tranquocluat_ht

Tìm số tự nhiên $k>3$ nhỏ nhất sao cho trong $k$ số nguyên bất kỳ ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$ có 3 số có tổng chia hết cho 3.

Câu 3 :

Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Trên cạnh AC lấy D sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IDC$ tại $E$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$, $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường thẳng $JP$ cắt $CF$ tại $Q$.

Chứng minh rằng $QF=QJ$.

Chú ý $E$ là tâm bằng tiếp tam giác $ABD; QJ$ đi qua trung điểm $AB.$

Lấy điểm $F'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $J$ như hình vẽ ta có $BF' || YJ$ và $\widehat{AF'B}=\widehat{AFC}$ nên ta có đpcm.

Ta có: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2(a+b+c)^2-6(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{2-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2}{6}$

Giả sử $a>b>c$.Đặt $x=a-b, y=b-c$ có $a-c=x+y;x,y>0$

Suy ra $ab+ba+ca=\frac{2-x^2-y^2-(x+y)^2}{6}=\frac{1-x^2-y^2-xy}{3}$

Do đó $P=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{x+y}+\frac{5\sqrt3}{\sqrt{1-x^2-y^2-xy}}$

Sử dụng các BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ và $4(x^2+y^2+xy)\ge 3(x+y)^2$ ta được

$P\ge \frac{10}{x+y}+\frac{5\sqrt3}{\sqrt{1-\frac{3}{4}(x+y)^2}}=\frac{5}{\frac{x+y}{2}}+\frac{5}{\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}(x+y)^2}}$

$\ge \frac{20}{\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}-(\frac{x+y}{2})^2}}\ge \frac{20}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=10\sqrt{6}$

Dấu = đạt được khi $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$

Vậy GTNN của P là $10\sqrt{6}$

Cách hay!

Tham khảo thêm ở đây

http://online.print2...3cb2d1c/doc.php

Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.

Giả sử $\dfrac{2^{n-1}-1}{n} \in \mathbb{Z}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}.$ Phải chăng $n$ là số nguyên tố.

Tập P là tập gì vậy anh

Tập số nguyên tố thông thường.

Cho $a,m,n \in \mathbb{N}^{*}$ và $p \in P, p<a-1.$ Chứng minh $x^m(x-a)^n+p$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}_{[x]}.$

Mình xin tổng hợp phần Phương trình hàm. Có bạn nào có file tex mẫu thì gửi dùm nhé!

 

Môn Đại số

 

Bài 1:

a) Chứng minh rằng :

 

$\det \begin{pmatrix}1 &a_1  &a_1(a_1-1)  &a_1(a_1-1)(a_1-2) \\1 &a_2  &a_2(a_2-1)  & a_2(a_2-1)(a_2-2)\\1& a_3 & a_3(a_3-1) &a_3(a_3-1)(a_3-2) \\1& a_4 &a_4(a_4-1)  &a_4(a_4-1)(a_4-2) \end{pmatrix}=\prod_{1 \le i <j \le 4}(a_j-a_i)$

b) Giả thiết $a_1, a_2, a_3, a_4$ là các số nguyên, chứng minh $\prod_{1 \le i <j \le 4} (a_j-a_i)$ chia hết cho 12.

 

Bài 2:  Cho các số thực phân biệt $a_1,a_2, a_3$. Chứng minh rằng với mọi bộ số thực $b_1, b_2, b_3$ tồn tại duy nhất một đa thức $P(x)$ bậc không quá 5 thỏa mãn: $P(a_i)=P'(a_i)=b_i, \; i=1,\; 2,\; 3$ , ở đây $P'$ ký hiệu đạo hàm của đa thức $P$.

 

Bài 3:

a) Ký hiệu $V_4$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực với bậc không quá 4. Định nghĩa ánh xạ $e: V_4 \rightarrow V_4$ như sau: với mỗi đa thức $f \in V_4, \; e(f)=\sum_{i=0}^4 \dfrac{f^{(i)}}{i!}$.

Chứng minh rằng $e$ là ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ $V_4$ vào chính nó.

b) Ký hiệu $V$ là không gian vecto các đa thức hệ số thực. Với mỗi đa thức $f$, đặt $e(f)=\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{f^{(i)}}{i!}$. Chứng minh rằng $e$ là ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ $V$ vào chính nó.

