Sin99

Bài này có thể giải bằng định lý Pascal

Vâng em cảm ơn, cơ mà em đang nghĩ đến cách sơ cấp nhất có thể, phù hợp với kiến thức lớp 9 thôi ạ 

E,F ở đâu vậy bạn?

Sr bạn, mình gõ thiếu chính xác, đính chính lại: $ BM $ cắt $ (O) $ tại $ E $, $ CM $ cắt $ (O) $ tại $ F $.

Đặt $ a = x + 2, b = y  +2 , c = z  +2 \Rightarrow x+y+z = 0 $ 

BĐT $ \Leftrightarrow (\sum ab)^2 - 9\sum ab - 9abc + 36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow (\sum xy + 12)^2 - 9( \sum xy + 12) - 9(x+2)(y+2)(z+2) +36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow  (\sum xy )^2 - 3 (\sum xy) - 9xyz \geq 0 $.

Thay $ z = -x - y $ vào, BĐT có dạng $ (x^2+y^2+xy)^2 + 3(x^2+y^2+xy) + 9xy(x+y) \geq 0 $.

Do $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0, giả sử là $ xy $.

Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2 + xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $, ta có  VT  $ \geq 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) $

Ta chỉ cần chứng minh  $ 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) \geq 0 $ hay $ [ 3xy + \frac{3}{2}(x+y) ]^2 \geq 0 $ (Đúng).

Bạn có thể AM-GM trực tiếp: 

$ P \geq 2\sqrt{2\frac{ab+bc+ac}{ab+bc+ac} } = 2\sqrt{2} $.

Dấu "=" xảy ra khi $ 2(ab+bc+ac)^2 = 1 $ hay $ ab+bc+ac = \sqrt{\frac{1}{2} } $. 

Ta đưa về giải hệ  $ \begin{cases} a+b = 3-c \\ ab = \sqrt{\frac{1}{2}} + c^2 - 3c \end{cases} $ 

Đề là như vậy à bạn: $ P = 2(ab+bc+ac) + \frac{1}{ab+bc+ac} $ ?