MIM

$\left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0&&\\4x^2+2y+2\sqrt{3-4x}=7&&\end{matrix}\right.$

Đầu tiên, mình có góp ý là bạn nên đưa ra yêu cầu của bài toán...

Lời giải:

ĐKXĐ:$\left\{\begin{matrix} x\leq \frac{3}{4}&&\\y\leq \frac{5}{2}&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0(1)&&\\4x^2+2y+2\sqrt{3-4x}=7(2)&&\end{matrix}\right.$

Đặt $2x=a,\sqrt{5-2y}=b,$ từ $PT(1)$ ta có:

$\frac{a}{2}.(a^2+1)+b(\frac{5-b^2}{2}-3)=0$

$\Leftrightarrow a^3-b^2+a-b=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$

$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}$

$\Leftrightarrow y=\frac{5-4x^2}{2}$

Thế vào $PT(2)$ ta có:


$4x^2+5-4x^2+2\sqrt{3-4x}=7\Leftrightarrow \sqrt{3-4x}=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=2$

Vậy $\boxed{(x;y)=(\frac{1}{2};2)}$

Giải hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} x(x^2+1)+xy(2x-3y)+y(x-2)=2y^2(1+5y)(1) & & \\ (x^2+17y+12)^2=4(x+y+7)(x^2 +3x+8y+5)(2) & & \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta có: $(1)\Leftrightarrow x^3+x+2x^2y-3xy^2+xy-2y-2y^2-10y^3=0$

$\Leftrightarrow x^3+2x^2y-3xy^2-10y^3+xy-2y^2+x-2y=0$

$\Leftrightarrow x^3-2x^2y+4x^2y-8xy^2+5xy^2-10y^3+xy-2y^2+x-2y=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2y)+4xy(x-2y)+5y^2(x-2y)+y(x-2y)+(x-2y)=0$

$\Leftrightarrow (x-2y)(x^2+4xy+5y^2+y+1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2y\\x^2+4xy+5y^2+y+1=0\\ \end{array} \right.$

Mặc khác, ta có $x^2+4xy+5y^2+y+1=x^2+4xy+4y^2+y^2+y+1$

$=(x+2y)^2+(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên $x=2y$


Với $x=2y,$ thế vào $(2)$:

$(4y^2+17y+12)^2=4(3y+7)(4y^2+14y+5)$

Đặt $u=3y+7, v=4y^2+14y+5.$ Để ý rằng:

$(3y+7)+(4y^2+14y+5)=)4y^2+17y+12$

Do đó ta có: $(u+v)^2=4uv$

Mặc khác, theo BĐT Cauchy ta có $(u+v)^2\geq 4uv,$ dấu $"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow 3y+7=4y^2+14y+5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=\frac{-11+3\sqrt{17}}{8}\\y=\frac{-11-3\sqrt{17}}{8}\\ \end{array} \right.$

Mặc khác, $x=2y$ nên $\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{matrix} x=\frac{-11+3\sqrt{17}}{4} & & \\ y=\frac{-11+3\sqrt{17}}{8} & & \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x=\frac{-11-3\sqrt{17}}{4} & & \\ y=\frac{-11-3\sqrt{17}}{8} & & \end{matrix}\right.\\ \end{array} \right.$

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix}x+\frac{y}{x+\sqrt{1+x^2}}+y^2=0 & \\ \frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{1+x^2}+y^2=3 & \end{matrix}\right.$

Lời giải:


$\left\{\begin{matrix}x+\frac{y}{x+\sqrt{1+x^2}}+y^2=0 (1)& \\ \frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{1+x^2}+y^2=3(2) & \end{matrix}\right.$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow x+y^2+y(\sqrt{x^2+1}-x)=0$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm, chia hai vế cho $y$ ta được:

$\frac{x}{y}+y+\sqrt{x^2+1}-x=0$

$(2)\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+y)^2+2(\sqrt{x^2+1}-x)=3$

