MHN

Xin gửi đến các bạn một tài liệu về toán rời rạc mà theo mình thì nó khá là hay, trong này bao gồm hầu hết các kiến thức cần thết để giải một bài toán và giải thích khá kĩ.

Lời nói đầu: Như ta đã biết chuyên đề tọa độ hình học trong mặt phẳng là một phần quan trọng trong hệ thống toán sơ cấp, nó được phổ biến trong chương trình toán 10 THPT chương trình mới cũng như THCS, phần tọa độ chiếm một phần điểm khá lớn trong các đề thi HSG tỉnh (Không chuyên), đề thi học kì.... Hôm nay mình mở chủ đề này để mọi người cùng nhau trao đổi về các vấn đề tọa độ hình học phẳng từ cơ bản đến nâng cao cũng như có thể ôn tập cho kì thi HSG năm sau. Mong mọi người ủng hộ,tham gia đóng góp nhiệt tình, hãy cùng nhau đóng góp cho topic bằng các đề bài, lời giải để nó thêm sôi nổi . Mình xin cảm ơn.

I.Một số khái niệm cần nhớ.

1. $\bullet$ Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có: $\overrightarrow{OM}=(a;b)\Leftrightarrow M(a;b)$

$\bullet$ Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A); AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$\bullet$ Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm $AB$ thì $x_M=\frac{x_A+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$

$\bullet$ Thêm $C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm $\Delta ABC$ thì $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$ 

2. Nếu $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ thì:

$\bullet \quad \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2;y_1+y_2)$

$\bullet \quad \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(x_1-x_;y_1-y_2)$

$\bullet \quad k.\overrightarrow{u}=(kx_1;kx_2)\quad \forall k\in \mathbb{R}$

$\bullet \quad \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$

$\bullet \quad \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow x_1.x_2+y_1.y_2=0$

$\bullet \quad |\overrightarrow{u}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$\bullet \quad \cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

3. Phương trình đường thẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $\Delta:ax+by+c=0(a;b$ không đồng thời bằng $0)$

$\bullet$ Vectơ $\overrightarrow{u}$ hoặc $k\overrightarrow{u}(k\neq 0)$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$

$\bullet$ Vectơ $\overrightarrow{n}$ hoặc $k\overrightarrow{n}(k\neq 0)$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\Delta$

       $\bullet$ Nếu $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì vectơ $\overrightarrow{n}=(-b;a)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$

       $\bullet$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(a;b)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\Leftrightarrow a_x+by+(-ax_0-by_0)=0$$

       $\bullet$ Đường thẳng $\Delta:ax+by+c=0$ nhận $\overrightarrow{n}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta:ax+by+c=0$ và điểm $M(x_0;y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến $\Delta$ được tính theo công thức sau:

$$d(M;\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

5. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\Delta_1;\Delta_2$ cắt nhau tại $I$ và có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1);\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2)$. Gọi $A;B$ lafn lượt là các điểm thuộc $\Delta_1;\Delta_2$ sao cho 

$$\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{IA};\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{IB}$$

$\bullet$ Nếu $\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)\leq 90^\circ\Rightarrow (\Delta_1;\Delta_2)=\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)\Rightarrow \cos(\Delta_1;\Delta_2)=\cos\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)\geq 0$

$\bullet$ Nếu $\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)>90^\circ\Rightarrow (\Delta_1;\Delta_2)=180^\circ-\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)\Rightarrow \cos(\Delta_1;\Delta_2)=-\cos\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)<0$

Từ hai trường hợp trên ta suy ra $\cos(\Delta_1;\Delta_2)=\left| \cos\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)\right|$

Do $\left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right)=\left( \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right)$ nên 

$$\cos(\Delta_1;\Delta_2)=\left| \cos\left( \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|.|\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

$\bullet$ Ngoài ra với $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta_1;\Delta_2$ ta cũng có

$$\cos(\Delta_1;\Delta_2)=\left| \cos\left( \overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|.|\overrightarrow{n_2}|}$$

