Đến nội dung

perfectstrong

perfectstrong

Đăng ký: 30-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 09:17
****-

#743868 Tính S=$\textrm{C}_{2018}^{0}+3^...

Gửi bởi perfectstrong trong Hôm qua, 10:30

Bài này phải ở mức THPT hoặc Olympic nên mình sẽ chuyển về bên ấy.

 

Có nhiều cách chứng minh bài toán này. Tổng đã cho tương đương với

\[S = \sum\limits_{k = 0}^{1014} {{3^{2k}}C_{2018}^{2k}} \]

Nhìn hạng tử $3^{2k}C_{2018}^{2k}$ làm ta liên tưởng tới số hạng của khai triển nhị thức $(1+3x)^n$, nên ta đặt $f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^{2018}}$.

Lại chú ý rằng tổng $S$ chỉ có những số hạng mũ chẵn, nên ta phải tìm cách triệt tiêu các số mũ lẽ của $f$.

Một cách thông dụng là xét $f(x)+f(-x)$, khi đó các số mũ lẻ sẽ tự triệt tiêu nhau.

\[S = \frac{{f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)}}{2} = ...\]




#743856 Tăng tốc độ giải toán

Gửi bởi perfectstrong trong 26-02-2024 - 17:11

1. Đánh giá độ khó của từng bài, xếp theo thứ tự dễ đến khó rồi tấn công từ bài.

2. Tập giải nhiều bài để có được trực giác và nhiều phương pháp.

Hai việc này thực ra đi song hành với nhau: làm nhiều mới biết được bài khó hay dễ.

Còn về cách trình bày, bạn tập trình bày lý luận ngược: muốn chứng minh A, ta cần có B và C. Để chứng minh B, ta có ... Để chứng minh C, ta thấy rằng có D, E, F, v.v.




#743820 Topic:Bài toán tìm các số nguyên tố a,b.

Gửi bởi perfectstrong trong 24-02-2024 - 18:33

Bạn vui lòng đặt tiêu đề theo quy định.

https://diendantoanh...ệc-đặt-tiêu-đề/

Sau đó, hãy gõ công thức toán bằng LaTeX như hướng dẫn ở đây : https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Bạn có 3 ngày để sửa bài viết. Nếu bạn không làm đúng quy định thì bài viết sẽ bị khóa vĩnh viễn.




#743819 Topic:Bài toán lớp 7 cực hay về số chính phương cho các bạn đây.

Gửi bởi perfectstrong trong 24-02-2024 - 18:33

Bạn vui lòng đặt tiêu đề theo quy định.

https://diendantoanh...ệc-đặt-tiêu-đề/

Sau đó, hãy gõ công thức toán bằng LaTeX như hướng dẫn ở đây : https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Bạn có 3 ngày để sửa bài viết. Nếu bạn không làm đúng quy định thì bài viết sẽ bị khóa vĩnh viễn.




#743808 $$\sqrt[n]{ka+m}+\sqrt[n]{kb+m}+...

Gửi bởi perfectstrong trong 24-02-2024 - 08:33

Bạn có điều kiện chi về $k,m,n$ nữa không? Số nguyên hay gì?

Nếu giải bằng cấp 3 thì đặt $f(x)=\sqrt[n]{kx+m}$.
$f''(x)>0$ nên $f$ lồi trên $[0;+\infty)$.

Áp dụng BĐT Jensen https://en.m.wikiped...en's_inequality ta có
$f(a)+f(b)+f(c)\ge {3}f\left( {\frac{a+b+c}{3}}\right)=3f(1)$


#743772 Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.

Gửi bởi perfectstrong trong 21-02-2024 - 23:37

Cho em hỏi là việc mình dùng góc định hướng để giải thì có lợi ích gì hơn so với khi làm góc bình thường ấy ạ? 

Mục đích là giảm sự phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm/đoạn thẳng. Chẳng hạn, nếu $ABC$ nhọn thì $H$ nằm trong tam giác $ABC$, nhưng nếu tam giác $ABC$ tù thì $H$ lại nằm ngoài.