Tới đây đặt ẩn phụ là OK

Giải phương trình: $(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x^2\geq \frac{1}{2}$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=t,t\geq,$ PT trở thành:

$-2t^2+(3x+1).t-x^2-\frac{3x}{2}+1=0$

Phương trình bậc $2$ ẩn $t$ này có $\bigtriangleup =(x-3)^2\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t=\frac{x}{2}+1\\
t=x-\frac{1}{2} \\
\end{array} \right.$

Với $t=\frac{x}{2}+1\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-1}=\frac{x}{2}+1\Leftrightarrow x=\frac{2\pm 2\sqrt{15}}{7}$

Với $t=x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-1}=x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$

Thử lại, kết luận nghiệm của PT là $\boxed{S={\frac{2+2\sqrt{15}}{7};\frac{2-2\sqrt{15}}{7};\frac{\sqrt{6}-1}{2}}}$

tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức: \[{x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\]

Lời giải:

$x^2+xy+y^2=x^2y^2\Leftrightarrow 4(x^2+xy+y^2)=4x^2y^2$

$\Leftrightarrow (2x+y)^2=(4x^2-3)y^2$

Nếu $y=0\Leftrightarrow x=0$

Nếu $y\neq 0,$ đặt $4x^2-3=k^2\Leftrightarrow (2x-k)(2x+k)=3=(-1).(-3)=1.3$

Tới đây giải $2$ cái hệ là xong

Bài 38. Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$.

Lời giải:

Do $p,q,r$ là số nguyên tố nên $r>max(p,q)$

Do vai trò giữa $p$ và $q$ bình đẳng nên có thể giả sử rằng $p\leq q< r$.

$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)(1)$

$\Leftrightarrow p(p+1)=(r-q)(r+q+1)(2)$

Do $p\leq q<r \Rightarrow p+1<r+p+1. $

Từ $(2)$ ta có: $r-q<p.$ Do $p$ là số nguyên tố nên từ $r-q<p\Rightarrow (p,r-q)=1.$

Kết hợp với $(2)$ ta có:

$(r+q+1)\vdots p$ và $(p+1)\vdots (r-p)$, cũng từ $(2)$ ta có:

$r+q+1=kp \wedge p+1=k(r-q),k$ dương.$(\ast )$

Xét 2 khả năng sau:

$1)$ Nếu $p=2$, từ $p+1=k(r-q)\Rightarrow k(r-q)=3$
$\Rightarrow k=1\vee k=3$

$\cdot$ Nếu $k=1$ ta có $r-q=p+1>p$, điều này mâu thuẫn với $r-q<p$. Vậy $k$ không thể bằng $1$

$\cdot$ Nếu $k=3,$ ta có $r+q+1=6 \wedge 3=3(r-q)$

$\Leftrightarrow r=3\wedge q=2$

Vậy trong trường hợp này, ta có $p=2,q=2,r=3$


$2)$ Nếu $p>2$. Do $p\leq q< r$ và $p,q,r$ là số nguyên tố nên $p,q,r$ là số nguyên lẻ nên $k$ lẻ. Đặt $k=2m+1$. Thay vào $(\ast )$ trên ta có:

$r+q+1=(2m+1)p (3)\wedge p+1=(2m+1)(r-q)(4)$

Từ $(4)$ ta có $p=(2m+1)(r-q)-1.$ Thay vào $(3)$:

$q=-r-1+(2m+1)[(2m+1)(r-q)-1]$

$=-r-1+(4m^2+4m+1)(r-q)-2m-1$

$=-r-1+4m^2r-4m^2q+4mr-4mq+r-q-2m-1$

$=2m^2r-2m^2q+2mr-2mq-m-1$

$=2mr(m+1)-2mq(m+1)-(m+1)$

$=(m+1)(2mr-2mq-1)(5)$

Vì $q$ là số nguyên tố và $m+1>1$ nên từ $(5)$ ta có:

$2mr-2mq-1=1\Rightarrow m(r-q)=1\Rightarrow m=1\wedge r-q=1\Rightarrow m=1\wedge r=1+q(6)$

Do $r,q$ là các số nguyên tố lẻ nên từ $(6)$ suy ra vô lí. Trường hợp
này loại.