$\bullet$ Nếu $\Delta_1\bot \Delta_2\Rightarrow a_1a_2+b_1b_2=0$

6. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ là 

$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$

Phương trình trên cũng được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn

$$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$$

Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn

Ta có: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0\Leftrightarrow (x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2-c$

Phương trình trên là phương trình đường tròn khii và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$. Lúc này đường tròn đã cho có tâm $I(a;b)$ bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

$\bullet$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0-a;y_0-b)$ và có vectơ pháp tuyến

$$\overrightarrow{IM_0}=(x_0-a;y_0-b)$$

$\bullet$ Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là 

$$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$$

7. Tâm đường tròn nội tiếp

Trong mặt phẳng $(Oxy)$ cho tam giác $ABC$ có tọa độ $3$ đỉnh là $(x_A;y_A);(x_B;y_B);(x_C;y_C)$ thì tọa độ $I$ là tâm đường tròn nội tiếp có dạng

$$\left( \frac{BC.x_A+CA.x_B+AB.x_C}{AB+BC+CA};\frac{BC.y_A+CA.y_B+AB.y_C}{AB+BC+CA}\right)$$

II. Một số kĩ thuật, phương pháp

P/s:        nhé, mòn tay rồi

Sau đây là list những bài toán chưa có lời giải trong box BĐT
Chú ý:- Không gửi lời giải, không được gửi bài không liên quan trong topic này
-Mọi người nếu có lời giải thì ấn vào link sau số bài sẽ được dẫn đến trang chứa đề bài.
- Những bài toán đã có lời giải sẽ được tô màu xanh ở số bài, còn lại là chưa có
- Những bài toán có lời giải xuất phát từ topic này vui lòng ghi ở đầu lời giải số bài giống ở topic này để mình đánh dấu
$1$ https://diendantoanh...c3bc-aca-bab-c/
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\le \frac{3}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}.$$
$2$ https://diendantoanh...left-1-8y3-092/
Với các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{x^3}} \right)\left( {1 + 8{y^3}} \right)} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{y^3}} \right)\left( {1 + 8{z^3}} \right)} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{z^3}} \right)\left( {1 + 8{x^3}} \right)} }}$
$3$https://diendantoanh...cage-2abcabc12/
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$(ab+bc+ca+1)(a+b)(b+c)(c+a)\ge 2abc(a+b+c+1)^2.$$
$4$ https://diendantoanh...afracc4-able-1/

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2}<\frac{a}{4-bc}+\frac{b}{4-ca}+\frac{c}{4-ab}\le 1.$$

$5$ https://diendantoanh...-2a2b2b2c2c2a2/

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3\ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$$

$6$ https://diendantoanh...nt-frac2sqrt33/

Cho hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $4xy=x+y+2$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+1}}\leqslant \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

$7$ https://diendantoanh...u-thức-pxyyzzx/

Xét các số thực $x,y,z$ thay đổi thoả mãn các điều kiện $x^2+xy+y^2=5$ và $y^2+yz+z^2=21$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P=xy+yz+zx$.

$8$ https://diendantoanh...rm-a-cosb-ge-0/

Cho a,b là hai số thực thỏa : $cosa + cosb + cosa.cosb \ge 0.$. Hãy chứng minh rằng: $\;cos{\rm{ }}a + cosb \ge 0$

$9$ https://diendantoanh...umfraca2a22bc1/

Với các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2=2$, tìm giá trị lớn nhất của

$$P=\frac{a^2}{a^2+2bc+1}+\frac{b^2}{b^2+2ca+1}+\frac{c^2}{c^2+2ab+1}$$

$10$ https://diendantoanh...a-x-yy-zz-xxyz/

Cho $0 \le x,y,z \le 1$. Tìm GTLN của biểu thức $A = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$.

