lehoanghiep

http://www.mediafire...c7tv1kiv1806jr6

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau có nghiệm :
\[
m\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right) + x\left( {\sqrt {1 + x} + 1} \right)
\ge 0
\]

Điều kiện $-1\leq x\leq 1$.
$m\geq \frac{-x\left ( \sqrt{1+x}+1 \right )}{\sqrt{1-x}+1}=\frac{-x\left ( \sqrt{1+x}+1 \right )\left ( \sqrt{1-x}-1 \right )}{\left ( \sqrt{1-x} +1 \right )\left ( \sqrt{1-x}-1 \right )}=\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-1=f\left ( x \right )$.

Bài này nhẹ nhàng

Bài toán. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $15a+\sqrt[3]{5}b+\sqrt[5]{3}c=3$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{5}}$.

Một bài nhẹ nhàng cho tối chủ nhật

Câu 1.
1). Giải phương trình: $2x^2 - x - \frac{1}{8} =\sqrt[3]{\frac{9}{8x^2} + \frac{1}{x} - 1}$
2). Giải hệ phương trình: $\left\{ {{\begin{array}{*{20}c}
{(y + 1)^2 + y\sqrt {y^2 + 1} = x + \frac{3}{2}} \\
{x + \sqrt {x^2 - 2x + 5} = 1 + 2\sqrt {2x - 4y + 2} } \\
\end{array} }} \right.$

Ngoại hình câu này ghê quá
1) Nhân thêm $x$ cả hai vế ta được
$2x^{3}-x^{2}-\frac{1}{8}x=\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}
+\frac{9}{8}x}$ $\Leftrightarrow x^{3}+x=-x^{3}+x^{2}
+\frac{9}{8}x+\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}
+\frac{9}{8}x}$.
Xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}+t$.
Suy ra $x=\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}+\frac{9}{8}x}\Leftrightarrow 2x^{3}-x^{2}-\frac{9}{8}x=0$.
2) Từ phương trình $(1)$ suy ra $x-2y=y^{2}+y\sqrt{y^{2}+1}-\frac{1}{2}\Rightarrow 2x-4y+2=2y^{2}+2y\sqrt{y^{2}+1}+1=\left ( y+\sqrt{y^{2}+1} \right )^{2}$.
Thế vào phường trình $(2)$ được $x-1+\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+4}=2y+\sqrt{\left ( 2y \right )^{2}+4}$.
Suy ra $x-1=2y$.
Công việc còn lại đơn giản rồi

Bài toán. Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$ và $x-y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x+y-2}{z+2}$.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
$$S = \sqrt{a-b \cos x}+\sqrt{a-b\cos(\alpha - x)}$$
trên $(0;\alpha )$
Với $a,b,\alpha$ là các hằng số và $a\geq b>0, 0 <\alpha \leq \pi$

Đặt $u=cosx;v=cos\left ( \alpha -x \right )$.
$A=\sqrt{a-bu}+\sqrt{a-bv}$
$\Rightarrow A^{2}=2a-b\left ( u+v \right )+2\sqrt{\left ( a-bu \right )\left ( a-bv \right )}=2a-b\left ( u+v \right )+2\sqrt{a^{2}+b^{2}uv-ab\left ( u+v \right )}$
Ta có $cos\alpha =cos\left ( x+\alpha -x \right )=uv-\sqrt{1-u^{2}}\sqrt{1-v^{2}}=m$.
Đến đây, đặt $S=u+v;P=uv$.
Khi đó $A^{2}=2a-bS+2\sqrt{a^{2}+b^{2}P-abS}$ với $P-\sqrt{1-S^{2}+2P+P^{2}}=cos\alpha =m$. (1)
Từ (1) suy ra $\left ( P-m \right )^{2}=\left ( P+1 \right )^{2}-S^{2}\Rightarrow P=\frac{m^{2}+S^{2}-1}{2\left ( m+1 \right )}$. (2)
Mặt khác $S^{2}\geq 4P\Rightarrow \left ( m+1 \right )S^{2}\geq 2\left ( m^{2}+S^{2}-1 \right )\Leftrightarrow \left ( m-1 \right )S^{2}\geq 2\left ( m^{2}-1 \right )\Leftrightarrow S^{2}\leq 2\left ( m+1 \right )$ (vì $m<1$), suy ra $-\sqrt{2\left ( m+1 \right )}\leq S\leq \sqrt{2\left ( m+1 \right )}$.
Thay (2) vào biểu thức $A^{2}$ ta được $A^{2}=2a-bS+\sqrt{a^{2}+b^{2}\frac{m^{2}+S^{2}-1}{2\left ( m+1 \right )}-abS}=f\left ( S \right )$ với $S\in \left [ -\sqrt{2\left ( m+1 \right )};\sqrt{2\left ( m+1 \right )} \right ]$.
Ta có $f'\left ( S \right )=-b+\frac{\frac{b^{2}}{m+1}S-ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}\frac{m^{2}+S^{2}-1}{2\left ( m+1 \right )}-abS}}$.
$f'\left ( S \right )=0\Leftrightarrow \frac{bS}{m+1}-a=\sqrt{a^{2}+b^{2}\frac{m^{2}+S^{2}-1}{2\left ( m+1 \right )}-abS}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S\geq \frac{a}{b}\left ( m+1 \right ) & \\ \left ( \frac{bS}{m+1}-a \right )^{2}=a^{2}+b^{2}\frac{m^{2}+S^{2}-1}{2\left ( m+1 \right )}-abS& \end{matrix}\right.$
Giải phương trình này ta được $S=\left ( m+1 \right )\frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b}$.
Thay số và biến đổi tương đương ta có $f\left ( \left ( m+1 \right )\frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b} \right )=2sin^{2}\frac{\alpha }{2}\left ( a+\sqrt{a^{2}-b^{2}} \right )$;
$f\left ( -\sqrt{2\left ( m+1 \right )} \right )=4\left ( a+b\sqrt{\frac{m+1}{2}} \right )=4\left ( a+bcos\frac{\alpha }{2}\right)$;
$f\left ( \sqrt{2\left ( m+1 \right )} \right )=4\left ( a-bcos\frac{\alpha }{2}\right)$.
Trường hợp 1: $\left ( m+1 \right )\frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b}\in \left [ -\sqrt{2\left ( m+1 \right )};\sqrt{2\left ( m+1 \right )} \right ]$.
Khi đó, ta có $f'\left ( S \right )$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $\left ( m+1 \right )\frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b}$.
Mà dễ thấy $f\left ( -\sqrt{2\left ( m+1 \right )} \right )>f\left ( \sqrt{2\left ( m+1 \right )} \right )$.
Do đó $A_{max}=2\sqrt{a+bcos\frac{\alpha }{2}};A_{min}=sin\frac{\alpha }{2}\sqrt{2\left ( a +\sqrt{a^{2}-b^{2}} \right )}$.
Trường hợp 2: $\left ( m+1 \right )\frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b}>\sqrt{2\left ( m+1 \right )}$.
Khi đó $A_{max}=2\sqrt{a+bcos\frac{\alpha }{2}};A_{min}=2\sqrt{a-bcos\frac{\alpha }{2}}$.

