Đến nội dung

zipienie

zipienie

Đăng ký: 23-06-2011
Offline Đăng nhập: 03-12-2023 - 21:12
***--

#364471 giải phương trình $(2-log_{3}x)log_{9x}3-\frac...

Gửi bởi zipienie trong 24-10-2012 - 16:40

ĐK: $x>0$ và $x\not=\frac{1}{9}$.Biến đổi $\log_{9x}3=\frac{1}{\log_{3}9x}$ và đặt $t=\log_{3}x$ thì phương trình đã cho trở thành:
$$\dfrac{2-\log_{3}x}{\log_{3}9x}-\dfrac{4}{1-log_{3}x}=1$$ hay $$\dfrac{2-t}{1+t}-\dfrac{4}{1-t}=1$$
Đến đây ta quy đồng và ta tìm được $t=\dfrac{7\pm{\sqrt{73}}}{4}$ (chú ý là giá trị âm bị loại) thay $t=\log_{3}x$ ta tìm được $x$


#363229 Giải phương trình: $x^2-10[x]+9=0$

Gửi bởi zipienie trong 20-10-2012 - 14:20

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng $$\begin{cases} 0\leq{x-\dfrac{x^2+9}{10}}<1\\ \dfrac{x^2+9}{10}\in\mathbb{Z}\end{cases}$$
Giải bất phương trình $0\leq{x-\dfrac{x^2+9}{10}}<1$ ta được $1\leq x<5-\sqrt{6}$ hoặc $5+\sqrt{6}<x\leq9$
Vì $[x]\in\mathbb{Z}$ nên ta tìm được các giá trị $[x]={1,2,8,9}$
Với $[x]=1$ thay vào phương trình $x^2+9=10[x]$ ta tìm được $x=1$
Với $x=2$ ta làm tường tự và tìm được $x^2=11\implies x=\sqrt{11}$ nhưng giá trị này không thỏa mãn điều kiện $1\leq x<5-\sqrt{6}$ nên bị loại.
Với $x=8$ và $x=9$ ta làm tương tự như trên và tìm được $x=\sqrt{71}, x=9$
Vậy các nghiệm cần tìm của phương trình là $x=\left \{ 1,\sqrt{71},9 \right \}$.
Bài toán được giải xong. :))


#361411 Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} 7(x^5 + y...

Gửi bởi zipienie trong 13-10-2012 - 15:51

Ý tưởng là ta sẽ đưa hệ phương trình về giải phương trình đẳng cấp, Cụ thể là ta thấy hệ xuất hiện mũ 5 ở phương trình thứ nhất. Trong khi vế trái là bậc 3, mặt khác phương trình thứ hai của hệ có bậc 2 . Vậy ta sẽ nhân chéo phương trình trong hệ
Giải: Từ hệ phương trình ta có $21(x^5+y^5)=31(x^3+y^3)(x^2+xy+y^2)$ hay $10x^5+31x^4y+31x^3y^2+31xy^4+10y^5=0$
Xét thấy $y=0$ không là nghiệm ta chia hai vế phương trình cho $y^5$ ta được
$$10t^5+31t^4+31t^3+31t^2+31t+10=0$$ Ta lại thấy rằng $10-31+31-31+31-10=0$ do vậy $t=-1$ là một nghiệm của phương trình.
Thực hiện phép chia đa thức ta có $(t+1)(10 t^4+21 t^3+10 t^2+21 t+10)=0$
Phương trình $10 t^4+21 t^3+10 t^2+21 t+10=0$ được giải tương tự bằng cách chia hai vế cho $t^2$ từ đó ta tìm hai nghiệm $t=-2$ và $t=\frac{-1}{2}$
Từ đó ta tìm được các nghiệm của hệ như bạn nthoangcute nói.


#361408 Xin giúp đỡ 1 Số vấn Đề số học.

Gửi bởi zipienie trong 13-10-2012 - 15:26

Vấn đề 3: Đề bài chắc có sai sót đó bạn, chắc chắn phải thay $x$ bằng $n$ mới đúng :D
Ta có $$(n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)$$
Mặt khác ta có đánh giá sau:
$$(n^2+3n)^2<(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)<(n^2+3n+1)^2$$
từ đây suy ra $(n^2+3n)<\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}<(n^2+3n+1)$, theo định nghĩa phần nguyên thì ta có $[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)} ]=n^2+3n$
Mặt khác thì tổng bên vế phải được xác định như sau $2(\frac{n(n+1)}{2}+n)=n^2+3n$
Vậy đẳng thức được chứng minh xong. :D


#361294 Tính tích phân: I=$\int_{0}^{\frac{\P...