$11$ https://diendantoanh...2t/#entry748357

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$B+D\ge 2T$$  

với $B=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$, $D=\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$, $T=\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+a}{b+c}+\frac{c+b}{c+a}$

$12$ https://diendantoanh...85/#entry748351

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh:

$\frac{7}{5} < \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} < \frac{8}{5}$

$13$ https://diendantoanh...abab-frac25-ab/

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện: $a^{2}+b^{2}= 5; a-b-3>0$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của: $H=\frac{a+b}{ab}-\frac{2}{5-(a+b)}$

$14$ https://diendantoanh...rtzx2z-sqrtxy2/
Cho $x,y,z\in[4;5]$. Tìm $Max$ $A=(x-\sqrt{yz})^2+(y-\sqrt{zx})^2+(z-\sqrt{xy})^2$
$15$ https://diendantoanh...8b7-fraccc48c7/
Với a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= $\frac{a}{a^{4}+8a+7} + \frac{b}{b^{4}+8b+7} + \frac{c}{c^{4}+8c+7}$
$16$ https://diendantoanh...1n4-512n3-36n2/
Cho các số thực dương $a, b, c$ với $n > 0$ cho trước thỏa $a^3 + b^2 +c = 729n^3 + 64n^2 + 6n$
Chứng minh rằng
$$a^4 + b^3 + c^2 \geq 6561n^4 + 512n^3 + 36n^2$$
$17$ https://diendantoanh...ta23leq-frac32/
$a,b,c>0$ t/m $ab +bc +ca+abc=4$. CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{3}{2}$
$18$ https://diendantoanh...-n-6-3a-4b-2ab/
Cho $a,b$ là các số thực thoả mãn $5a^2 + 6b^2 -8ab \le 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$.
$19$ https://diendantoanh...ac2abcfracabc2/
Cho $a,b,c\geq 0: ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{2a}{(a+1)^2} + \frac{2b}{(b+1)^2}+\frac{2c}{(c+1)^2} \geq \frac{2}{a+b+c}+\frac{abc}{2}$$
$20$ https://diendantoanh...bcgeq-abbcca-2/
Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=7$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+abc\geq ab+bc+ca-2$$
$21$ https://diendantoanh...-sum-frac1x2-a/
Tìm số thực $A$ lớn nhất sao cho: $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}> A$ luôn đúng với mọi số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x+y+z=xy+yz+zx> 0.$
$22$ https://diendantoanh...caab3leqfrac32/
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\frac{a}{ab+3}}+\sqrt{\frac{b}{bc+3}}+\sqrt{\frac{c}{ca+3}}\leq\frac{3}{2}.$$
$23$ https://diendantoanh...eq-frac81128c4/
Với mọi số thực $a;b;c$ thỏa mãn:$b^2\geq 4ac;ac\neq 0.$ Chứng minh:
$$(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4\geq \frac{81}{128}c^4.$$
$24$ https://diendantoanh...a2c2leq-frac35/
Cho $a,b,c \in \mathbb{R} , abc=1$. CMR
$$\frac{2}{ab+a+3}+\frac{1}{2bc+b+2}+\frac{1}{ca+2c+2}\leq \frac{3}{5}$$
$25$ https://diendantoanh...-tìm-max-a-xyz/
Cho $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=18(x+y+z)$. Tìm $\max A= xyz$
$26$ https://diendantoanh...324a24a5-geq-2/
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{3}{4}$. Chứng minh rằng: $\sum{\frac{(2a+3)^2}{4a^2+4a+5}} \geq 2$
$27$( Đã giải bài 2) https://diendantoanh...ac1sqrta2-abb2/
Bài toán 1: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}$$
Bài toán 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3+1}{\sqrt{a^4+b+c}}+\frac{b^3+1}{\sqrt{b^4+a+c}}+\frac{c^3+1}{\sqrt{c^4+a+b}}\ge 2\sqrt{ab+bc+ac}$$
$28$ https://diendantoanh...ma36sum-symabc/
Cho các số thực không âm $a,b,c,d$. Chứng minh rằng $$\sum_{sym}a^3+6\sum_{sym}abc\geq\sum_{sym}ab(a+b)$$
$29$ https://diendantoanh...3-ge-frac12abc/
