MHN

The 85th William Lowell Putman Mathematical Competition 2024

Session A

A1: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương $a;b;c$ thỏa mãn:

$$2a^n+3b^n=4c^n$$

A2: Với đa thức thực $p$ nào thì tồn tại đa thức thực $q$ sao cho:

$$p(p(x))-x=(p(x)-x)^2q(x)$$

với mọi số thực $x?$

A3: Gọi $S$ là tập hợp các song ánh

$$T:\begin{Bmatrix} 1;2;3\end{Bmatrix}\times \begin{Bmatrix}1;2;...;2024\end{Bmatrix}\to \begin{Bmatrix} 1;2;...;6072\end{Bmatrix}$$

sao cho: $T(1;j)<T(2;j)<T(3;j)$ với mọi $j\in \begin{Bmatrix} 1;2;...;2024\end{Bmatrix}$ và $T(i;j)<T(i;j+1)$ với mọi $i\in \begin{Bmatrix}1;2;3\end{Bmatrix}$ và $j\in \begin{Bmatrix}1;2;3;...;2023\end{Bmatrix}$. Có tồn tại $a;c\in \begin{Bmatrix}1;2;3\end{Bmatrix}$ và $b;d\in \begin{Bmatrix}1;2;3;...;2024\end{Bmatrix}$ sao cho số phần tử $T$ trong $S$ với $T(a;b)<T(c;d)$ là có tỉ số nhỏ nhất tại $\frac{1}{3}$ và lớn nhất tại $\frac{2}{3}?$

A4: Tìm tất cả các số nguyên tố $p< 5$ sao cho tồn tại một số nguyên $a$ và một số nguyên $r$ thỏa mãn: $1\leq r\leq p-1$, với tính chất sau: dãy $1;a;a^2;...;a^{p-5}$ có thể được sắp xếp lại để tạo thành một chuỗi $b_0;b_1;b_2;...;b_{p-5}$ sao cho $b_n-b_{n-1}-r$ chia hết cho $p$ với $1\leq n\leq p-5$

A5: Xét một đường tròn $\Omega$ có bán kính $9$ tâm tại gốc tọa độ $(0;0)$ và một đĩa tròn $\Delta$ có bán kính $1$ và tâm tại $(r;0)$ với $0\leq r\leq 8$. Hai điểm $P$ và $Q$ được chọn ngẫu nhiên và độc lập trên đường tròn $\Omega$. Giá trị nào của $r$ để xác suất cho dây cung $\overline{PQ}$ cắt đĩa tròn $\Delta$ là nhỏ nhất?

A6: Cho dãy số $c_1;c_2;...$ được xác định bởi:

$$\frac{1-3x-\sqrt{1-14x+9x^2}}{4}=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k$$

với $x$ đủ nhỏ. Với một số nguyên dương $n$, gọi $A$ là ma trận $n\times n$ với phần tử ở hàng $i$ và cột $j$ là $c_{i+j-1}$. Tìm định thức của ma trận $A$.

Nguồn: https://www.facebook...e/p/1TsuTTRy36/

Bài I) Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leqslant \frac{a+b+c}{3}$$

Bài II) Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho:

$$k\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(c^{2}+1\right) \geqslant(a+b+c)^{2}$$

luôn đúng với mọi $a;b;c.$

ISRAEL MO 2025

Ngày 1:

Bài 1:

Cho $n$ là một số nguyên dương, $n$ chữ cái $A$ hoặc $B$ hoặc $C$ được viết xung quanh một hình tròn. Biết rằng sau khi viết $n$ chữ cái lên, theo chiều kim đồng hồ thì dãy chữ cái $AB$ xuất hiện $100$ lần, dãy chữ cái $BA$ xuất hiện $99$ lần và dãy chữ cái $BC$ xuất hiện $17$ lần. Hỏi dây chữ cái $CB$ xuất hiện bao nhiêu lần?

Bài 2:

Cho hình thoi $ABCD$. Lấy thêm $8$ điểm $ X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2,W_1,W_2$​ sao cho tứ giác $AX_1BX_2​,BY_1​CY_2​,CZ_1​DZ_2​,DW_1​AW_2$​ là hình vuông.

