hoanam25

Gọi $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Có $A$ là trực tâm tam giác $BHC$, đường tròn $(E)$ là đường tròn Euler của tam giác $HBC$ nên $I$ là trung điểm $AK$/

 

Ta chứn mình $MN$ vuông góc với $EI$

Do 4 điểm $B,F,H,D$ đồng viên, $H,E,C,D$ đồng viên nên

$$P(M/(K))=MB.MH=MD.MF$$

$$P(N/(K))=NH.NC=ND.NE$$

Suy ra $M,N$ có cùng phương tích với $(E)$ và $(K)$ nên $MN$ là trục đẳng phương do đó có đpcm!

 

(hình vẽ thì mình không biết dùng thế nào.

Đây là đề thi hsg lớp 10 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi chọn đội tuyển thi Olympic Duyên Hải năm 2015)

Phiền bạn Inex giải thích rõ hơn được không? có thể giải theo cách lớp 9 được không? khái niệm "đồng viên", trục đẳng phương ... khó hiểu quá!!! cám ơn bạn.

Cho ΔABC nhọn ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O;R) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAEF.

a) Chứng minh: HE.HB = 2HI.HD

b) Chứng minh: tứ giác DFIE nội tiếp và xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp.

c) BE cắt DF tại M; CF cắt DE tại N. Chứng minh: MN vuông góc với AK.

d) Cho AB=R√3;AC=R√2. Tính độ dài EF theo R.

ai làm câu 7 mình xem với 

câu 7 giải pt bậc 2 bình thường  mà... MODE (5)(3) đối với dòng 750ES, nhập các hệ số A,B,C rồi ra 2 nghiệm

Cho tam giác ABC nội tiếp (O),H là trực tâm tam giác ABC. Lấy  M la điểm trên cung nhỏ BC, gọi P và Q là điểm dối xứng của M qua AB va AC

chứng minh P; H; Q thẳng hàng. xin các bạn giải giúp, cám ơn thật nhiều,

Chứng minh đường thẳng steiner rồi bạn ơi, bạn vào đây tham khảo http://diendantoanho...m-của-tam-giác/

Cho tam giác nhọn ABC có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H.Gọi K và F là giao điểm của AH với ED và BC. CMR: AK.HF=KH.AF

Bạn tự vẽ hình nhé... Chứng minh EH là tia phân giác trong con EA là tia phân giác ngoài của tam giác EKF. sau đó dùng tính chất của đường phân giác cả trong và ngoài của tam EKF là xong.

Cho đường  tròn  tâm O bán kính R, M là điểm nằm ngoài (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A là điểm nằm giửa M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).

a)   Chứng minh MA.MB = ME.MF.

b)  Gọi H là hình chiếu của C lên MO, chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

c)   Trên nửa mặt phẳng bờ MO chứa A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF, nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao của CO với KF. Chứng minh MS vuông góc với KC.

d)  Gọi P, Q thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS, ABS, và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.

Bài này là bài hình trong đề thi TS 10 thành phố HCM năm 2012-2013

http://www.mathvn.co...-tai-thanh.html

Bài 150:

 

Cho hai đường tròn $(O), (I)$ cắt nhau tại $M, N$. Đường thẳng $d$ quay quanh $M$, cắt đường tròn $(O), (I)$ lần lượt tại $A, B$.

1.      Chứng minh $\angle ANB$ có giá trị không đổi

2.     $\left \{ C \right \}=AO\cap BI$. Chứng minh O, C, N, I cùng thuộc một đường tròn

d) ta có: S = 1/2 AB.CD

Để S max thì AB.CD đạt max:

2AB.CD nhỏ hơn hoặc bằng AB² + CD²

=> AB.CD nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 (AB² + CD²) max = 1/2 ((2R)² + (2R)²) = 4R²

Vậy S max = 1/2 AB.CD = 2R²

^{Dấu "=" xảy ra khi: AB = CD = 2R}

 

*Cho một điểm M cố định ở trong đường tròn (O;R) và hai dây cung AB, CD vuông góc với nhau tại M. Gọi E,F lần lượt là trung điểm AC và AD.

a) Chứng minh: tứ giác AEOF nội tiếp và MA.MB=MC.MD

b) Các đường thẳng EM và FM cắt BD, BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: EP vuông góc với BD và 4 điểm M,Q,B,P cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh: BD=2EO

d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ACBD

 Giải câu d) 

 

 

*Cho một điểm M cố định ở trong đường tròn (O;R) và hai dây cung AB, CD vuông góc với nhau tại M. Gọi E,F lần lượt là trung điểm AC và AD.

a) Chứng minh: tứ giác AEOF nội tiếp và MA.MB=MC.MD

b) Các đường thẳng EM và FM cắt BD, BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: EP vuông góc với BD và 4 điểm M,Q,B,P cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh: BD=2EO

d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ACBD

 Giải câu d) 

 

Bài 149. Mong rằng lần sau khi gửi bài các bạn đánh số thứ tự.