2024-02-21_23h35_40.png

Mệnh đề "$E,F,H$ thẳng hàng" vẫn đúng, nhưng các góc cần so sánh đã thay đổi vị trí, các phép cộng trừ góc có thể sẽ cần phải viết lại. Sử dụng góc định hướng giúp cho việc tính toán góc không phụ thuộc vào vị trí "chúng ta đang thấy".




#743745 Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.

Gửi bởi perfectstrong trong 20-02-2024 - 17:42

 

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H , nội tiếp đường tròn (O).Đường
thẳng CH cắt AB tại D . Đường thẳng qua D vuông góc với OD , cắt đường thẳng
BC tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH cắt đường thẳng AB tại F ( F không
trùng B ). Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.

2024-02-20_17h30_16.png

Trước hết ta thấy rằng $(FB,FH) \equiv (CB,CH) \equiv (AH,AB) (\text{mod } \pi) \quad (1)$.

Vẽ $CH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $G$. Một kết quả quen thuộc là:

Mệnh đề
$H,G$ đối xứng nhau qua $AB$.

Do đó $(AH,AB) \equiv (AB, AG) (\text{mod }\pi)$.

Kết hợp với (1), ta có $(FB,FH) \equiv (AB, AG) (\text{mod }\pi)$. Suy ra $AG \parallel FH \quad (2)$.

 

Ta chỉ cần chứng minh $HE \parallel AG$. Chú ý rằng nếu kéo dài $DE$ cắt $AG$ tại $I$, thì ta áp dụng có thể áp dụng bài toán con bướm sau:

Mệnh đề
Cho $(O)$ và dây $AB$ không qua tâm. $I$ là trung điểm của $AB$. Qua $I$ vẽ 2 dây $CD, EF$ sao cho $C,E$ thuộc cung AB nhỏ. $CF$ và $ED$ cắt $AB$ lần lượt tại $M,N$. Khi đó: $$ IM=IN$$

Chứng minh
https://diendantoanh...-toan-con-bướm/

Áp dụng vào bài toán ban đầu, ta thu được $DI = DE$. Lại có $DG=DH$ nên dễ dàng suy ra $GI \parallel EH$.

Ta có đpcm.




#743743 Tính góc $\widehat{MFB}$

Gửi bởi perfectstrong trong 20-02-2024 - 11:35

attachicon.gif cf96c5670442a91cf053.jpg

Lúc nào viết cũng thấy chữ mình hơi ẩu  :luoi:  e trình bày như thế ổn không ạ?

Bạn cẩn thận dòng $\angle FMC = \frac{1}{2} \text{sđ } EC; \angle FBC = \frac{1}{2} \text{sđ } DC$, vì bạn đang nói tới hai đường tròn khác nhau.

Nên nói thêm là hai đường tròn này có cùng bán kính và dây cung của hai cung nhỏ nói tới bằng nhau.




#743742 Em rất cần link tải cabri 3D

Gửi bởi perfectstrong trong 20-02-2024 - 11:30

Có nhất thiết phải là Cabri không bạn ? Không thì có Geogebra 3D miễn phí mà còn dùng được trên trình duyệt nữa.




#743711 Tính góc $\widehat{MFB}$

Gửi bởi perfectstrong trong 19-02-2024 - 10:11

Cho e xin cái hình được không ạ? e vẽ mà (C,CD) cắt (c) tại 2 điểm mà cả 2 điểm ấy đều thuộc cung AC luôn ấy ạ  :(

Thầy Thế quên nói rằng $D$ nằm giữa $A,B$. Bạn dùng hình này nhé:

2024-02-19_10h10_06.png




#743693 Hình hộp nhỏ nhất để chứa $12$ quả bóng rổ

Gửi bởi perfectstrong trong 18-02-2024 - 16:09

Ta giải với $R>0$ bất kỳ. Diện tích toàn phần sẽ tỉ lệ thuận với $R^2$.

 

Đặt $d=2R$ là đường kính của trái bóng.

Gọi $a,b,c$ là số trái bóng lần lượt sắp theo chiều dài, rộng, cao của hình hộp.

