Sin99

$ \textbf{Bài toán} $ Cho $ \Delta ABC $ nội tiếp $ (O) $ có phân giác $ AD $ cắt $ (O) $ tại $ D $. Gọi $ M $ là 1 điểm bất kì trên $ AD $, $ BM, CM $ cắt $ (O) $ tại $ E, F $. $ EF $ cắt tiếp tuyến của $ (O) $ tại $A$ ở $ T $.

CMR: $ TM // BC $.

Đặt $ a = x + 2, b = y  +2 , c = z  +2 \Rightarrow x+y+z = 0 $ 

BĐT $ \Leftrightarrow (\sum ab)^2 - 9\sum ab - 9abc + 36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow (\sum xy + 12)^2 - 9( \sum xy + 12) - 9(x+2)(y+2)(z+2) +36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow  (\sum xy )^2 - 3 (\sum xy) - 9xyz \geq 0 $.

Thay $ z = -x - y $ vào, BĐT có dạng $ (x^2+y^2+xy)^2 + 3(x^2+y^2+xy) + 9xy(x+y) \geq 0 $.

Do $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0, giả sử là $ xy $.

Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2 + xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $, ta có  VT  $ \geq 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) $

Ta chỉ cần chứng minh  $ 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) \geq 0 $ hay $ [ 3xy + \frac{3}{2}(x+y) ]^2 \geq 0 $ (Đúng).

Đề là như vậy à bạn: $ P = 2(ab+bc+ac) + \frac{1}{ab+bc+ac} $ ? 

Ta có $ \frac{4}{3} \geq x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} - (x+y+z) $

Suy ra $ 0 \geq (x+y+z)^2 - 3(x+y+z) - 4 $ hay $ 0 \geq (x+y+z-4)(x+y+z+1) $

Nếu  $ x+y+z \leq -1 $ và $ x+y+z \geq 4 $ (Vô lí) nên $ x+y+z \geq -1 $ và $ x+y+z \leq 4 $ (đpcm)

Bài 1) Áp dụng BĐT: $ 9(x+y)(y+z)(x+z) \geq 8(x+y+z)(xy+yz+xz) $ 

Bài 2 hình như trong cuốn 1001 bài toán sơ cấp 

Cách khác của mình tại đây: https://diendantoanh...hức-và-cực-trị/

Áp dụng Cosi:

$ \frac{a^2}{b-1} + 4(b-1) \geq 4a $

$ \frac{b^2}{a-1} + 4(a-1) \geq 4b $ 

Cộng theo vế có $ VT \geq 8 $ 

Vậy Min A = 8 khi a = b = 2.

(Bạn nên học gõ Latex) 

Tiếp tục câu 2

Phương trình tương đương

$ (x^2+2)(x+2) - ( 5x + 3) = (x^2+2)\sqrt{x^2-x+1} $

$ \Leftrightarrow (x^2+2)(x+2- \sqrt{x^2-x+1}) - (5x+3) = 0 $

$ \Leftrightarrow (x^2+2)(x+2- \sqrt{x^2-x+1} - [ (x+2)^2 - (x^2-x+1) ] = 0 $

$  \Leftrightarrow [x^2+2 - ( x + 2 + \sqrt{x^2-x+1} )](x+2 - \sqrt{x^2-x+1}) = 0 $

$  \Leftrightarrow x^2 - x - \sqrt{x^2-x+1} = 0  (1) $ hoặc $ x^2 +2 - \sqrt{x^2-x+1} = 0 $

Để xử lí (1) có thể đặt $ \sqrt{x^2-x+1} = a $ rồi đua về pt $ a^2 - a - 1 = 0 $ 

Xin chém câu 1 rồi đi ngủ 

Xét $ 3 \geq x \geq 1 $. Phương trình tương đương 

$ x^2(3-x) + (x^2 - 2x+3)(\sqrt{2x^2+x+1} + 1) > 0 $

Xét $ 1 \geq x $. Phương trình tương đương

$ (1-x)(x^2 -x+2) + \sqrt{2x^2+x+1}(x^2-2x+3+\sqrt{2x^2+x+1}) > 0$

Vậy $ x \in \varnothing $

Đề có vẻ sai chỗ giả thiết, mình nghĩ phải là $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Nếu là vậy thì xin đưa ra cách sau: 

$ \textbf{ Bổ đề } $. Với $ a,b,c > 0 $, ta có : $ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $

$ \textbf{ Chứng minh } $. BĐT tương đương $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2}  + 2 ( \frac{a}{c}  + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}) \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $

Sử dụng AM-GM: $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{c} + \frac{a}{c} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a^4}{b^2c^2} } \geq 3\frac{a^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ 

Tương tự, cộng theo vế ta được $ (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})^2 \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ hay 

$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $

$ \textbf{ Áp dụng } $. $ VT \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}  =  \frac{3}{\sqrt[3]{abc} } \geq \frac{9}{a+b+c} = VP $ (ĐPCM).

Một cách hơi khác ạ, ta có HĐT quen thuộc: 

$ (a+b)(b+c)(a+c) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc $. 

Do $ a+b+c = 4 $ là số chẵn nên ít nhất 1 trong 3 số $ a,b,c $ chẵn, suy ra $ abc   \  \vdots   \ 2  \Rightarrow 2abc  \  \vdots  \   4 $. 

Vậy A = $ (a+b+c)(ab+bc+ac) - 2abc  \ \vdots  \  4 $ 

U.C.T có đánh giá $ \frac{1}{2-a} \geq \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2} $.

Giả sử tồn tại $ a,b,c $ dương thỏa cả 3 BĐT, suy ra $ a + b  +c  +\frac{1}{ a} +\frac{1}{ b} +\frac{1}{c } < 6 $.

Mặt khác  $ a + b  +c  +\frac{1}{ a} +\frac{1}{ b} +\frac{1}{c }  = (a+ \frac{1}{ a} ) + (b+ \frac{1}{ b} ) + (c+\frac{1}{ c} ) \geq 2 + 2  + 2 = 6 $  ( Vô lí)

Vậy điều giả sử sai. 

Bài toán 2 còn có 1 cách giải sử dụng đường trung bình. 

Kẻ đường kính $ AK $ của $ (O) $. Gọi $ H $ là trực tâm $ \Delta AMN $, $ T $ là trung điểm $ HK $.

Dễ thấy $  NH // BK $ ( cùng $ \bot AB $ ) mà $ P, T $ là trung điểm $ BN, HK $ nên $ NH // PT // BK $ 

Mặt khác $ IP // AB $ suy ra $ PT \bot IP $. 

Chứng minh tương tự ta có $  OT \bot MN $ , $ IQ \bot QT $ 

Vậy 5 điểm $ I, O , Q , T, P $ đồng viên. 

Suy ra điều phải chứng minh. 

Mở rộng : $ \Delta ABC $, $ d $ bất kì đi qua $ ( O ) $ cắt   $ ( O ) , AB, AC $ lần lượt tại $ X, Y, M, N $. Gọi $ J, I , P , Q $ là trung điểm $ XY, MN, BN, CM $. Khi đó $ JIQP $ nội tiếp. 

( P/S mình bổ sung thêm qui định đó là sau 3 ngày bài toán đề xuất không có lời giải thì người up có thể up lời giải cho mn cùng tham khảo, tránh tình trạng bí cục bộ  , người up vẫn sẽ đề xuất bài tiếp theo. )