Chứng minh bất đẳng thức sau $$\frac{a}{(b+2c)^2\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{(c+2a)^2\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{(a+2b)^2\sqrt{a^2+3}}\geq\frac{1}{2(a+b+c)}$$
1) Với $a,b,c$ là các số thực dương và $a^2+b^2+c^2=3$
2) Với $a,b,c$ là các số thực dương và $ab+bc+ca=3$
3) Với $a,b,c$ là các số thực dương và $a+b+c=3$
$30$https://diendantoanh...rta-44a5sqrta1/
Tìm min $A=\frac{14a-17\sqrt{a}-4}{4a+5\sqrt{a}+1}$ với $a\ge0$
$31$ https://diendantoanh...cmr-ab2geq-ab2/
Cho $a,b,c,d>0$,$\sum \frac{1}{a+b^2}\geq 1$. cmr a+b+2$\geq (a+b)^2$
$32$ https://diendantoanh...-của-s-ab-bcca/
Với $5a^2 + 6b^2 + 3c^2=1$ tìm max của $S = ab + bc+ca$
$33$ https://diendantoanh...1-tìm-max-ax4y/
Với $xy(x+y) \leq 1$ tìm max $A=x+4y$
$34$ https://diendantoanh...acz4x3y2zgeq-1/
Chứng minh $\dfrac{x^4}{y^3(z + 2x)} + \frac{y^4}{z^3(x+2y)} + \frac{z^4}{x^3(y+2z)}\geq 1$ với $x,y,z >0$
$35$ https://diendantoanh...7abca2b2c23203/
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thì $6(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 27abc+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3/2}$
$36$ https://diendantoanh...xysqrtyzsqrtzx/
Cho $x,y,z >0$ tm $xy+yz+zx=1$ Tìm gtnn $(x+y+z)(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$
$37$ https://diendantoanh...rtzxgeq-xyyzzx/
Cho $x,y,z $ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$
Chứng minh $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\geq xy+yz+zx$
$38$ https://diendantoanh...-1-sqrtab2kab1/
Cho a,b là các số thực không âm, $k \in \left [ -2;2 \right ]$. CMR $\sqrt{a^2+ka+1} + \sqrt{b^2+kb+1}\leq 1+ \sqrt{(a+b)^2+k(a+b)+1}$
$39$ https://diendantoanh...racc5a3b2geq-1/
Cho các số thực dương $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{5}}{b^{3}(c+2)}+\frac{b^{5}}{c^{3}(a+2)}+\frac{c^{5}}{a^{3}(b+2)}\geq 1$$
$40$ https://diendantoanh...xyfrac11xyz125/
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $3\sqrt{zx}+4\sqrt{xy}=14$
Tìm Min của $P=\frac{7yz}{x}+\frac{10zx}{y}+\frac{11xy}{z}$
$41$ https://diendantoanh...tìm-min-px2-y2/
Cho 2 số thực x,y thỏa mãn $1\leq y\leq 3$ và $2xy+1\geq \frac{7}{3}y$ Tìm Min của $P=x^{2}-y^{2}$
$42$ https://diendantoanh...3bb3cc3a-right/
Cho a,b,c là các số thực. CMR: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\geq 2\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right )$
$43$ https://diendantoanh...sqrtb22sqrtc22/
Cho a,b,c dương cmr: $\frac{1+bc}{a}+\frac{1+ca}{b}+\frac{1+ab}{c}>\sqrt{a^{2}+2}+\sqrt{b^{2}+2}+\sqrt{c^{2}+2}$
$44$ https://diendantoanh...z2x2-le-frac35/
Cho $x,y,z >0$. Chứng minh $\frac{xy}{4x^2+y^2}+\frac{yz}{4y^2+z^2}+\frac{zx}{4z^2+x^2} \le \frac{3}{5}$
$45$ https://diendantoanh...m-fracx3-1x2yz/
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz \geq 1$. Tìm GTNN của biểu thức $H=\sum \frac{x^{3}-1}{x^{2}+y+z}$
$46$ https://diendantoanh...qrtx2y22-2x-2y/
Cho $0\leq x,y\leq 1$. Tim max $P=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{x^2+y^2+2-2x-2y}$
$47$ https://diendantoanh...rtpsum-i1nb-ip/
Chứng minh rằng: $\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^p}\leq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|a_{i}|^p}+\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|b_{i}|^p}$ Với mọi $p>1$
$48$ https://diendantoanh...y24y3-1x2xy2y2/
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $3(\sum_{cyc}\dfrac{1}{x^{2}}) + (\sum_{cyc}\dfrac{1}{x}) \leq 2$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\sum_{cyc}\dfrac{x^{3}-4xy^{2}+4y^{3}-1}{x^{2}+xy+2y^{2}}$$
$49$ https://diendantoanh...2x11yfrac3yxy1/