Bài toán. Tìm tất cả bộ ba nguyên dương $\left ( x,y,z \right )$ sao cho tổng $\sqrt{\frac{2012}{x+y}}+\sqrt{\frac{2012}{y+z}}+\sqrt{\frac{2012}{z+x}}$ là một số nguyên dương chẵn.

Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$, bán kính đường tròn nội tiếp là $r$, ngoại tiếp $R$, độ dài các cạnh lần lượt là $a, b, c$. Chứng minh

$\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}\geq \sqrt{\frac{2}{1+4r\left ( r+4R \right )}}$.

Đặt VT là A
Ta có $A= \frac{a+bc-2bc}{a+bc}+\frac{b+ac-2ac}{b+ac}+\frac{c+ab-2ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c+ab}\geq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c(a+b+c)+ab}\geq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$
Đến đây thì khai triển ?

Cách này hơi "nặng" với mấy em.

Xét bốn số thực $x, y,z,t$thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right ]$ .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức :
$P=9 \left ( \frac{x+z}{x+t} \right )^{2}+16\left ( \frac{z+t}{x+y} \right )^{2}$

Bài này là T8/413 THTT.
Mình trình bày lại lời giải bài toán như sau:
Tìm $min$:
$P\geq \frac{24\left ( x+z \right )\left ( z+t \right )}{\left ( x+t \right )\left ( x+y \right )}\geq \frac{24\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{1}{2}+t \right )}{\left ( x+t \right )\left ( \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \right )}=\frac{18\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left ( t+\frac{1}{2} \right )}{x+t}$.
Lại có $\frac{t+\frac{1}{2}}{x+t}=1-\frac{x-\frac{1}{2}}{x+t}\geq 1-\frac{x-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}$$\Rightarrow P\geq 18$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{2}{3};z=t=\frac{1}{2}$.
Tìm $max$:
$\frac{x+z}{x+t}\leq \frac{x+\frac{2}{3}}{x+t}\leq 1+\frac{\frac{2}{3}-t}{\frac{1}{2}+t}=\frac{7}{3\left ( 2t+1 \right )}$.
$\frac{z+t}{x+y}\leq \frac{\frac{2}{3}+t}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\frac{3t+2}{3}$.
Do đó $P\leq \frac{49}{\left ( 2t+1 \right )^{2}}+\frac{16}{9}\left ( 3t+2 \right )^{2}=f\left ( t \right )$.
Hàm $f\left ( t \right )$ đồng biến trên $\left [ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right ]$ suy ra $P\leq f\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{337}{9}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2};z=t=\frac{2}{3}$. $\blacksquare$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$.

Thị học sinh giỏi lớp 9 thị xã mình!

em cần tìm một số bđt có sử dụng các đẳng thức đẹp sau trong xây dưng và cm:
cho a,b,c là các số thực dương
1,$ \sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=-1 với abc=1$
2,$\frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ca+1}=0$
3,$ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) $ 4,$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$

2,$\frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ca+1}=1$

Bài này làm dồn biến là ngắn nhất thì phải.
Bài này theo tớ thì còn 1 cách:
$xyz=x+y+z+2\Leftrightarrow xyz+x+y+z+xy+xz+yz+1=2(x+y+z)+(xy+yz+xz)+3\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)(y+1)+(x+1)(z+1)+(y+1)(z+1)\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$
Đặt a=$a= \frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\Rightarrow a+b+c=1$$x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}$ nên ta có thể
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b+a}{c};\frac{a+c}{b};\frac{b+c}{a})$, đưa BDT đã cho về
$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6\geq 2\sum \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}$

CM BDT này với cách tớ khá dài , phức tạp
Ai có cách CM BDT này ngắn post t tham khảo nha

$2\left ( \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \right )=\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^{2}-\left ( x+y+z \right )$.
BĐT cần cứng minh tương đương $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{2\left ( x+y+z+3 \right )}$.
...
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sum \sqrt{b+c}.\frac{1}{\sqrt{a}}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$.
Suy ra đpcm.

Bài toán. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx+2xyz=1$. Chứng minh rằng $\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{2}\leq \sqrt[3]{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}$.

Bài toán. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng $xyz\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\leq 8$.