vanhongha

$\lim _{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x(x^2+1)}}$

Giải phương trình:

$9^{2x+\sqrt{x+2}}+3^{x^3}=9^{2\sqrt{x+2}}+3^{x^3+4x-4}$

Tính:

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2sinx+x+1+xcosx}{1+xsinx}dx$

Bài 1: Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. $SA=SB=SC=SD=a$. Gọi $M$ là một điểm trên đoạn $AO$. $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $AD$ và $SO$. Đặt $\frac{AM}{AO}=k$ $(o<k<1)$

• CMR thiết diện của hình chóp với $(P)$ là hình thang cân.
• Tinh các cạnh của thiết diện theo $a$ và $k$.
• Tìm $k$ để thiết diện trên ngoại tiếp được một đường tròn. Khi đó hãy tính thiết diện theo a.

Bài 2: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $M,N,P$ là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn $AB', AC', B'C$ sao cho $\frac{AM}{AB'}=\frac{C'N}{AC'}=\frac{CP}{CB'}=x$

• Tìm x để $(MNP)//(A'BC')$. Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi $mp(MNP)$, biết tam giác $A'BC'$ là tam giác đều cạnh $a$.
• Tìm tập hợp trung điểm của $NP$ khi $x$ thay đổi.

Bài 3: Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, có đáy là hình thang với $AD=CD=BC=a$, $AB=2a$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ cắt các cạnh $BB',CC',DD'$ lần lượt tại $M,N,P$.

• Tứ giác $AMNP$ là hình gì? So sánh $AM$ và $NP$.
• Tìm tập hợp giao điểm của $AN$ và $MP$ khi $(P)$ di động
• CMR: $BM+2DP=2CN$

Bài 1: Cho hình chóp $S.ABCD$. Tứ giác có đáy $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$, $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $F$, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $G$. Mặt phẳng $(P)$ cắt $SA$, $SB$, $SC$ lần lượt tại $A'$, $B'$, $C'$.

• Tìm giai điểm $D'$ của $SD$ với $(P)$.
  
• Tìm điều kiện của $(P)$ để $A'B' // C'D'$.
  
• Với điều kiện nào của $(P)$ thì $A'B'C'D'$ là hình bình hành? CMR khi đó:\[\frac{{SA'}}{{SA}} + \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SC'}}{{SC}} + \frac{{SD'}}{{SD}}\]

4. Tìm $S_{A'B'C'D'}$
Bài 2: Cho mặt phẳng $(P)$ và hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}$, $d_{2}$ cắt (P) tại A và B. Đường thẳng $(\Delta )$ thay đổi luôn song song với $(P)$, cắt $d_{1}$ tại $M$, $d_{2}$ tại $N$. Đường thẳng qua $N$ và song song $d_{1}$ cắt $(P)$ tại $N'$

• Tứ giác $AMNN'$ là hình gì? Tìm tập hợp điểm $N'$.
  
• Xác định vị trí của $\Delta $ để $MN$ có độ dài nhỏ nhất.
  
• Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, $I$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh $OI$ là đường thẳng cố định khi $M$ di động.
  
• Tam giác $BMN$ vuông cân đỉnh $B$ và $BM=a$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp $B.AMNN'$ với mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $(BMN)$.

Bài 3: Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành. $M$ và $P$ là hai điểm lần lượt di động trên $AD$ và $SC$ sao cho: $\frac{MA}{MD}=\frac{PS}{PC}=x$ $(x>0)$

• CMR: $MP$ luôn song song với mặt phẳng cố định $(P)$
  
• Tìm giao điểm I của $(SBD)$ với $MP$
  
• mặt phẳng qua $M$ và song song với $(P)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện và cắt $BD$ tại $J$. Chứng minh $IJ$ có phương không đổi. Tìm $x$ để $PJ$ song song với $(SAD)$.
  
• Tìm $x$ để diện tích thiết diện bằng $k$ lần diện tích tam giác $ABC$ ( $k>0$ cho trước).

