Le Tuan Canhh

 geogebra-export (3).png   72.63K   0 Số lần tải

1) Từ H hạ $HD\perp BC ; HP\perp AB ; HQ \perp AC$

Có BH là phân giác góc MBC và AH là phân giác góc MAN nên HP=HD=HQ 

Với HD=HQ suy ra CH là phân giác góc BCN

2) MN = BM +CN =BC +PM +QC $\neq$ BC+BN

3) Dễ thấy I là giao điểm 3 đường phân giác trong $\Delta ABC$ 

suy ra CI là phân giác góc ACB 

Mà CH là phân giác góc BCN ; $\widehat{BCN}+\widehat{ACB}=180$

Suy ra $CI\perp CH$

4) Tương tự phần 3 cũng có : $BI \perp BH$

Như vậy $\Delta BIH; \Delta CIH$ là 2 tam giác vuông cùng cạnh huyền IH

Với E là trung điểm IH 

Suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BICH 

Suy ra đường trung trực BC đi qua E 

5) Có : $BI\perp AH$

CM: $ME \perp AH$  (  vì MB=MH và BE = HE nên ME là trung trực BH )

từ đó suy ra $ME//BI$

 Giải phương trình 

 $4\sqrt[3]{4x+3}=x ^{3} +3$

PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{x}{2}+\frac{3}{8}}=\frac{x^{3}}{8}+\frac{3}{8}$

Đặt : $y=\sqrt[3]{\frac{x}{2}+\frac{3}{8}} \Rightarrow y^{3}=\frac{x}{2}+\frac{3}{8}$

Ta có hệ sau : $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}}{8}+\frac{3}{8}=y & \\ \frac{x}{2}+\frac{3}{8}=y^{3} & \end{matrix}\right.$

Đánh giá được : $P\geq \frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}= \frac{1}{bc+1}+\frac{b+c+1}{c+1}+\frac{b+c+1}{b+1}-2$$\geq \frac{1}{\frac{(b+c)^{2}}{4}+1}+(b+c+1)(\frac{4}{b+c+2})-2$

Đặt x = b + c  ( $x\geq 2$ )

Xét hàm $f(x)=\frac{4}{x^{2}+4}+\frac{4(x+1)}{x+2}-2$   ; ( $x\geq 2$ )

$\Rightarrow f'(x)=\frac{-8x}{(x^{2}+4)^{2}}+\frac{4}{(x+2)^{2}}=\frac{4(x-2)^{2}(x^{2}+2x+4)}{(x^{2}+4)^{2}(x+2)^{2}}\geq 0$

Suy ra hàm số luôn đồng biến / $[2;+\infty )$

$\rightarrow P\geq minf(x)=f(2)=\frac{3}{2}$

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

Ý tưởng là tách ra dạng tổng 2 bình phương nên có thể tách tùy ý vì dấu bằng của minxcopki là :$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Ví dụ có thể tách thành : $6x^{2}+8xy+11y^{2}=\frac{50}{11}x^{2}+(\frac{4}{\sqrt{11}} x+\sqrt{11}y)^{2}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

Biến đổi tương tự suy ra

$P\geq \sum \sqrt{(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+(\frac{5}{\sqrt{3}}y)^{2}}$

Áp dụng BĐT Minxcopki : $\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{b^{2}+y^{2}}+\sqrt{c^{2}+z^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(x+y+z)^{2}}$

$P\geq \sqrt{[(\sqrt{6}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})(x+y+z)]^{2}+[\frac{5}{\sqrt{3}}(x+y+z)]^{2}}=15$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1