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm nguyên tố duy nhất :$p=q=2,r-3$

Giải phương trình :
$4x^{2}-4x-10=\sqrt{8x^{2}-6x-10}$

Lời giải:

Cách 1:


$4x^{2}-4x-10=\sqrt{8x^{2}-6x-10}$

$\Rightarrow (4x^2-4x-10)^2=8^2-6x-10$

$\Rightarrow (4x^2-4x-10)^2=4(2x^2-2x-5)+2x+10$

$\Rightarrow (4x^2-4x-10)^2-4(2x^2-2x-5)-10=2x$

Đặt $2x^2-2x-5=t,$ ta có: $4t^2-4t-10=2x,$ từ đó có hệ đối xứng: $\left\{\begin{array}{l}4x^2-4x-10=2t \\4t^2-4t-10=2x \end{array}\right.$

Từ hệ này dễ dàng tìm được lời giải cho bài toán.

Cách 2:
$4x^{2}-4x-10=\sqrt{8x^{2}-6x-10}$

$\Leftrightarrow 4x^2-4x-10=\sqrt{4x^2-4x-10+4x^2-2x}$

Đặt $t=4x^2-4x-10,$ ta có $t=\sqrt{t+4x^2-2x}$

$\Leftrightarrow t^2-y=4x^2-2x\Leftrightarrow t^2-2.\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}=4x^2-2.2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (t-\frac{1}{2})^2=(2x-\frac{1}{2})^2.$

Tới đây bài toán xem như xong $\square $


Tổng quát cho dạng này: $A=\sqrt{k.A+B^2-k.B}$

$$\Leftrightarrow A^2-k.A=B^2-k.B$$

$$\Leftrightarrow A^2-2.A.\frac{k}{2}+\frac{k^2}{4}=B^2-2.B.\frac{k}{2}+\frac{k^2}{4}$$

$$\Leftrightarrow (A-\frac{k}{2})^2=(B-\frac{k}{2})^2$$

Cho tam giác ABC cân tại A có phân giác AD và đường cao CH lần lượt có pt là x-y=0 và x+2y+3=0. Điểm M(0,-1) là trung điểm của AC. Tìm toạ độ điểm B

Lời giải:



Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD, khi đó N là trung điểm AB.
Gọi O là giao điểm của AD và MN

Đường thẳng MN vuông góc với AD và đi qua $M(0;-1)$ nên có PT là: $x+y+1=0$

Tọa độ $O$ là nghiệm của $x+y+1=0\vee x-y=0\Rightarrow O(\frac{-1}{2};\frac{-1}{2}) \Rightarrow N(-1;0)$

Ta có $C\in x+2y+3=0\Rightarrow C(-3-2y_C;y_C)$ mà $M$ là trung điểm $AC$ nên $A(3+2y_C;-2-y_C)$, mặc khác, N là trung điểm $AB$ nên $B(-5-2y_C;2-y_C).$

Khi đó: $\overrightarrow{BC}(2;2y_C-2)$

Mặc khác, $\overrightarrow{MN}(-1;1)\Rightarrow MN=\sqrt{2}$

Tuy nhiên, $MN$ là đường trung bình nên $MN=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=2\sqrt{2}$

$\Rightarrow 4+(2y_C-2)^2=8\Rightarrow y_C=2(*)\vee y_C=\frac{1}{2}(**)$

$TH(*):y_C=2\Rightarrow B(-9;0)$

$TH(**):y_c=\frac{1}{2}\Rightarrow B(-6;\frac{3}{2})...\square $

Giải bất phương trình sau:
$\sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{14+x}\geq 2$

Lời giải:

Đặt $\sqrt[3]{12-x}=a\Rightarrow x=12-a^3,$ khi đó ta có:

$a+\sqrt[3]{26-a^3}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt[3]{26-u^3}\geq 2-a$

