ductrong08

Bài 3

$VT<=>\frac{1}{a+1}\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{2}{(a+1)^2}+\frac{2}{(b+1)^2}+\frac{2}{(c+1)^2}$

Ta có bất đẳng phụ sau $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\ge \frac{1}{1+xy}$ (Bạn tự chứng minh nhé)

Khi đó VT$\ge \frac{1}{a+1}\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}$

                   $=\frac{1}{a+1}\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{abc}{abc+ab}+\frac{abc}{abc+bc}+\frac{abc}{abc+ca}$ (Do abc=1)

                   $=\frac{1}{a+1}\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{c}{c+1}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

                    $=3$

Dâu = xảy ra <=>a=b=c=1

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.

Hỏi tý nhé Bạn là người Thái Bình và vừa tham gia kỳ thi hsg tỉnh toán 9 đúng ko

Giống đề thi hsg toán tỉnh Thái Bình năm nay thế nhỉ =)))

Đặt $\sqrt{\frac{4x+3}{5}}=2y+\frac{3}{5}$

Ta có :

$\left\{\begin{array}{l}10x^2+6x=2y+\frac{3}{5}{} \\10y^2+6y=2x+\frac{3}{5} \end{array}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại 2 

Lấy vế trên trừ dưới từ đó tìm được x,y 

ĐKXĐ: $-1  \le x \le 1$

$x^3+4x^2+x=2+(2-x^2) \sqrt{1-x^2}$

$\Leftrightarrow x^3+2[x^2-(1-x^2)]+x-\sqrt{1-x^2}-(1-x^2)\sqrt{1-x^2}=0$

Đặt $\sqrt{1-x^2}=a (a \ge 0)$

Ta có $x^3+2(x^2-a^2)+x-a-a^3=0$

$\Leftrightarrow (x-a)(x^2+a^2+2a+2x+1+ax)=0$

$\Leftrightarrow x=a$ $ hoặc $ $x^2+a^2+ax+2a+2x+1=0$

TH1: $x=a$
$\Leftrightarrow x=\sqrt{1-x^2}(1)$

Với $1 \ge x\ge 0 $
$(1)\Leftrightarrow x^2=1-x^2$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

TH2: $x^2+a^2+2a+2x+1+ax=0$

$\Leftrightarrow (x+\frac{a}{2})^2+2(x+\frac{a}{2})+1+\frac{3a^2}{4}+a=0$

$\Leftrightarrow (x+\frac{a}{2}+1)^2+\frac{3a^2}{4}+a=0$

Mà $a \ge 0$

$\Rightarrow a=0$ và $(x+\frac{a}{2}+1)^2=0$
Hay $x=-1$ 

Ta có $n^2+11n-10$

$=n^2+11n+18-28$

$=(n+2)(n+9)-28$

Giả sử $n^2+11n-10$ $\vdots $ $49$

$=>(n+2)(n+9)$ $\vdots$ $7$

Mà $n+9-n-2=7$
$=>n+9;n+2$ cùng $ \vdots $ $7$

$=>(n+9)(n+2) $ $\vdots $ $49$

$=>28 $ $\vdots $ $49$ ( Vô lý)

$=>$ Giả sử sai

Vậy có điều phải chứng minh

Mình nháp qua qua nếu không đúng mong bạn cảm thông   

Có $\frac{x}{1+y+yz} \le \frac{1}{x+y+z}(1)$

$\Leftrightarrow x.(x+y+z)\le 1+xz$

$\Leftrightarrow 1+y-x^2-xy \ge 0$

$\Leftrightarrow (1-x).(1+x)+y.(1-x)\ge 0$

Mà $0<x,y,z\le 1$
$\Rightarrow $ (1) đúng.
CMTT $\frac{y}{1+z+xy}\le \frac{1}{x+y+z}$

Và $\frac{z}{1+x+yz}\le \frac{1}{x+y+z}$

Cách khác:

Xét $ Q(x)=P(x)-(x^2+2) $

$\Rightarrow Q(1)=Q(2)=Q(3)=0$

Mà $P(x)$ có bậc 4 và hệ số cao nhất là $2$ nên $Q(x)$ cũng có bậc 4 và hệ số cao nhất là 2 

$\Rightarrow Q(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)(x+m)$

$\Rightarrow P(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)(x+m)+x^2+2$

$\Rightarrow P(0)+P(4)=2.(-1).(-2).(-3).m+2+2.3.2.1.(m+4)+18$

$\Rightarrow P(0)+P(4)=-12m+2+12m+48+18$

$\Rightarrow P(0)+P(4)=68$