chuyenndu

1

INMO 2014

https://artofproblem...h574136p3379845

https://artofproblem...997468p13945667

a) giả sử $a\le b\le c$

$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le \frac{3}{a}\Rightarrow a\le 3\Rightarrow a\in \{1,2,3\}$

thay vào tìm được (3,3,3), (2,3,6), (2,4,4) và các hoán vị

b) tương tự

https://artofproblem...h374597p2067156

tìm proof cesaro

https://www.ee.colum...CesaroMeans.pdf

https://artofproblem...002524p14010327

bài 1

gỉa sử n có nhiều hơn 2 ước nguyên tố, gọi 2 ước nguyên tố nhỏ nhất là p<q

thì $d_2=p$, tồn tại i sao cho $d_3=p^2,...,d_{i-1}=p^{i-2},d_i=q$

suy ra $d_{k-1}=\frac{n}{p},d_{k-2}=\frac{n}{p^2},\dots,d_{k-i+2}=\frac{n}{p^{i-2}},d_{k-i+1}=\frac{n}{q}$

$d_{k-i+1}|d_{k-i+2}+d_{k-i+3}\Rightarrow \frac{n}{q}|\frac{n}{p^{i-2}}+\frac{n}{p^{i-3}}\Rightarrow \frac{n}{q}|n+\frac{n}{p}\Rightarrow \frac{n}{p}|\frac{n}{q}\Rightarrow q|p$ (VL)

liên hợp $ln(\sqrt{x^2+9}-x)=ln\left ( \frac{9}{\sqrt{x^2+9}+x} \right )=ln9-ln(\sqrt{x^2+3}+x)$ nên mất 12ln3

với x bất kì, đặt $k_x$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ($x=k_x+d_x$ với $0\le d_x<1$)

$2^x\ge 2^{k_x}=\sum_{i=0}^{k_x}C_{k_x}^i$

x>4 thì $k_x>3\Rightarrow 2^{k_x}>1+C_{k_x}^1+C_{k_x}^2+C_{k_x}^3=\frac{k_x^3+5k_x}{6}>\frac{x^3}{7}$

$2^x>\frac{x^3}{7}\Rightarrow \frac{x^2}{2^x}<\frac{7}{x}\Rightarrow lim \frac{x^2}{2^x} = 0$

pt (1) tương đương $x^3-2x+6ln(x+\sqrt{x^2+9})=y^3-2y+6ln(y+\sqrt{y^2+9})$

đặt $f(t)=t^3-2t+6ln(t+\sqrt{t^2+9})$ thì

$f'(t)=3t^2-2+\frac{6}{\sqrt{t^2+9}}=\left ( \frac{t^2+9}{9}+\frac{3}{\sqrt{t^2+9}}+\frac{3}{\sqrt{t^2+9}} \right )+\frac{26}{9}t^2-3\ge 3+0-3=0$

f(x)=f(y) nên x=y

cho số nguyên dương n và đa thức Legendre $P(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}(C_n^k)^2(x-1)^{n-k}(x+1)^k$ 

CMR $P(x) = 2^n\sum_{k=0}^nC_n^kC_n^{\frac{n+k-1}{2}}x^k$

https://artofproblem...502890p21137792

https://artofproblem...044250p27416046

https://math.stackex...roots-of-xn-1-0

IMO 2022