Trong trường hợp xếp theo "hình hộp" như giải thích ở bài viết https://diendantoanh...ổi/#entry743621 thì ta có các số liệu sau:

\begin{gather*}
    \begin{array}{c|c|c|c|c}
    \text{STT} & \text{Dài} (\#) & \text{Rộng} (\#) & \text{Cao}(\#) & \text{S} (R^2) \\
\hline 1 & 12 & 1 & 1 & 50,00\\
\hline 2 & 6 & 2 & 1 & 40,00\\
\hline 3 & 4 & 3 & 1 & 38,00\\
\hline 4 & 3 & 2 & 2 & 32,00\\
    \end{array}
\end{gather*}

 

Vậy lời giải số 4 (xếp theo \(3 \times 2 \times 2 \)) đang là lời giải tốt nhất.

 

Nếu ta xếp xen kẽ các trái bóng thì ta có thể làm tốt hơn không?

Dưới đây là một cách xếp xen kẽ 2 lớp, mỗi lớp 2 hàng, mỗi hàng 3 bóng xen kẽ với hàng trên.

 

xep banh 1.png

 

Chú ý rằng khi xếp chồng 2 lớp lên thì mặt bên của hình hộp (mặt có 6 bóng) sẽ có sắp xếp tương tự với lớp 1 hoặc 2. Sau khi tính toán các thông số, ta thu được chiều dài \(3,5 R\), chiều rộng \(\left( {1+\frac{\sqrt 3}{2}} \right)R\) và chiều cao \(\left( {1+\frac{\sqrt 3}{2}} \right)R\). Vậy diện tích toàn phần sẽ xấp xỉ \((17,5+9\sqrt{3})R^2 \approx \bf 33,09R^2\).

 

Vậy là phương án xếp xen kẽ không thể vượt được cách xếp hình hộp \(3 \times 2 \times 2\) :D

 

Thế nhưng, liệu có thể chứng mình đấy là phương án tốt nhất không?




#743683 Hình hộp nhỏ nhất để chứa $12$ quả bóng rổ

Gửi bởi perfectstrong trong 18-02-2024 - 11:30

(CASIO THCS toàn quốc năm 2011) Mt qubóng rtheo tiêu chun quc tế có dng hình cu vi bán kính $R = 12,09 (cm)$ (như hình bên). Người ta mun to ra các túi dng hình hp đứng có np bng bìa ( cng và nhn ) để đựng được ${\bf 12}$ qubóng rổ nói trên. Nếu chưa tính cn có các mép dán thì din tích bìa ít nht để to mi túi như thế là bao nhiêu $cm^2$?

 
2024-02-16_15h00_33.png

 

https://diendantoanh...5-đến-năm-2014/

 




#743681 Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác đều

Gửi bởi perfectstrong trong 18-02-2024 - 11:15

Mình chứng minh như sau (không phụ thuộc hình vẽ). Mình viết chứng minh dài vì giải thích từng tí một.

 

Hai đường tròn: đường tròn tâm $A$ với bán kính $AP$ và đường tròn tâm $D$ với bán kính $DA$ lần lượt đi qua tâm của nhau. Do đó với hai giao điểm $E$ và $F$ của chúng, chúng ta suy ra $AE = AF = DE = DF = AD$, kéo theo hai tam giác $ADE$ và $ADF$ là hai tam giác đều.

 

Tam giác $APD$ cân tại $A$ vì $P$ và $D$ cùng thuộc đường tròn tâm $A$ với bán kính $AP$. Cùng với việc $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APD$, chúng ta chứng minh được hai tam giác $QDA$ và $QPA$ bằng nhau và cùng hướng. Từ điều này chúng ta có cặp góc bằng nhau, cụ thể là $(AQ, AD) \equiv (PQ, PA) \pmod{\pi}$. Nếu vẽ tiếp tuyến $t$ đi qua $A$ của đường tròn $c$ thì chúng ta có $(AQ, t) \equiv (PQ, PA) \pmod{\pi}$ (phiên bản góc định hướng cho định lý góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau). Do đó $(AQ, AD) \equiv (AQ, t)\pmod{\pi}$, điều này có nghĩa là $AD$ trùng $t$, hay $AD$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $c$.

