tranquocluat_ht

Bài 6:

Cho $1 \le m \le n$ với $m,n$ là số tự nhiên. 

  a. Chứng minh rằng $(2^{2^n}-1;2^{2^n}+1)=1$.

  b, Tìm $(2^m-1; 2^n+1)$.

Việc làm rất ý nghĩa. T ủng hộ một bài:

a) Đặt $(2^{2^n}-1;2^{2^n}+1)=d$ thì $(2^{2^n}-1;(2^{2^n}+1-(2^{2^n}-1)))=d$ hay $(2^{2^n}-1;2=d$. Suy ra $d|2$ nên $d=1$ hoặc $d=2$.

Lại do $2^{2^n}+1$ lẻ nên chỉ có thể $d=1$.

b) Đặt $(m,n)=k$ ta có $m=m'k, n=n'k$ với $(m',n')=1$.

Khi đó $2^m-1=2^{m'k}-1=(2^k-1)P$. Tương tự $2^n-1=2^{n'k}-1=(2^k-1)Q$.

Chú ý $(m',n')=1$ nên $(P,Q)=1$ tức $(2^m-1; 2^n+1)=2^k-1=2^{(m,n)-1}$.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Cần chứng minh phân giác nên cần tìm chùm điều hòa và tìm 2 tia vuông góc. Cụ thể:

+) Ký hiệu các điểm như hình vẽ.

+) Dễ thấy $EI \bot AD$.

+) Từ đó $XI \bot MD$.

+) Suy ra $NE \bot ND$.

+) Kết hợp với $N(EDCB)=-1$ ta có đpcm.

 

Đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

Bài 1: Giải hệ phương trình

$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2}  \\  \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1  \\ \end{matrix} \right.$$ .

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$

 

Bài 3:

1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.

a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .

b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

 

2)  Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.

 

Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi

$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$

a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $

b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$

 

Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho

$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$ .

 

Bài 3.1. Thực chất là cần chứng minh $\dfrac{AI}{AM}=k$ không đổi (dựa vào $\dfrac{AM}{AM'}$ không đổi). Suy ra $I$ là ảnh của $(O_1)$ qua phép vị tự tâm $A$ tỷ số $k$. 

Bài 5 đặt $g(x)=f(x)-x-2013$ sẽ được $g(x^16)=g(x)=...=k$.

Bài 3.2. Điểm cố định là $G$ mà $(GCAB)=-1$.

Cảm ơn bạn, bỏ điều kiện $x$ nguyên thì cũng không ảnh hưởng gì mấy, chỉ cần $x>1$ 

Em xem đây http://diendantoanho...-đa-thức-phần-i

Chứng minh nếu tồn tại 5 đường tròn bán kính $R$ không giao nhau trong hình vuông cạnh $a$ thì sẽ tồn tại một cách sắp xếp 5 đường tròn đó là tâm của chúng nằm trên các đường chéo của hình vuông.  

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN

Thời gian:150 phút

Bài 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+4}=9 &  & \\ \sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=27&  &\end{matrix}\right.$

Bài 2:Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $mx^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $[0;\frac{\pi}{2}]$.

Bài 3:Cho $CD$ là dây cung của đường tròn $T_1$ và $AB$ là đường kính vuông góc với $CD$ tại $N$ của $(T_1)$,($AN>BN$).Một đường tròn $T_2$ có tâm là $C$ bán kính $CN$ cắt $T_1$ tại $P$ và $Q$.Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và $AC$ tại $K$.$NK$ kéo dài cắt $T_2$ tại $L$.Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.

Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.

Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:

-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.

-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

 

Về nguyên tắc thì câu hệ không khó bởi lẽ: Đặt 2 căn đầu thành $a, b$ rút được $x, y$ theo $a^2, b^2$, thay vào phương trình sau rồi thay $b=9-a$ vào sẽ được một phương trình vô tỷ ẩn $a$. 

Đây là đề thi chính thức:

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.

