HikiNeet

Cho a, b, c là các số thực dương thoả $a+b+c= \frac{1}{abc}$. Chứng minh $\sqrt{(a^{2}+\frac{1}{b^{2})(b^{2}+\frac{1}{c^{2})(c^{2}+\frac{1}{a^{2})}=(a+b)(b+c)(c+a)$

Xin chém bừa.

Từ $GT\Rightarrow \frac{1}{b}=a^2c+abc+ac^2\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{a^2c}{b}+ac+\frac{c^2a}{b}$

$\Rightarrow a^2+\frac{1}{b^2}=a^2+\frac{a^2c}{b}+ac+\frac{c^2a}{b}=\frac{a}{b}(c+a)(c+b)$

Tương tự: $b^2+\frac{1}{c^2}=\frac{b}{c}(a+b)(a+c)$; $c^2+\frac{1}{a^2}=\frac{c}{a}(b+a)(b+c)$

Đến đây chắc bạn tự làm dược rồi.

23.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2x^{6}+y^2-2x^3y=320$

24.Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{y}+x=2\\ \frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

23,

$PT\Leftrightarrow x^6+(x^3-y)^2=320$

Do $(x^3-y)^2\geq 0 \Rightarrow x^6\leq 320\Rightarrow x\epsilon\left \{ 0;1;2\right\}$

Rồi thử từng trường hợp là xong.

24,ĐK: $x\neq 0, y\neq 0$

Nhân PT1 với PT2 rồi phân tích ta được:

$(x+y)^2-1=0\Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1)=0$

Đến đây chắc dễ rồi.

17.$\left\{\begin{matrix} 4xy+4\left (x^{2}+y^{2} \right )+\frac{3}{(x+y)^{2}}=\frac{{matrix}\right.$85}{3}\\ 2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3}(x-y)+2 \end

$PT1\Leftrightarrow 3(x+y)^2+(x-y)^2+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3}$

$PT2\Leftrightarrow (x+y)+(x-y)+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3}(x-y)+2$

Đặt $x+y=a, x-y=b$ ta được:

$PT1\Leftrightarrow 3a^2+b^2+\frac{3}{a^2}=\frac{85}{3}\Leftrightarrow 3(a+\frac{1}{a})^2+b^2-6=\frac{85}{3}$

$PT2\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}b+2\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=\frac{10}{3}b+2$

Rồi thay PT2 vào PT1 và tìm nghiệm

Bài 20 bạn pcoVietnam02 đã giải rồi

Vừa hay tích góp được câu này, tưởng khó lại khá dễ, mời mn thưởng thức

$\boxed{18}$

b, $PT1\Leftrightarrow x^{2}-4x-4(x+y)+3=0$

$PT2\Leftrightarrow y^{2}-1=4(x+y)$

Thay PT2 vào PT1 ta được 

$x^{2}-4x+4-y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x-y-2)(x+y-2)=0$

Phần còn lại chắc mn cũng tự làm được

Vừa hay tích góp được câu này, tưởng khó lại khá dễ, mời mn thưởng thức

$\boxed{18}$

18a, $PT\Leftrightarrow 2x+1+2\sqrt{2x+1}+1-(x+4\sqrt{x}+4)=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x+1}+1)^{2}-(\sqrt{x}+2)^{2}=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}+3)(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}-1)=0$

$\Rightarrow \sqrt{2x+1}-\sqrt{x}-1=0$

Đến đây chắc dễ rồi.

16. (Em lấy đề học sinh giỏi Đà Nẵng )

$a)2+\sqrt{5-x}=\left | 7-x \right |$

$b)\left\{\begin{matrix} xy+6=3x+2y\\ x^{2}+y^{2}=2x+4y-3 \end{matrix}\right.$

16a, ĐK:$x\leqslant 5\Rightarrow \left | 7-x \right |=7-x$

Thay vào PT ta được:

$\sqrt{5-x}=5-x$ 

$\Leftrightarrow \sqrt{5-x}(\sqrt{5-x}-1)=0$

Giải PT trên ta được $x=5$ và $x=4$ thỏa mãn.

b, Biến đổi PT1 thành $(x-2)(y-3)=0$ tìm được $x=2$ hoặc $y=3$

Thay vào PT2 tìm ẩn còn lại

Các bạn giải cho mình bài 2 dược không?

$xy\vdots 5$ (theo bạn DaiphongLT chứng minh)

$(x-y)^{2}-xy\vdots 25\vdots 5$

$\Rightarrow (x-y)^{2}\vdots 5$

$\Rightarrow (x-y)^{2}\vdots 25$ (tính chất của số chính phương)

mà $(x-y)^{2}-xy\vdots 25\Rightarrow xy\vdots 25$

Đây chỉ là suy nghĩ cá nhân nên có sai thì mong bạn thông cảm.