Cho x,y là hai số dương thay đổi có tổng bằng $\frac{17}{4}$. Tìm GTNN của biểu thức:P= $x^{2}+11x+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2x+11}{y}+\frac{3y}{xy+1}$
$50$ https://diendantoanh...-frac2023sqrt3/
Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=2023
CMR: $x\sqrt{\frac{yz}{y+2022z}}+y\sqrt{\frac{zx}{z+2022x}}+z\sqrt{\frac{xy} {x+2022y}}\leqslant \frac{2023}{\sqrt{3}}$
$51$ https://diendantoanh...rty2-3-sqrtxy3/
Cho $x, y \geq 0$ thỏa mãn $x +y = 2$ . Tim GTNN,GTLN cua $Q = \sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{y^2 + 3} + \sqrt{xy+3}$
$52$ https://diendantoanh...02p-bfrac31p-c/
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c sao cho thỏa mãn hệ thức: $20bc+11ac+1982ab=2022$.
Tìm GTNN của biểu thức: $M=\frac{1993}{p-a}+\frac{2002}{p-b}+\frac{31}{p-c}$ .Trong đó: p là nửa chu vi tam giác ABC
$53$ https://diendantoanh...qslant-frac278/
Cho $a,b,c>0$ thõa $abc=1$. CMR
$$\left( a+\frac{1}{a+1}\right)\left( b+\frac{1}{b+1}\right)\left( c+\frac{1}{c+1}\right) \geqslant \frac{27}{8}$$
$54$ https://diendantoanh...b1right-geq-27/
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh $\left ( \frac{5}{2} +\frac{a}{b+1} \right )\left ( \frac{5}{2} +\frac{b}{c+1}\right )\left ( \frac{5}{2}+\frac{c}{b+1} \right )\geq 27$
$55$ https://diendantoanh...sdfraca2b1a-b4/
Cho $(a^2+2a)^3+b^6+3(a-1)^2+3b^2=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $S=\dfrac{a+2b+1}{a-b+4}$
$56$ https://diendantoanh...eft-xy-z-right/
Cho x, y, z > 0 và xyz = 2. CMR: $4\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+9\geq 12\left ( x+y-z \right )$
$57$https://diendantoanh...-12a-22a-20162/
Cho các số thực không âm $a_{1};a_{2};...;a_{2016}$ thỏa mãn các điều kiện
i) $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geq ...\geqslant a_{2016}$
ii) $a_{1}+a_{2}\leq 2016$
iii) $a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{2016}\leq 2016$
Tìm GTLN của $P=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{2016}^{2}$
$58$ https://diendantoanh...2c2geq-2abbcca/
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $0\leq a \leq 1 , 0\leq bc\leq 1$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2(ab+bc+ca)$
$59$ https://diendantoanh...geq-b-1b-2b-32/
Cho các số $a_i$ và $b_i$ thực, không kể là dương hay âm. Nếu như ta có
$$ a_1^2 \geq b_1^2;a_2^2 \geq b_2^2;a_3^2 \geq b_3^2;(a_1+a_2)^2 \geq (b_1+b_2)^2;(a_2+a_3)^2 \geq (b_2+b_3)^2;(a_3+a_1)^2 \geq (b_3+b_1)^2$$
Liệu rằng bất đẳng thức sau đúng, hay là có một phản ví dụ nào đó không?
$(a_1+a_2+a_3)^2 \geq (b_1+b_2+b_3)^2$
$60$ https://diendantoanh...zfrac1sqrtzxzy/
Cho x,y,z dương thỏa mãn xy+yz+zx=1. Tìm GTLN của
$$\frac{1}{(x+y)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$$
$61$ https://diendantoanh...frac1b2frac1c3/
Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a^{3}+b^{2}+c=2\sqrt[]{3}+1 $ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$
$62$ https://diendantoanh...lant-x2yy2zz2x/
Cho $x,y,z>1;(x-1)(y-1)(z-1)\geqslant 1$. CMR $(x+y+z-3)xyz\geqslant x^2y+y^2z+z^2x$
$63$ https://diendantoanh...cmr-xa2yb2xyc2/
Cho a,b,c là cạnh của một tam giác và $x-y=1$.CMR :$xa^{2}+yb^{2}>xyc^{2}$
$64$ https://diendantoanh...eq-frac3sqrt33/
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$$
$65$ https://diendantoanh...ax-của-fabcabc/
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ca=3$. tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $F=a+b+c+abc$
$66$ https://diendantoanh...ac12200-right3/
Chứng minh: $\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1+\frac{1}{{{2}^{3}}} \right)...\left( 1+\frac{1}{{{2}^{200}}} \right)<3$