Bài 1:
Cho $\bigtriangleup ABC$ có $O$ là tâm $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ là khoảng cách từ $O$ đến 3 cạnh.
CMR: $d_{a}+d_{b}+d_{c}=R+r$
Bài 2:
Cho $\bigtriangleup ABC$ có góc $<120^{o}$ tìm điểm $M$ sao cho tổng $P=MA+MB+MC$ bé nhất.
Bài 3:
Cho $(P):y=x^2$
$\bigtriangleup ABC$ có các đỉnh $ A, B, C \in (P)$
CMR: cạnh huyền của $\bigtriangleup ABC$ $<2$.
Bài 4:
Cho $\bigtriangleup ABC$ có $r$ và $R$lânf lượ là bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp ($R$ không đổi).
Tìm điều kiện của $\bigtriangleup ABC$ để $\frac{r}{R}$ lớn nhất.
Bài 5:
Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ có độ danif $5$ và đường chéo $AC, AD$ không vượt quá $\sqrt{3}$. Lấy $2012$ điểm nằm trong ngũ giác.
CMR: Tồn tại một đường tròn có tâm ỏ đỉnh ngũ giác chứa ít nhất 403 điểm.
Bài 6:
Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB=2R$ vẽ tiếp tuyến $Bx$. Trên $Bx$ lấy điểm $P(\neq B)$ đường $PA$ cắt $(O)$ tại $C$. Gọi $D$ đối xứng $C$ qua $O$, $PD$ cắt $(O)$ tại $E$

• CMR: $AE, BC, PO$ đồng quy.
  
• Tìm vị trí $P \in Bx$ để $S_{\bigtriangleup MAB}$ lớn nhất.

Bài 7:
Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn có $G$ và $H$ là trọng tâm, trực tâm $(G \neq H)$.
CMR: $GH // BC$ $\Leftrightarrow $ $tanb+tanC=2tanA$
Bài 8:
Cho $\bigtriangleup ABC$ có $tanA, tanB, tanC$ tạo thành cấp số cộng.
CMR: $Cos(A-C)=2CosB$
Bài 9:
Cho $\bigtriangleup ABC$ có 3 góc $A,B,C$ thõa $sinB.sinC=3sin^2\frac{A}{2}$.
CMR: $\bigtriangleup ABC$ có 3 cạnh lập thành cấp số cộng
Bài 10:
Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB=2R$. Điểm $C$ chạy trên $(O)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $M,N$. Tìm Max của $MN$

Bạn phân tích hết ra sẽ thấy rõ mà!Đây là mũ $4$ chứ không phải mũ $2$ bạn à!

Àh mình nhầm
Nếu đúng thì sẽ như thế này
$\Leftrightarrow (t-1)^4+(t+1)^4=2$
$\Leftrightarrow 2t^4+12t^2+2=2$
$\Leftrightarrow t^2(t^2+6)=0$
$\Leftrightarrow t=0$
$\Leftrightarrow x=5$

Một cách ngắn gọn hơn cho bài 2a.
ĐKXĐ:
$\left\{\begin{matrix}
x-\frac{1}{x}\geq 0\\2x-\frac{5}{x}\geq 0 \\x\neq 0

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
-1\leq x\leq 0,x\geq 1\\ -\frac{\sqrt{10}}{2}\leq x\leq 0,\frac{\sqrt{10}}{2}\leq x
\\ x\neq 0

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow -1\leq x<0,x\geq \frac{\sqrt{10}}{2}$
Pt đã cho tương đương với:
$\frac{4}{x}-x=-\sqrt{x+\frac{1}{x}}+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{x}-x=\frac{-\sqrt{x^3-x}+\sqrt{2x^3-5x}}{x}$

$\Leftrightarrow 4-x^2=\frac{-x^3+x+2x^3-5x}{\sqrt{x^3-x}+\sqrt{2x^3-5x}}$

$\Leftrightarrow 4-x^2=\frac{x^3-4x}{\sqrt{x^3-x}+\sqrt{2x^3-5x}}$

$\Leftrightarrow 4-x^2+\frac{x(4-x^2)}{\sqrt{x^3-x}+\sqrt{2x^3-5x}}=0$

$\Leftrightarrow (4-x^2)(\frac{x}{\sqrt{x^3-x}+\sqrt{2x^3-5x}}+1)=0
$
Với điều kiện của bài toán, biểu thức trong ngoặc luôn dương.
Suy ra:
$4-x^2=0
\Leftrightarrow x=\pm 2$
So sánh với điều kiện, suy ra nghiệm của pt là $x=2$

Câu 4:
$x^2+(m-1)x-6=0(1)$
Vì pt có P=-6<0 nên luôn có 2 nghiệm trái dấu
Ta có:
$(x_{1}^{2}-9)(x_2^2-4)$
$=(x_1-3)(x_2-2)(x_1+3)(x_2+2)$
$=(x_1x_2-2x_1-3x_2+6)(x_1x_2+2x_1+3x_2+6)$
$=(-2S-x_2)(2S+x_2)$
$=-(2S+x_2)^2\leq 0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=\pm 2$ $v$ $x=\pm 3$
Thay các giá trị của $x$ vào (1) ta được các giá trị cần tìm của m là:
m=2 hoặc m=0