 

Tiếp tục áp dụng định lý về góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung, cùng với việc hai tam giác $ADE$ và $ADF$ đều (chúng cũng ngược hướng nữa) chúng ta có

$$(CA, CB)\equiv (AD, AB) \equiv (AD, AF) \equiv (FA, FD) \equiv -(FD, FA) \pmod{\pi}$$

$$(BA, BC)\equiv (AD, AC) \equiv (AD, AE) \equiv (AF, AD) \equiv -(AD, AF) \pmod{\pi}$$

Từ hai điều này, chúng ta suy ra hai tam giác $ABC$ và $DAF$ đồng dạng ngược hướng (trường hợp góc-góc). Vì tam giác $DAF$ là tam giác đều nên tam giác $ABC$ cũng là tam giác đều.

 

____

 

Lưu ý: Việc có $\angle EAF = 120^{\circ}$ là không đủ để suy ra $\angle BAC = 60^{\circ}$. Bởi vì nếu chỉ có $\angle EAF = 120^{\circ}$ thì $\angle BAC$ có thể có số đo là $60^{\circ}$ hoặc $120^{\circ}$.

 

Mình có góp ý nữa: Các bạn không nên dùng những từ như "dễ thấy" và "quen thuộc" vì đó là những tính từ mang tính chủ quan, làm suy giảm tính khách quan và sự dễ theo dõi cho người đọc. Ngoài ra, khi lập luận, nếu nêu rõ được dùng mệnh đề gì, điều kiện gì để "suy ra" thì tốt hơn là chỉ nêu mỗi "suy ra ..."

Bạn dùng cả góc định hướng thì quá tầm THCS mất rồi :D Hình học THCS thì chỉ dừng lại ở mức trực quan chứ chưa thể làm chặt chẽ hơn như THPT :) Nhưng đúng là không nên "dễ thấy" và "quen thuộc", dễ tạo thành thói quen xấu khi đi kiểm tra thi thố.




#743666 Tổng 2 phần tử là số chính phương.

Gửi bởi perfectstrong trong 18-02-2024 - 08:00

Giả sử tồn tại tập $B$ có $50$ phần tử bất kỳ của $S$ sao cho không tìm được 2 số có tổng là số chính phương.
Chia S thành $50$ cặp số dạng $(k;100-k); k \in \{1;...;50 \}$
Khi đó tập $B$ chỉ chứa đúng $1$ số trong mỗi cặp.

  • $3 \in B$ thì do $3+78=81 =9^2$ nên $78 \not \in B \implies 22 \in B$. Lại có $22;3 \in B; 22+3=25=5^2$, mâu thuẫn 
  • $97 \in B$ thì do $97+99=196=14^3$ nên $99 \not \in B \implies 1 \in B$ Lại có $1+8=3^2;1+48=7^2 \implies 48;8 \not \in B \implies 92;52 \in B$ nhưng $92+52=12^2$ nên mâu thuẫn.
Do đó giả sử sai.
Chú ý rằng $k=50$ thì $k=100-k$, mà $50$ chỉ được chọn nhiều nhất 1 lần thôi. Và em vẫn chưa xét phần tử $100$.


#743645 $2({a^{m+n}+b^{m+n}})\ge (a^m+b^m)(a^...

Gửi bởi perfectstrong trong 17-02-2024 - 14:39

Bạn vui lòng đặt tiêu đề đúng quy định

https://diendantoanh...ệc-đặt-tiêu-đề/

Và gõ công thức toán bằng LaTeX

https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

 

Bài toán của bạn còn thiếu điều kiện về $a,b,m,n$. Nhưng nói chung chỉ cần dùng phương pháp biến đổi tương đương: khai triển ở VP rồi lượt bớt phần tử chung để thu về $(a^m-b^m)(a^n-b^n) \ge 0$. Sau đó xét 2 trường hợp $a \ge b$ và $a \le b$ (hoặc có thể giả sử luôn từ ban đầu vì bđt đã cho đối xứng đối với $a,b$).