 

Bài 4:

a) Cho ma trận khối $X=\begin{pmatrix}E_m &B \\C&E_n\end{pmatrix}$ được tạo thành từ các ma trận đơn vị $E_m, E_n$ cấp $m,n$ tương ứng và các ma trận $B,C$ với kích thước $m \times n$ và $n \times m$ tương ứng.

Chứng minh rằng $\det(X)=\det(E_n-CB)=\det(E_m-BC)$.

b) Tổng quát, cho ma trận khối $X=\begin{pmatrix}A &B \\ C &D \end{pmatrix}$ , trong đó $A,D$ là các ma trận vuông, $A$ khả ngịch, chứng minh rằng $\det(X)=\det(A) \det(D-CA^{-1}B) $

 

Thí sinh chọn một trong hai câu của bài sau:

 

Bài 5:

a) Cho $P$ là một đa thức bậc $n$ với hệ số hữu tỷ. Giả sử số thực $a$ là nghiệm của $P$ với bội $> \frac{n}{2}$. Chứng minh rằng $a$ là một số hữu tỷ.

b) Trên hình vuông $ABCD$ ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh $X, Y$ (không nhất thiết phân biệt) là một dãy các đỉnh kề nhau $XX_1X_2... X_{n-1}Y$ :  như vậy $X_0=X, .X_1,..., X_{n-1}, X_n=Y$ là các đỉnh của hình vuông và $X_iX_{i+1}$ là cạnh của hình vuông, số $n$ được gọi là độ dài của đường đi. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $x_n, y_n, z_n$ tương ứng là số các đường đi độ dài $n$ giữa: một đỉnh và chính nó, một đỉnh và một đỉnh cố định kề nó, một đỉnh và đỉnh đối diện ( đỉnh đối xứng qua tâm).

Ví dụ $x_0=1, y_0=0, z_0=0, x_1=0, y_1=1, z_1=0, x_2=2, y_2=0, z_2=2 $.

1) Thiết lập công thức truy hồi cho $x_n,y_n,z_n$.

2) Tìm công thức tổng quát của $x_n,y_n,z_n$.

 

Bài 1a. Rõ ràng khi 2 trong 4 số $a_i$ bằng nhau thì định thức bằng 0 và 2 vế đồng bậc nên $VT=kVP.$ Dễ dàng chỉ ra $k=1.$ 

Ta cũng có thể biến đổi trực tiếp để có đpcm.

Bài 1b. Nhét 4 số vào 3 cái chuồng, mỗi chuồng chứa các số bằng $0, 1, 2$ (theo $\mod 3$) tương ứng. Tồn tại 2 số cùng 1 chuồng, nên tích đó chia hết cho 3.

Tương tự nhét 4 số vào 4 cái chuồng khác, nếu có ít nhất 2 số 1 chuồng thì tích đó chia hết cho 4, đpcm. Ngược lại mỗi số một chuồng thì ta có tích đó bằng $1.2.3.1.2.1=0$ theo $\mod 4.$

Đoạn chứng minh tích này chia hết cho 4 có thể nhận xét có ít nhất 2 hiệu chia hết cho 2 cũng được.

Chú ý $(3,4)=1,$ ta có đpcm. 

Bài 2. Giả sử $P(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)Q(x)+R(x)$ thì $R(a_i)=b_i, i=1,2,3.$ Khi đó $R(x)$ bậc 2 (theo công thức nội suy Lagrange).

Ta chỉ cần chứng minh $Q(x)$ có bậc không quá 2.

Thật vậy từ $P(a_1)=b_1$ ta có $Q(a_1)=\dfrac{b_1-P'(a_1)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}$.

Tương tự xác định được $Q(a_2); Q(a_3)$ nên $Q(x)$ có bậc không có 2, đpcm.

Bài 3. Không còn nhớ định nghĩa ánh xạ tuyến tính khả nghịch nữa  

Bài 4. Câu này có vẻ quen.

Bài 5a. Nếu $a$ vô tỷ thì tồn tại nghiệm liên hợp $a'$ cũng là nghiệm bội có bậc $>\dfrac{n}{2}$ của nó nữa, vô lý.

Bài 5b. Dự đoán (với mọi $n \in \mathbb{N}$) 

Chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ các số tự nhiên sao cho với mọi số tự nhiên $k$, dãy $\{k+a_n\}$ chỉ chứa hữu hạn số nguyên tố.

Chuẩn hóa $abc=1$ rồi thì làm sao cho $a+b+c=3$ được nữa.