Gửi bởi zipienie trong 12-10-2012 - 21:10

Ta biến đổi hàm dưới dấu tích phân thành $$\frac{\sin {\frac{x}{2}}}{ \sin {\frac{x}{2}}+ \cos {\frac{x}{2}}}=\frac{\sin {\frac{x}{2}}}{\sqrt{2}\cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}$$
Do đó ta có tích phâm sau: $\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin {\frac{x}{2}}}{\sqrt{2}\cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}dx$
Đặt $t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$ với $x=0$ thì $t=\frac{-\pi}{4}$, với $x=\frac{\pi}{2}$ thì $t=0$ , ta có tích phân sau
$$\int_{-\pi/4}^{0}\frac{\sin (t+\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}\cos t} dt$$
Hay $$\int_{-\pi/4}^{0}\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}dt$$
Đến đây ta dễ dàng tìm được kết quả $I=\frac{\pi}{4}+\ln (\frac{\sqrt{2}}{2})$


#360887 Cách giải hay cho hệ phương trình 3 ẩn.

Gửi bởi zipienie trong 11-10-2012 - 09:28

Bài của bạn temuop có thể làm nhanh gọn như sau:
ĐK: $(x,y,z)\geq{\frac{1}{4}}$. Cộng ba phương trình của hệ lại theo vế tương ứng ta có
$$2(x+y+z)=\sqrt{4z-1} +\sqrt{4y-1}+\sqrt{4x-1}$$
Tiếp tục nhân hai vế của phương trình trên với $2$ ta được
$$4(x+y+z)=2\sqrt{4z-1} +2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4x-1}$$
$$\iff(\sqrt{4x-1}-1)^2+(\sqrt{4y-1}-1)^2+(\sqrt{4z-1}-1)^2=0$$
Từ đó suy ra $$\begin{cases}(\sqrt{4x-1}-1)^2=0\\ (\sqrt{4y-1}-1)^2=0\\ (\sqrt{4z-1}-1)^2=0\end{cases}$$
Vậy nghiệm của hệ là $(x,y,z)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ ( thỏa mãn điều kiện $(x,y,z)\geq{\frac{1}{4}}$)
Còn về câu hỏi''Ai bảo em biết cái kiểu mà nó giả sử Không mất tính tổng quát gọi là gì mới'' thì cách thường dùng với các bài toán có biến là đối xứng nhau,(ví dụ như bài toán trên :D)


#358821 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{xy...

Gửi bởi zipienie trong 04-10-2012 - 17:13

Uh, mình quên mất một nghiệm trước khi chia hai vế. Xin lỗi bạn :D


#358749 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{xy...

Gửi bởi zipienie trong 04-10-2012 - 11:58

Rõ rằng thì $x,y$ phải là các số nguyên dương. Không mất tổng quát ta có thể giả sử $\sqrt{x}\geq\sqrt{y} $ (a) khi đó ta có
$$\frac{2}{\sqrt{x}}\leq\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=1\leq\frac{2}{\sqrt{y}}$$
Khi đó ta có $2\leq\sqrt{x}\leq\sqrt{y}\leq2$ kết hợp với (a) suy ra $x=y=4$ là nghiệm cần tìm.


#358322 Nhóm WoW tuyển thành viên.

Gửi bởi zipienie trong 02-10-2012 - 17:27

Cám ơn bạn Dramons Celliet đã tham gia nhóm của chúng mình, quả thật đây là một niềm khích lệ rất to lớn. Hi vọng trong thời gian tới sẽ có thêm nhiều bạn tham gia để chúng ta có những tài liệu hay, bổ ích tới diễn dàn VMF và tới các bạn học sinh yêu toán. :D


#358084 Old and new inequalities vol 2 (Tiếng Việt)

Gửi bởi zipienie trong 01-10-2012 - 18:06

Đây là sản phẩm đầu tay của nhóm chúng mình, hi vọng trong thời gian tới sẽ có nhiều tài liệu hay hơn tới các bạn.
Kế hoạch tiếp theo đây là cho ra bản dịch '' 1220 bài toán lý thuyết số'' như một sự cảm ơn và món quà nhỏ tới các thành viên trên forum cũng như các bạn yêu toán trên mọi miền của Tổ quốc Việt Nam thân yêu!
Mong được sự đóng góp chân thành và ủng hộ nhiệt tình từ phía các bạn :D
Thân!