$67$ https://diendantoanh...tfrac2x33y3x4y/

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ Tìm MIN P=$\sqrt{\frac{2x^3+3y^3}{x+4y}}$

$68$ https://diendantoanh...rtx21sqrty21xy/

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $y\sqrt{x^{2}+1}+x\sqrt{y^{2}+1}=2\sqrt{2}$.

a) Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+x+y$

b) Tìm GTLN của $P=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}-x-y$

$69$ https://diendantoanh...yz2-1-yz-leq-3/

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn : $x^2+y^2+z^2=2$

Chứng minh rằng : $ \frac{8xy}{(y+1)^2 +xz} +\frac{8z+8y}{x+y+z+2} -1-yz \leq 3$

$70$ https://diendantoanh...x4yz2yzy2geq-1/

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện $\sqrt{x} + \sqrt{y}+\sqrt{z} =3$

Chứng minh rằng : $\frac{x^3}{y^4z(x^2+xz+z^2)} + \frac{y^3}{z^4x(y^2+yx+x^2)}+\frac{z^3}{x^4y(z^2+yz+y^2)}\geq 1$

$71$ https://diendantoanh...accsqrta2b24c2/

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}b^{2}=8c^{2}(a^{2}+b^{2})$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{b-a-c}{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+4c^{2}}}$

$72$ https://diendantoanh...2b2c2-geq-3abc/

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $-1 \leq a,b,c \leq 1$ và $a+b+c+abc=0$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3(a+b+c)$.

$73$ https://diendantoanh...018b2018a2020b/

Cho a,b là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2018}+b^{2018}=a^{2020}+b$. Tìm GTLN của biểu thức $P=\left ( a+1 \right )^{2}+\left ( b+1 \right )^{2}$

$74$ https://diendantoanh...c1c20222a20213/

1. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $-1\leq a,b,c\leq1$ và $a+b+c+abc=0$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq3(a+b+c)$.\

2. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của

$$P=\dfrac{1}{a^{2022}+2b^{2021}+3}+\dfrac{1}{b^{2022}+2c^{2021}+3}+\dfrac{1}{c^{2022}+2a^{2021}+3}$$

$75$ https://diendantoanh...slant-abbccdda/

Cho bốn số thực dương $a,\, b,\, c,\, d$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. CMR

$$16(2-a)(2-b)(2-c)(2-d) \geqslant (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)$$

$76$ https://diendantoanh...-bc1leqslant-3/

Cho $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ và a,b,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2-bc+1}\leqslant 3$

$77$ https://diendantoanh...rt3fraca2aa2a1/

Cho a,b,c dương và $abc\leqslant 1$. Tìm max: $\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+a}{a^2+a+1}}$

$78$ https://diendantoanh...qslant-frac189/

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=2$

Chứng minh $x^3y^4z^2\leqslant \frac{1}{8^9}$

$79$ https://diendantoanh...raca2bca-leq-1/

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a,b,c \geq 1$. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{2b+ca} + \frac{b}{2c+ab} + \frac{c}{2a+bc} \leq 1$$

$80$ https://diendantoanh...c3abc22abbcca2/

Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$ Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2 + a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)^2}$$

$\boxed{19}$

Sẽ  tiếp tục cập nhật...