bài 2 :$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1$

Điều kiện $x\in D=[2;4]$
Xéc các vector $\overrightarrow { u } (1;1),\overrightarrow { v } (\sqrt{x-2};\sqrt{4-x})$
Suy ra$|\overrightarrow { u }|=\sqrt{2},|\overrightarrow { v }|=\sqrt{x-2+4-x}=\sqrt{2}$
Từ đó suy ra: $|\overrightarrow { u }||\overrightarrow { v }|=2,\overrightarrow { u }.\overrightarrow { v }=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=VP$
Mà ta có $\overrightarrow { u }.\overrightarrow { v }\geq |\overrightarrow { u }||\overrightarrow { v }|$
Nên $2x^2-5x-1\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi $\overrightarrow { u },\overrightarrow { v }$ cùng hướng $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}}{1}=\frac{\sqrt{4-x}}{1}>0$
$\Leftrightarrow x-2=4-x$
$\Leftrightarrow x=3$
Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhát của phương trình đã cho.

$$\sqrt{x+5}=4x^2-4x-3$$
--------------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ:

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

Mình nghĩ bạn nên sửa lại đề và giải như sau:
$x^2-4x-3=\sqrt{x+5}$
$\Leftrightarrow (x-2)^2=\sqrt{x+5}+7(1)$
Đặt $y-2=\sqrt{x+5}\Leftrightarrow (y-2)^2=x+5(2)$
ĐK để phương trình có nghiệm: $\left\{\begin{matrix}
x\geq -5\\ y\geq 2

\end{matrix}\right.$
Thế vào phương trình $(1)$ ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
(x-2)^2=y-2+7\\(y-2)^2=x+5

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x-2)^2=y+5\\(y-2)^2=x+5

\end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế của hệ phương trình ta được:
$(x-2)^2-(y-2)^2=y-x$
$\Leftrightarrow (x-2-y+2)(x-2+y-2)+x-y=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)+x-y=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-3)=0$
TH1: $x=y$
Thay $x=y$ vào pt $(2)$ ta được:
$(x-2)^2=x+5$
$\Leftrightarrow x^2-4x+4=x+5$
$\Leftrightarrow x^2-5x-1=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$(TMĐK) v $ \frac{5-\sqrt{29}}{2}$(KTMĐK)
TH2:$x+y-3=0$
Thay $x=-y+3$ vào pt $(2)$ ta có phương trình:
$(y-2)^2=-y+3+5$
$\Leftrightarrow y^2-4y+4+y-8=0$
$\Leftrightarrow y^2+3y-4=0$
$\Leftrightarrow y=1$(KTMĐK) v $y=-4$(KTMĐK)
Vậy nghiệm của phương trình là: {$S=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$}

$\huge x^4-(2m+1)x^2+m+3=0$

(3 nghiệm > -1, đánh nhầm, mấy bạn thông cảm)

$ x^4-(2m+1)x^2+m+3=0(*)$
Đặt $x^2=t\geq 0$. Ta có phương trình trở thành:
$t^2-(2m+1)t+m+3=0(1)$
Để phương trình có 4 nghiệm thì:
$\left\{\begin{matrix}
\bigtriangleup >0\\ P>0
\\ S>0
\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
m<\frac{7}{4}\\ m>-\frac{1}{2}
\\ m>-3
\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<m<\frac{7}{4}$
Giả sử $t_{1},t_{2}$là 2 nghiệm của phương trình $(1)$ và $x_{1},x_{1}',x_{2},x_{2}'$ là nghiệm của phương trình $(*)$.
Không mất tính tổng quát giả sử $x_{1},x_{1}',x_{2}$ là 3 nghiệm thõa yêu cầu bài toán. Ta có:
$\left\{\begin{matrix}
x_{1}>-1\\x_{1}'>-1
\\x_{2}>-1

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
|x_{1}|<1\\|x_{1}'|<1
\\|x_{2}|<1

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
0<t_{1}<1\\ 0<t_{2}<1

\end{matrix}\right.$
Theo định lí viét. Ta có:
$\left\{\begin{matrix}
0<t_{1}+t_{2}<2\\0<t_{1}t_{2}<1

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
0<2m+1<2\\ 0<m+3<1

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
-\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}\\ -3<m<-2

\end{matrix}\right.$ Hệ vô nghiệm
Vậy không có gt $m$ thõa yêu cầu bài toán

$3^xs+7^y$ luôn chẵn vì $3^x$ và $7^y$ luôn lẻ (tích của một số lẻ với một số lẻ luôn lẻ) nên tổng của chúng chẵn

Tìm số tự nhiên $n$ biết:
Số ước số của $5n$ lớn hơn số ước số của $n$ là $8$ và số ước số của $8n$ lớn hơn số ước số của $n$ là $18$

Nếu a² chia hết cho p ( p nguyên tố ) thì a chia hết cho p.