#357168 Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Gửi bởi zipienie trong 28-09-2012 - 07:24

Bài toán có thể phát biểu như sau: Tìm các số nguyên dương sao cho $x+y+z=xyz$
Giải: Vì vai trò của $x,y,z $ là tương đương nhau nên ta có thể giả sử $x\geq y\geq z$, khi đó ta có:
$3x\geq x+y+z=xyz \Rightarrow yz\leq3 $
Nếu $z=0$ thì suy ra $x+y=0\Rightarrow x=y=0$ (loại vì $x,y,z$ nguyên dương).
Nếu $z>1$ thì suy ra $x\geq y\geq z>0\Rightarrow yz\leq 3$ nên có ba trường hợp sau:
TH1: $y=z=1$ suy ra $x+2=x$ ( vô nghiệm).
TH2: $y=2$ và $z=1$ khi đó suy ra $x+3=2x\Rightarrow x=3$
TH3: $y=3$ và $z=1$ khi đó suy ra $x+4=3x\Rightarrow x=2<y$ (vô nghiệm)
Vậy phương trình có 6 nghiệm là : $(x,y,z)=(3,2,1)$ và các hoán vị của nó.


#357107 $C_2^2 + C_3^2 +......+ C_n^2$

Gửi bởi zipienie trong 27-09-2012 - 22:02

Ta có $C^2_k=\frac{k!}{2(k-2)!}=\frac{k(k-1}{2}=\frac{k^2-k}{2}$. Vậy tổng đã cho có thể viết lại thành
$$\sum_{k=2}^{n}\frac{k^2-k}{2}=\frac{(2^2+3^2+...+n^2)-(2+3+...+n)}{2}$$
Áp dụng công thức $1+2^2+..+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ và $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ thì tổng trên trở thành
$$\sum_{k=2}^{n}\frac{k^2-k}{2}=\frac{n(n^2-1)}{6}$$


#357013 Bản dịch ''1220 Number Theory Problems'' của Mathlinks.ro

Gửi bởi zipienie trong 27-09-2012 - 17:54

Hiện giờ đã có ba người đăng kí tham gia, mình muốn mời thêm khoảng hai người nữa. :D
Theo mình đây là một việc nên làm vì qua đây chúng ta cũng sẽ bổ xung được trình độ tiếng anh của mình, khi đó cũng sẽ tư tin hơn khi đọc các tài liệu toán bằng tiếng anh hay tham gia các diễn đàn như Mathlinks.ro. Các bạn hãy mạnh dạn nên nào! :)
Mình định hoàn thành tài liệu này trước dịp tết nguyên đán, đây cũng có thể coi là một món quà đầu xuân mới giúp cho các bạn yêu toán có thêm một tài liệu học tập thật bổ ích.
Mong các bạn ủng hộ mình!
Thân !


#356750 Bản dịch ''1220 Number Theory Problems'' của Mathlinks.ro

Gửi bởi zipienie trong 26-09-2012 - 14:54

Cảm ơn bạn Ngô Quốc Anh , mình sẽ cố gắng nhưng trước hết thì mình muốn dịch phần đề bài trước.

Theo mình các bạn không được dịch cũng không được làm gì với quyển này, vì làm như vậy sẽ vi phạm bản quyền tác giả, phải hỏi ý kiến của anh $AHP$ trước đã rồi làm gì thì làm!

Tại sao lại không ? Bản thân Mod bên Mathlinks,ro đã cho file tex rồi mà !


#356737 Bản dịch ''1220 Number Theory Problems'' của Mathlinks.ro

Gửi bởi zipienie trong 26-09-2012 - 11:41

Các bạn thân mến, hiện nay mình đang bắt tay vào việc dịch bản '' 1220 Number Theory Problems" của Mathlinks.ro .Với mong muốn cung cấp một tài liệu để giúp các bạn trong các kì thi HSG và cũng vì tất cả mọi người, những ai quan tâm đến toán học .

Hiện mình đã dịch được một số lượng tương đối các bài toán trong bản ebook này, nhưng vì số lượng bài khá nhiều, nếu một người dịch sẽ gặp nhiều khó khăn. Mình mọng muốn các bạn cùng mình tham gia dịch bản ebook này, tuy số lượng bài nhiều nhưng đề bài thì lại rất ngắn ( thường thì không quá 3 dòng). Hơn nữa mình cũng đã có file tex của bản ebook này nên công việc dịch đã bớt đi nhiều.
Rất mong muốn các bạn tham gia cùng mình trong công việc dịch bản Ebook này, đặc biệt là các bạn đang làm chuyên đề Số Học của diễn đàn.
Các bạn hãy liên hệ với mình qua hộp tin nhắn riêng hoặc qua địa chỉ yahoo [email protected]
Thân!

File gửi kèm






  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: zipienie