lovemath123

$\small \angle ANB=90^{\circ}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;$\small \frac{AB}{2}$) hay $\small AN \perp IB$
$\small \Delta IAB$ có đường cao $\small IH\bigcap AN = {H}$
$\small \Rightarrow$ H là trực tâm nên BH $\small \perp$ IA
có $\small BM \perp IA$
$\small \Rightarrow$ 3 điểm B,H,M thẳng hàng

phần c lun nhé
$\small \angle DCN$ nội tiếp (O) chắn cung DN
$\small \angle KND$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung DN
$\small \Rightarrow$ $\small \angle DCN= \angle KND$
có $\small DN\perp CD$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
nên $\small \angle DKN + \angle KND= 90^{\circ}$
mà $\small \angle DCN= \angle KND$ (cmt)
$\small \Rightarrow \angle NKC + \angle KCN = 90^{\circ}$
nên $\small NK\perp CB$
hay NK là tiếp tuyến (O)

Phần b tiếp lun
có $\small DN\parallel AO$ nên $\small \angle DNA=\angle OAN$ (so le trong)
$\small \Delta AON$ cân tại O $\small \Rightarrow \angle OAN=\angle ANO$
nên $\small \angle AND= \angle ANO$ hay NH là p/g

$\small \angle BMC = 90 ^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)
$\small \Rightarrow \angle DMB=90^{\circ}$
xét tứ giác ABMD có $\small \angle DAB + \angle DMB =180^{\circ}$
nên tứ giác ABMD nội tiếp

c, kẻ BC $\cap$ AO = { H }
tứ giác AMON nội tiếp (cmt) => $\angle MAO = \angle MNO$
mà $\angle MNO = \angle NMO$ ( $\small \Delta MON$ cân tại O)
=> $\angle MAO = \angle NMO$
$\angle MAO = \angle OBH$ ( cùng phụ $\angle ABH$ )
=> $\angle IMO = \angle IBO$ nên tứ giác IMBO nội tiếp
=> $\angle MBO + \angle MIO = 180^{\circ}$ mà $\angle MBO = 90^{\circ}$
nên $\angle MIO = 90^{\circ}$ hay OI vuông góc với MN (đpcm)

Lấy I đối xứng với D qua AB
Xét $\vartriangle DQH$ có $\angle QDH+\angle DQH=90^{\circ}$
mà $\angle QDH=\angle HID+\angle IDQ \Rightarrow \angle HID+\angle IDQ=90^{\circ}$
$\Rightarrow \vartriangle IHD$ vuông tại H hay 3 điểm I,H,D thẳng hàng mà I đx với D qua AB, AB cố định, D cố định nên I cố định $\Rightarrow$ NH đi qua điểm I cố định đx xứng D qua AB khi M di động trên AD

Lấy Q là giao của AD và NH nữa nhé

Câu 2 hôm đấy cô thuý cho làm nhưng chưa chứng minh ra còn câu 3 thì cô hưóng dẫn thế tớ làm vắn tắt có chỗ nào sai bạn sửa nhé.

Tam giác ABC nhọn. 3 đường cao AD,BE,CF và H là trực tâm. Qua A kẻ đường thẳng //BE cắt CF tại P. Qua A kẻ đường thẳng //CF cắt BE tại Q.
Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC.
CM: $PQ \bot AM$