$\Leftrightarrow 6a^2-12a-18\leq 0\Leftrightarrow -1\leq a\leq 3$

$\Leftrightarrow -15\leq x\leq 13$

Bài 57 $\left\{\begin{matrix}\frac{x(y^{2}+1)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{3}{5} & \\ \frac{y(x^{2}-1)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{4}{5} & \end{matrix}\right.$

Lời giải:


$ĐK: xy\neq 0;x^2\neq 1$

$\left\{\begin{matrix}\frac{x(y^{2}+1)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{3}{5} & \\ \frac{y(x^{2}-1)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{4}{5} & \end{matrix}\right.\Rightarrow [\frac{x(y^2+1)}{x^2+y^2}]^2+[\frac{y(x^2-1)}{x^2+y^2}]^2=1$

$\Leftrightarrow x^4y^2+x^2y^2+x^2+y^2=(x^2+y^2)^2$

$\Leftrightarrow (x^2y^2-x^2-y^2+1)(x^2+y^0)$

$\Leftrightarrow (x^2-1)(y^2-1)=0$

$\Leftrightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=1\vee y=-1$

Với $y=1$ ta có $x=3$

Với $y=-1$ ta có $x=\frac{1}{3}$
Vậy: $\boxed{(x;y)=(3;1);(\frac{1}{3};-1)}$

Cho x,y,z dương thoả mãn:$2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$.Tìm min:
$\frac{3yz}{x}+\frac{4xz}{y}+\frac{5xy}{z}$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[P = \frac{{3yz}}{x} + \frac{{4xz}}{y} + \frac{{5xy}}{z} = \left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{2zx}}{y}} \right) + \left( {\frac{{4xy}}{z} + \frac{{2yz}}{x} + \frac{{2zx}}{y}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{zx}}{y}} \right) + 2\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right) \ge 4\left( {\sqrt {xz} + 2\sqrt {xy} } \right) = 4\]
Vậy $\min P = 4$

Chứng minh:
$4.cos36^{\circ}+cot7^{\circ}{30}'=\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}$

Lời giải

Ta có: $sin54^{\circ}=cos36^{\circ}$
$\Leftrightarrow 3sin18^{\circ}-4sin^318^{\circ}+2sin^218^{\circ}-1=0$
$\Leftrightarrow 4sin^218^{\circ}-2sin^218^{\circ}-3sin18^{\circ}+1=0$
$(sin18^{\circ}-1)(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1)=0$
$\Leftrightarrow sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}($ Do $0<sin18^{\circ}<1)$
$\Rightarrow cos36^{\circ}=1-2sin^218^{\circ}=1-2.\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{16}$
$\Rightarrow 4cos36^{\circ}=\sqrt{5}+1$

Mặc khác,
$tan15^{\circ}=\sqrt{\frac{1-cos30^{\circ}}{1+cos30^{\circ}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
$=2-\sqrt{3}$
$\Rightarrow cot15^{\circ}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

Áp dụng công thức $cot\alpha =cot2\alpha +\sqrt{1+cot^22\alpha }(*)$ với $0<\alpha <\frac{\pi}{4}$ ta có:
$cot7^{\circ}30'=cot15^{\circ}+\sqrt{1+cot^215^{\circ}}$
$=2+\sqrt{3}+\sqrt{1+(2+\sqrt{3})^2}$
$=2+\sqrt{3}+\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2}$
$=2+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{6}$

Vậy $4.cos36^{\circ}+cot7^{\circ}{30}'=\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}$

...............

Chứng minh $(*)$:

$cot\alpha +\sqrt{1+cot^2\alpha }$
$=\frac{cos\alpha }{sin\alpha }+\frac{1}{sin\alpha }$
$=\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }$
$=\frac{2cos^2\frac{\alpha }{2}}{2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}}$
$=cot\frac{\alpha }{2}$

Thông báo:

Tối nay, vào lúc 9h30 hội chúng ta sẽ họp
Mọi người liên hệ qua nick yahoo art_15_08 để vào họp nhé!

Sad angel