Các bạn làm giúp bài này nhé ^^! Đang bí

Từ một điểm A nằm ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là 2 tiếp điểm). Vẽ đường kính BD của (O). AD cắt (O) tại E (E khác D). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh 5 điểm A,B,O,I,C cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn (câu này dể mình làm được rồi)

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng HE vuông góc với CE.

c) Gọi M là giao điểm của AO và BI, N là gaio điểm của OC và AD. MC cắt AD tại K. Chứng minh rằng AM.AO-NI.AK=AI.AK.

d) chứng minh rằng sinBAI=(AI.OI+AB.OB)/(AI.AB+OB.OI).

Cám ơn các bạn rất nhiều!!!

Bài này là bài 148

Lâu quá không có người trả lời minh gửi đáp án luôn.

b) Chứng minh BHCM là hình bình hành.

c) Ta có: SN.SA = SB.SC = SE.SF

Ta c/m tam giác SNF đồng dạng tam giác SEA (c-g-c) => NFAE nt

=> N,F,H,E,A cùng thuộc đường tròn đk AH

=> ANH^ = AFH^

Lại có : ANM^ = 90 (gnt chắn nửa (O))

Suy ra NH trùng MN => M, H, N thẳng hàng

d) C/m AO vuông gócEF (qua A vẽ tiếp tuyến xy...)

=> Q là trực tâm tam giác ASP => PQ vuông góc AS (1)

Lại có MH vuông góc AS (ANM^ = 90 ) (2)

(1), (2) => MH // PQ

 

Mình mong các thành viên khi gửi bài cố gắng đánh số thự tự đầy đủ và gửi bài đúng với mục đích của Topic (ôn thi lớp 10 không chuyên). Hy vọng của mình là tránh làm cho Topic bị loãng vì gửi bài nhiều nhưng không giải hết. Nay mình đóng góp một bài và lấy số thứ tự tiếp theo, còn những bài không đánh số thì mình không quan tâm, hoặc nếu được chủ Topic nhắc mình sau cũng được. Cảm ơn.

 

Bài 147: 

Cho tam giác ABC

 

 

 

nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Gọi H là giao điểm các đường cao AD, BE, CF của tam giác. Đường thẳng BC cắt đường thẳng EF tại S.

 

 

 

 

 

1. Chứng minh : tứ giác BCEF nội tiếp và SB.SC = SE.SF
2. Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh CH = BM.
3. Gọi N là giao điểm của AS và (O). Chứng minh M, H, N thẳng hàng
4. AM cắt BC tại P, AD cắt EF tại Q. Chứng minh MH // PQ 

 

 

Mình mong các thành viên khi gửi bài cố gắng đánh số thự tự đầy đủ và gửi bài đúng với mục đích của Topic (ôn thi lớp 10 không chuyên). Hy vọng của mình là tránh làm cho Topic bị loãng vì gửi bài nhiều nhưng không giải hết. Nay mình đóng góp một bài và lấy số thứ tự tiếp theo, còn những bài không đánh số thì mình không quan tâm, hoặc nếu được chủ Topic nhắc mình sau cũng được. Cảm ơn.

Bài 147: 

Cho tam giác ABC 

nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Gọi H là giao điểm các đường cao AD, BE, CF của tam giác. Đường thẳng BC cắt đường thẳng EF tại S.

1. Chứng minh : tứ giác BCEF nội tiếp và SB.SC = SE.SF
2. Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh CH = BM.
3. Gọi N là giao điểm của AS và (O). Chứng minh M, H, N thẳng hàng
4. AM cắt BC tại P, AD cắt EF tại Q. Chứng minh MH // PQ 

Lâu quá không có người trả lời minh gửi đáp án luôn.

b) Chứng minh BHCM là hình bình hành.

c) Ta có: SN.SA = SB.SC = SE.SF

Ta c/m tam giác SNF đồng dạng tam giác SEA (c-g-c) => NFAE nt

=> N,F,H,E,A cùng thuộc đường tròn đk AH

=> ANH^ = AFH^

Lại có : ANM^ = 90 (gnt chắn nửa (O))

Suy ra NH trùng MN => M, H, N thẳng hàng

d) C/m AO vuông gócEF (qua A vẽ tiếp tuyến xy...)

=> Q là trực tâm tam giác ASP => PQ vuông góc AS (1)

Lại có MH vuông góc AS (ANM^ = 90 ) (2)

(1), (2) => MH // PQ