MHN

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Đăng ký: 21-08-2023
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 12:36

Tìm kiếm

Giới thiệu

${\color{Red} \boxed{{\color{Brown} \text{No pain}}-{\color{Magenta} \text{No gain}}}}$ ~O)

Thống kê

Nhóm: Thành viên
Bài viết: 411
Lượt xem: 9717
Danh hiệu: Sĩ quan
Tuổi: Chưa nhập tuổi
Ngày sinh: Chưa nhập ngày sinh
Giới tính
Nam
Đến từ
$\text{Đại gia đình {\color{Red}VMF}}$
Sở thích
${\color{Red}\mathbb{VMF}}$ $;$ ${\color{DarkGreen}\text{Algebra}}$ $;$ ${\color{Magenta}\text{Geometry}}$ $;$ ${\color{Brown}\text{Inequality}}$ $;$ ${\color{Purple}{\LaTeX}}$

Website URL https://diendantoanhoc.net/user/192190-minhhaiproh/

853 Xuất sắc

Công cụ người dùng

Lần ghé thăm cuối

diep123
Hôm qua, 14:45
ohmuhgawd
20-01-2025 - 18:35
tritanngo99
18-01-2025 - 23:31
MUVODICH
18-01-2025 - 18:02
tomeps
15-01-2025 - 22:35

Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{\frac{x^4+y^4+z}{...

17-01-2025 - 20:19

Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{\frac{x^4+y^4+z}{3z^3}}+\sqrt{\frac{y^4+z^4+x}{3x^3}}+\sqrt{\frac{z^4+x^4+y}{3y^3}}\geq x^2+y^2+z^2$$

Chứng minh rằng: $AB$ luôn đi qua một cố định.

08-01-2025 - 01:05

Cho $(O,R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $D$. Gọi $M,N$ là hai điểm di động trên $d$ sao cho $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{DN}=-k^2$ với $k\neq 0$. Từ $M,N$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,NB$ lên đường tròn. Chứng minh rằng: $AB$ luôn đi qua một cố định.

Đề thi HSG quốc gia (VMO) 2024-2025

25-12-2024 - 12:34

Ngày thi thứ nhất: 25/12/2024

Đề thi gồm 01 trang, có 03 câu.

Câu 1 (7,0 điểm):

Xét đa thức $ P(x) = x^4 -x^3+ x $

a) Chứng minh rằng với mọi số dương $ a $, đa thức $ P(x) - a $ có duy nhất một nghiệm dương.

b) Xét dãy số $ (a_n) $ được xác định bởi $ a_1 = \frac{1}{3} $ và với mọi $ n \geq 1 $, $ a_{n+1} $ là nghiệm dương của đa thức $ P(x) - a_n $. Chứng minh rằng dãy $ (a_n) $ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 (7,0 điểm):

Với mọi số nguyên $ n \geq 0 $, đặt $ u_n = \left(2 + \sqrt{5}\right)^n + \left(2 - \sqrt{5}\right)^n $

a) Chứng minh rằng $ u_n $ là số nguyên dương với mọi $ n \geq 0 $. Khi n thay đổi, số dư của $ u_n $ khi chia cho $24$ lớn nhất là bao nhiêu?

b) Tìm tất cả các cập số nguyên dương $(a;b)$ với $a;b$ nhỏ hơn $500$ sao cho với mọi $n$ lẻ ta có $u_n\equiv a^n-b^n(\mod 1111).$

Câu 3 (6,0 điểm):

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Đường thẳng $AH$ cắt lại $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $K$.

a) Đường thẳng $DK$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Y$ khác $D$. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng $BY$ và đường trung trực của đoạn thẳng $BK$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $OFY$.

b) Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HE$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $L$. Đường thẳng $DL$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Z$ khác $D$. Gọi $M,N$ và $P$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(BZ,OE),(CY,OF)$ và $(BY,CZ)$. Gọi $T$ là giao điểm của cặp đường thẳng $(YZ,MN)$ và $d$ là đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OA$. Chứng minh rằng $d$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AP$.

Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong khác $AH$ của $(I_1)$ và...

24-12-2024 - 17:41

Bài I) Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$. Gọi $(I_1),(I_2)$ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác $AHB, AHC$. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong khác $AH$ của $(I_1)$ và $(I_2)$ đi qua trung điểm $BC$

Nguồn:Toán học tuổi trẻ 2009

Bài II) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$. Trung tuyến $AM$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $N. AH$ cắt $(O)$ tại $K$. Các đường thẳng $KN, BC$ và đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AN$ cắt nhau tạo thành tam giác $XY Z$. Chứng minh rằng $(XY Z)$ tiếp xúc với $(O)$.

MÌnh xin đề xuất một bài toán được mở rộng từ bài 2 như sau:

Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $(O_a)$ đi qua $B, C$ cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E, F. BE$ giao $CF$ tại $P$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ $PK$ vuông góc với $AO_a$. $Q$ đối xứng với $P$ qua $BC, L$ đối xứng với $K$ qua $M$. Các đường thẳng $PK, QL, BC$ cắt nhau tạo thành tam giác $XY Z$. Chứng minh rằng $(XY Z)$ tiếp xúc với $(ABC)$

Chứng minh hình chiếu của $X$ lên $B_1B_3$ nằm trên \((DEF...

21-12-2024 - 00:09

Cho tam giác $A_1A_2A_3$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $X$ là một điểm nằm trong tam giác $A_1A_2A_3$. Gọi $D, E, F$ lần lượt hình chiếu của $X$ lên $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1$. Từ điểm $B_1 \in (O), B_1 \ne A_1$ vẽ đường tròn đường kính $XB_1$ cắt đường tròn $(DEF)$ tại một điểm $M$. Đường thẳng $B_1M$ cắt $(O)$ tại $B_2 \ne B_1$. Từ điểm $B_2$ vẽ đường tròn đường kính $XB_2$ cắt $(DEF)$ tại điểm $N \ne M$. Đường thẳng $B_2N$ cắt $(O)$ tại $B_3 \ne B_2$. Chứng minh hình chiếu của $X$ lên $B_1B_3$ nằm trên $(DEF)$.

MHN

MHN