Bài 2: Tìm tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn phần tử, biết rằng tổng các số hạng đó bằng 11, tổng các bình phương của các số hạng đó bằng 341 và tổng các lập phương của các số đó bằng 3641.

Bài 3: Tìn tất cả các hàm f: $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y \in \mathbb{Z}$.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Bài 5: Tìm tấ cả các số nguyên dương x, y sao cho $z=\frac{x^{3}+y^{3}-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}$ là một số nguyên không âm.

..........................

Dĩ nhiên là không xài máy tính...., đề này chưa cho tổ hợp thôi....(buồn quá!!!)

Câu hình có vẻ cho thừa điểm $P$ nhỉ?

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN

Thời gian:150 phút

Bài 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+23}=9 &  & \\ \sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=27&  &\end{matrix}\right.$

Bài 2:Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $mx^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $[0;\frac{\pi}{2}]$.

Bài 3:Cho $CD$ là dây cung của đường tròn $T_1$ và $AB$ là đường kính vuông góc với $CD$ tại $N$ của $(T_1)$,($AN>BN$).Một đường tròn $T_2$ có tâm là $C$ bán kính $CN$ cắt $T_1$ tại $P$ và $Q$.Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và $AC$ tại $K$.$NK$ kéo dài cắt $T_2$ tại $L$.Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.

Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.

Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:

-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.

-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

 

+ Chú ý $MN.MX=MC.2CN$ nên $MC=MN$.

+ Chú ý $KC.KA=KP.KQ=KN.KL$ nên tứ giác $CLAN$ nội tiếp.

+ Từ đó $AL$ là tiếp tuyến của $T_2$.

+ Ta có $\widehat{NCA}=\widehat{NLA}=\widehat{NXL}$ nên $CK // XL$, từ đó $K$ là trung điểm $NL$.

+ Ta có $PQ$ là đường trung bình tam giác $NCL$ nên ta có đpcm.

Chứng minh $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < 3$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bài toán gốc theo ý tác giả:

Gọi $O_1; O_2$ là tâm của $(EBC); (EAD).$ Gọi $N$ là giao của $OE$ và $O_1O_2.$ Gọi $M$ là trung điểm $HG.$ Chứng minh $NO=NM.$

Cho $a,b,c,d$ $\geq$ $1$. Chứng minh:

 

$\frac{1}{a}$ $+$ $\frac{1}{b}$ $+$ $\frac{1}{c}$ $+$ $\frac{1}{d}$ $\geq$ $\frac{a+b+c+d}{abcd}$

 

Không dùng cách quy đồng mẫu thức nha! Làm như vậy không hay cho lắm.

Em gõ thế này gọn hơn (gộp dấu đô-la lại)

Cho $a,b,c,d \geq 1$. Chứng minh:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \geq \frac{a+b+c+d}{abcd}.$

Kết quả

Cho $a,b,c,d \geq 1$. Chứng minh:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \geq \frac{a+b+c+d}{abcd}.$

Còn về bài này nếu không quy đồng thì làm đồng bậc hoặc dùng quy nạp đều giải được.

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I.$ Tiếp điểm của $(I)$ với $BC, CA, AB$ lần lượt là $D,E,F,$ Phân giác $\widehat{EDF}$ cắt $EF$ tại $N,$ phân giác $\widehat{BIC}$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh: $A, N, M$ thẳng hàng.

Hình vẽ

Chứng minh : $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$ với mọi $a,b,c> 0$

Đặt $a=x^2,...$ Chú ý $\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}} \ge \dfrac{y+z}{x.\sqrt{2}};$ $\dfrac{x.\sqrt{2}}{y+z} \ge \sqrt{\dfrac{x^2}{y^2+z^2}}$ và $\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z} \ge \dfrac{4x}{y+z}$ ta có đpcm.

Bài tương tự http://forum.mathsco...ead.php?t=44756

Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p.$ Tìm số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn của $n!.$