Ta có bổ đề sau:
Áp dụng vào bài toán:
\[\begin{align*}
\frac{1}{{{r_1}}} + \frac{1}{{{r_2}}} &\ge 2\left( {\frac{1}{r} + \frac{1}{{BC}}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{{p_{ABM}}}}{{{S_{ABM}}}} + \frac{{{p_{ACM}}}}{{{S_{ACM}}}} &\ge 2\left( {\frac{{{p_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{1}{{BC}}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{2{p_{ABM}} + 2{p_{ACM}} - 2{p_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} &\ge \frac{2}{{BC}}\\
\Leftrightarrow {{\left( {AB + BM + MA} \right) + \left( {AC + CM + MA} \right) - \left( {AB + BC + CA} \right)}} &\ge \frac{2{{{S_{ABC}}}}}{{BC}}\\
\Leftrightarrow AM &\ge AH
\end{align*}\]
($H$ là chân đường cao từ $A$ lên $BC$). BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm.
- tritanngo99, MHN và Hahahahahahahaha thích