Mai Duc Khai

Ta có : Sử dụng bổ đề $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Áp dụng ta có
$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+c^2a^2+a^2c^2\geq abbc+bcca+caac=abc(a+b+c)$

BĐT tổng quÁt đã được nêu ra ở đây http://diendantoanho...showtopic=63996 (BĐT 8)

Ta cũng có thể chứng minh bằng cÁch khÁc:
Ta có:


${a^4} + {b^4} \ge 2{{\rm{a}}^2}{b^2}$
${c^4} + {b^4} \ge 2{c^2}{b^2}$
${a^4} + {c^4} \ge 2{{\rm{a}}^2}{c^2}$
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên:

$\Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 2{{\rm{a}}^2}{b^2} + 2{c^2}{b^2} + 2{{\rm{a}}^2}{c^2}$
Mặt khÁc ta lại có:


${{\rm{a}}^2}{b^2} + {c^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{{\rm{a}}^2}{b^2}.{c^2}{b^2}} = 2{\rm{a}}{b^2}c $
${{\rm{a}}^2}{b^2} + {{\rm{a}}^2}{c^2} \ge 2\sqrt {{{\rm{a}}^2}{b^2}.{c^2}{a^2}} = 2{{\rm{a}}^2}bc $
${{\rm{a}}^2}{c^2} + {c^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{{\rm{a}}^2}{c^2}.{c^2}{b^2}} = 2{\rm{a}}b{c^2}$
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên ta được:
$2{{\rm{a}}^2}{b^2} + 2{c^2}{b^2} + 2{{\rm{a}}^2}{c^2}\ge 2{\rm{a}}{b^2}c + 2{{\rm{a}}^2}bc + 2{\rm{a}}b{c^2}$

$\Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 2{\rm{a}}{b^2}c + 2{{\rm{a}}^2}bc + 2{\rm{a}}b{c^2} = 2{\rm{a}}bc\left( {a + b + c} \right)$

$\Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge abc\left( {a + b + c} \right)$

. Chia cả tử và mẫu cho ${\sqrt x }$ ta có:

Q=$\frac{{2\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}$=$\frac{2}{{\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 1}}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{2}{{\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 1}} \le \frac{2}{{2 - 1}} = 2$
Ta lại có:


$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2$

$\Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 1 \ge 2 - 1 = 1$
Do mẫu luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên suy ra $Q \le 2$ và Q>0





$\Rightarrow 0 < Q \le 2$
Đến đây ta xét 2 trường hợp:

1 là Q=1$ \Rightarrow x = \frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2}$


2 là Q=2$\Rightarrow$tự tính ( Mình nghĩ bài này là bài rút gọn biểu thức đầu tiên là có ĐKXĐ là $x \ne 1$ nên chỉ xảy ra trường hợp 1--theo ý nghĩ)

Giải
\[\left\{ \begin{gathered} y^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 0 \\z^3 - 9y^2 + 27y - 27 = 0 \\x^3 - 9z^2 + 27z - 27 = 0 \end{gathered} \right.\]

Cho $b > a > 0$ và $2{{\rm{a}}^2} + 2{b^2} = 5{\rm{a}}b$.TÍnh $\dfrac{{a + b}}{{a - b}}$

Cho a,b,c là các số dương số dương và a+b+c=1
Chứng minh:
$\dfrac{{19{b^3} - {a^3}}}{{ba + 5{b^2}}} + \dfrac{{19{c^3} - {b^3}}}{{cb + 5{c^2}}} + \dfrac{{19{a^3} - {c^3}}}{{ca + 5{a^2}}} \le 3$

Vậy mình sai rồi, đang vắt óc ra để nghĩ đây!!

