Le Tuan Canhh

3, 

$\frac{\sqrt{x-a}.\sqrt[6]{(b-x)^{5}}-\sqrt{b-x}.\sqrt[6]{(x-a)^{5}}}{\sqrt[3]{b-x}-\sqrt[3]{x-a}}=\frac{b-a}{2} ;(a>b)$

ĐKXĐ: $b\geq x\geq a ; x\neq \frac{a+b}{2}$

Đặt : $k=\sqrt[6]{b-x} ; h=\sqrt[6]{x-a}$ ; với $k^{2}\neq h^{2}; h,k \geq 0$

 Suy ra : $k^{6}+h^{6}=\frac{b-a}{2}$

PT trở thành: $\frac{h^{3}.k^{5}-k^{3}.h^{5}}{k^{2}-h^{2}}=\frac{k^{6}+h^{6}}{2}$

$\Leftrightarrow h^{3}.k^{3}=\frac{k^{6}+h^{6}}{2}\Leftrightarrow h^{3}=k^{3}\Leftrightarrow h=k$ ( vô lí )

Vậy pt vô nghiệm.

2,

$a\sqrt{x^{2}-5}+\sqrt{x^{2}-a^{2}-4}+2\sqrt{x^{2}-a^{2}-1}=a^{2}+5 ; (a\geq 0)$

$\Leftrightarrow a(\sqrt{x^{2}-5}-a)+\sqrt{x^{2}-a^{2}-4}-1+2(\sqrt{x^{2}-a^{2}-1}-2)=0$

$\Leftrightarrow a.\frac{x^{2}-a^{2}-5}{\sqrt{x^{2}-5}+a}+\frac{x^{2}-a^{2}-5}{\sqrt{x^{2}-a^{2}-4}+1}+2.\frac{x^{2}-a^{2}-5}{\sqrt{x^{2}-a^{2}-1}+2}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-a^{2}-5)(...)=0$ $\Leftrightarrow x^{2}=a^{2}+5\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a^{2}+5}$

Ta có: $2^{2| y|-x^{2}}=log_{2| y|+1}x\Leftrightarrow \frac{2^{2| y|}}{2^{x^{2}}}=\frac{log_{2}(2| y|+1)}{log_{2}(x)}\Leftrightarrow 2^{2| y|+1}.log_{2}(2| y|+1)=2^{x^{2}}.log_{2}(x^{2})\Rightarrow 2| y|+1=x^{2}$

     Điều kiện $x\geq 1$ hoặc $ x\leq 1$

Thế vào hệ thức ta có : $(x^{2}-1)=10x^{2}+mx+1$ $\Leftrightarrow x^{3}-12x=m ; ( x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty ) )$

Xét hàm suy ra phương trình có 1 nghiệm thực x thì $m>16$ hoặc $m<-16 $

Vậy có : 4012 giá trị m 

TH1: $x\geq 8$ 

Có: $0\geq 8-x\geq ylog_{2}(x+3y)\geq y log_{2}(8+3y)$

SUY ra $log_{2}(8+3y)\leq 0\Rightarrow 8+3y\leq 1\Leftrightarrow y\leq \frac{-7}{3}$  ( Vô lí vì $y>0$ )

TH2: $1\leq x\leq 7$

Đề bài là tồn tại số thực y thỏa mãn là được; nên mình chọn $y=\frac{1}{4}$

Lúc này ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} log_{2}(x+\frac{3}{4})\leq 4(8-x) & \\ log_{3}(3x)\geq 27^{-\frac{1}{4}} & \end{matrix}\right.$

Với x nguyên từ 1 đến 7 đều thỏa mãn

Vậy $S=28$

Đặt $t=log_{a}b> log_{a}a^{2}=2$

$P=(2log_{a}b)^{2}+6(\frac{log_{a}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}{log_{a}\frac{\sqrt{b}}{a}})^{2}=(2t)^{2}+6(\frac{t-1}{t-2})^{2}$

Xét hàm $f(t) = (2t)^{2}+6(\frac{t-1}{t-2})^{2}$  ( với $t>2$ )

$ f'(3)=0 $ $\rightarrow$ Min $f(t)=f(3)=60$

P/s: 3 câu hôm 1/6 hơi khoai, mình sẽ dồn 200% công lực xem sao