (2x-1)(2y-1)(2z-1)<=>x(4xy-2x-2y+1)+y(4yz-2y-2z+1)+z(4xz-2z-2x+1)< (2x-1)(4yz-2y-2z+1)<=>4x^{2}y-2x^{2}-2xy+x+4y^{2}z-2y^{2}-2yz+y+4xz^{2}-2z^{2}-2xz+z< 8xyz-4xy-4xz+2x-4yz+2y+2z-1<=>4x^{2}y+4y^{2}z+4z^{2}x-2x^{2}-2y^{2}-2z^{2}< 8xyz+x+y+z-1-2xy-2yz-2xz$

Bác sai đề rồi kìa

Sao lại bị khóa thế bác em mới vô ko biết

Bài 1:1. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$

Ta có : $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\geq 2+\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y\geq 2$

 mà $x\geq y\Rightarrow 2\leq x+y\leq 2x\Rightarrow x\geq 1$

Ta có : $4=\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}\leq \frac{x+1}{2-x}+\frac{x+1}{x}$

$\Rightarrow 4\leq \frac{2(x+2)}{x(2-x)}\Rightarrow 0<\frac{2(x+2)}{x(2-x)}\Rightarrow 0

tương tự với câu kia