Anh viết tiếp đi

Không biết là mình cũng có một số bộ sách viết về pt vô tỉ! Ko biết có viết được ko?

\[\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - n + \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} = \sqrt {n + 2} - n\]

Cho em hỏi anh Hân là khi anh trục căn thức ở mẫu thì $\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n}+ \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $ chứ.
Nếu mà làm đúng thì phải là:
$\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n}+ \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $$ = \sqrt {n + 2} - \sqrt n < \dfrac{1}{{50}} \Leftrightarrow n + 2 < \dfrac{1}{{25}}\sqrt n + n + \dfrac{1}{{2500}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{4999}}{{2500}} < \dfrac{1}{{25}}\sqrt n$ $\Leftrightarrow \dfrac{{4999}}{{100}} < \sqrt n \Leftrightarrow 2499,0001 < n$
Theo đề bài thì n nguyên dương nhỏ nhất: $\Rightarrow n = 2500$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $xy$ biết x;y là nghiệm của phương trình:
$${x^4} + {y^4} - 3 = xy(1 - 2xy)$$

BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder

Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} + \dfrac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} \ge \dfrac{{3axm}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)}}}}$

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với $(b;y;n)$ và $(c;z;p)$ rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Đặt ${a_n} = \sqrt {6 + \sqrt {6 + \sqrt 6 + ....} }$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{a_1} = \sqrt 6 < 3 \\
{a_2} = \sqrt {6 + {a_1}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
{a_3} = \sqrt {6 + {a_2}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
........ \\
{a_n} = \sqrt {6 + {a_{n - 1}}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
\end{array}$
Hiển nhiên
${a_{100}} > \sqrt 6 > 2$
Như vậy : $2 < {a_{100}} < 3$
do đó ${a_n} = x=3$
Đây là bài trích trong Toán nâng cao và phát triển toán 9. (Tập 1)

Theo ý kiến cá nhân của mình thì có lẽ cái đề bài mà bạn đưa có đôi chút vấn đề. Mình xin được sửa lại như sau (thay $-3012$ bằng $+3012$ và $x-2009$ bằng $y-2009$) :
$$\sqrt {x - 2008} + \sqrt {y - 2009} + \sqrt {z - 2010} + 3012 = \dfrac{1}{2}(x + y + z)$$
Và đây là lời giải của mình:
Điều kiện xác định: $x\ge 2008, y\ge 2009, z\ge 2010$.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
$x+y+z-6024-2\sqrt {x - 2008} -2 \sqrt {y - 2009} -2 \sqrt {z - 2010}=0$
$\Leftrightarrow (x-2008-2\sqrt{x-2008}+1)+(y-2009-2\sqrt{y-2009}+1)+(z-2010-2\sqrt{z-2010}+1)=0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-2008} -1\right )^{2}+\left ( \sqrt{y-2009} -1\right )^{2}+\left ( \sqrt{z-2010} -1\right )^{2}=0$
$\Leftrightarrow x=2009,y=2010,z=2011$
Vậy có duy nhất bộ 3 số $(x,y,z)$ thoả mãn điều kiện đề bài là $(2009,2010,2011)$.

Nhận xét: từ lời giải trên, ta thấy nếu giữ nguyên đề bài cũ là -3012 thì không có bộ số $(x,y,z)$ thoả mãn điều kiện đề bài, bởi vì vế trái luôn luôn nhỏ hơn vế phải.

Cảm ơn bạn nha! Chắc mình nhầm đề__ Do là ghi lại của cô giáo! Thanks nhiều!

Chứng minh rằng có duy nhất 3 số thực (x;y;x) thỏa mãn:
$\sqrt {x - 2008} + \sqrt {x - 2009} + \sqrt {z - 2010} + 3012 = \dfrac{1}{2}(x + y + z)$

Giải các phương trình vô tỉ sau:

$a,\sqrt {x + {x^2}} + \sqrt {x - {x^2}} = x + 1$

$b,\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + \sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } = 5$

$c,\sqrt {x + 2 + 3\sqrt {2x - 5} } + \sqrt {x - 2 - \sqrt {2x - 5} } = 2\sqrt 2$

$d,\sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {{x^2} + 8} = 4$

$e,\sqrt {2x + 4 - 2\sqrt {2 - x} } = \dfrac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$

$f,\sqrt {{x^2} - \dfrac{1}{4}\sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} } = \dfrac{1}{2}\left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)$

$g,\dfrac{{3x}}{{\sqrt {3x + 10} }} = \sqrt {3x + 1} - 1$

$h,\sqrt {4{x^2} + 5x + 1} + 3 = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} + 9x$

$i,\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} = {x^2} - 6x + 13$

$k,\sqrt {2x + \sqrt {x + 1} + 1} + \sqrt {2x - \sqrt {x + 1} } = 2\sqrt {x + 1} + 1$

$l,\sqrt {5{x^3} + 3{x^2} + 3x - 2} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - \dfrac{1}{2}$