Chứng minh rằng $8$ điểm lấy thêm nằm trên hai đường thẳng.

Bài 3:

Bình viết lên bảng một số gồm $2024$ chữ số $1$. Sau đó, Liên viết thêm một số khác gồm $2024$ chữ số vào bên phải số Bình đã viết, sao cho số trên bảng trở thành một số chính phương. Hỏi Liên có thể viết số nào?

Bài 4:

Cho một chiếc bàn hình chữ nhật kích thước $100\times \sqrt{3}$​. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu khăn trải bàn hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín hoàn toàn chiếc bàn? Biết rằng các khăn trải bàn được phép chồng lên nhau và vượt ra ngoài mép bàn.

Bài 5:

Có $2024$ con cá sống trên một dòng sông. Giữa hai con cá bất kỳ có thể tồn tại quan hệ bạn bè. Hỏi liệu có thể xảy ra trường hợp sao cho với bất kỳ $1012$ con cá nào, luôn tồn tại đúng một con cá khác làm bạn với toàn bộ $1012$ con cá đó hay không?

Bài 6:

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$.

Chứng minh rằng:

$$\sqrt{\frac{ab + ac + 1}{a + 2}} + \sqrt{\frac{ab + bc + 1}{b + 2}} + \sqrt{\frac{ac + bc + 1}{c + 2}} \le 3.$$

Bài 7:

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $A_n$​ là số các bộ số nguyên $(a;b;c;d)$ thỏa mãn điều kiện $0\le b\le d\le n;c+d>n$ và $bc=ad+1$. Đặt $\alpha_n = \sum_{(a, b, c, d) \in A_n} \frac{1}{ab + cd}.$

Tìm tất cả các số thực $t$ sao cho $\alpha_n>t$ với mọi số nguyên dương $n$.

CHINA MO 2025

Ngày 1:

Bài 1:

Cho $\alpha > 1$ là số vô tỉ và $L$ là số nguyên thỏa mãn $L > \frac{\alpha^2}{\alpha-1}.$ Dãy số $\left( x_n \right)$ được định nghĩa như sau: $x_1 > L$ và với mỗi số nguyên dương $n$, $x_{n+1}=\left\{\begin{matrix}\left \lfloor \alpha x_n\right \rfloor (x_n\leq L) \\ \left \lfloor \dfrac{x_n}{\alpha}\right \rfloor (x_n>L)\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

1) Dãy số $(x_n)$ tuần hoàn kể từ số hạng nào đó.

2) Chu kì cơ bản (chu kì nhỏ nhất) của dãy số $(x_n)$ là một số nguyên dương lẻ không phụ thuộc vào $\alpha$.

Bài 2:

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$. Lần lượt gọi trung điểm của các đoạn thẳng $AI, AC, CI$ là $L, M, N$.

Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $AM$ sao cho $BC = BD$. Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABD$ tiếp xúc với $AD$ và $BD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$, đường thẳng $MN$ và $JL$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $JMD$ lần thứ hai tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $PQ, LN, EF$ đồng quy.

Bài 3:

Cho $n$ số nguyên dương $a_1 > a_2 > ... > a_n > 1$. Đặt $M = \mathrm{lcm}(a_1, a_2, ..., a_n)$. Với mỗi tập con hữu hạn phần tử $X$ khác rỗng của $N^*$, đặt $f(X)=\min_{1\leq i\leq n}\sum_{x\in X}\begin{Bmatrix}\dfrac{x}{a_i} \end{Bmatrix}.$

Tập $X$ được gọi là nhỏ nhất nếu với mỗi tập con thực sự $Y$ của $X$ ta đều có $f(Y) < f(X)$. Giả sử $X$ là tập nhỏ nhất và $f(X) ≥ \frac{2}{pn}$. Chứng minh rằng số phần tử của $X$ không vượt quá $f(X).M$.

Cho $\Delta ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $D;E;F$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $M$ xuống $BC;CA;AB$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{MD}.\overrightarrow{MD}+\frac{b}{ME}.\overrightarrow{ME}+\frac{c}{MF}.\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{0}.$$

P/s: Mọi người có cách chứng minh nào không dùng định lí con nhím không ạ.