tranhydong

Bài 1: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O), vẽ đường cao CD, H là trực tâm, OC cắt AB tại E, M trung điểm EC. CMR MD đi qua trung điểm OH

1/ giải :$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2c+b+a}\geq \frac{4}{2(a+2b+c)}$ ( Cauchy swartz)
Chứng minh tương tự cộng lại có đpcm

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D , đường cao AH lấy M là trung điểm AH , DM cắt (O) tại T,chung minh TD là phân giác góc BTC

Giải :
Vẽ đường tròn (O) ngoai tiếp $\Delta ABC$
AD cắt (O) tại G
Ta có : $\angle BEG=\angle BAE+\angle ABE=\angle FBC+\angle CBG=\angle FBG$ ( gt)
Xét $\Delta GBE$ và $\Delta GFB$ có :
$\angle BEG=\angle FBG$ ( cmt )
$\angle BGE$ chung
$\Rightarrow \Delta GBE \sim \Delta GFB$
$\Rightarrow \frac{GB}{GF}=\frac{GE}{GB}\Rightarrow GB^{2}=GE.GF$
Mà GB=GC ( G là điểm chính giữa cung BC )
$\Rightarrow GC^{2}=GE.GF$
$\Rightarrow \frac{GC}{GF}=\frac{GE}{GC}$(1)
$\angle EGC$ chung
$\Rightarrow \Delta CGF\sim \Delta GEC$
$\Rightarrow \angle FCG=\angle CEG$
$\Leftrightarrow \angle EAC+\angle ECA=\angle BCG+\angle FCB$
Mà $\angle EAC=\angle BCG$
=> đpcm

Lời giải mới Tuy chưa hoàn chỉnh. Không có hình vẽ.
D-B=44.6h
E=3.5
F=0
S=13.9

Giải :
Gọi a là giá trị của biểu thức a , khi đó PT sau phải có nghiệm :
$a=x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}$
$\Leftrightarrow$$a-x=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}$ (1)
Với $a\geq x> 0$ , thì (1) tương đương với :
$(a-x)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x}$
$\Leftrightarrow$$2ax^{2}-a^{2}x+1=0$ (2)
Vì a khác 0 nên a là phương trình bậc 2 ,
$\Delta =a^{4}-8a \geq 0$
$\Leftrightarrow$$a(a^{3}-8)\geq 0$
Mà $a> 0$ $\Rightarrow$$a\geq 2$
Dấu ''='' xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$
Min A = 2 khi $x=\frac{1}{2}$
Mod: $\LaTeX$ cẩn thận hơn bạn nhé.

Em xin giải như sau (cách giống lớp 8 )
Kẻ đường cao DH của tam giác ADM cắt AB tại S
Kẻ đường trung trực của đoạn AD cắt DH tại G
Dễ có $\angle SAH =\angle ADH=15$ ( cùng phụ góc DAS )
Mà AD=AB và $\Delta DGA$ cân , $\Delta BMA$
=>$\Delta DGA=\Delta BMA$
Từ đây dễ C\m được $\Delta GMA$ đều
Từ đó DM=DA=BC => $\Delta BCM$ đều
Mặt khác $\angle ADM = 2\angle ADG=30$
=>$\angle CDM=60$
=> đpcm

Giải như sau : Gọi S là trung điểm AB , T trung điểm CH
Ta có : $SE=SD$ => $S$ thuộc trung trực của ED
$TE=TD$ => T thuộc trung trực của ED
=> ST vuông cới ED
Mà ED song song với CM ( cmt )
=> Đpcm

Giải : $36(a^{2}+11a+30)(a^{2}+11a+31)=(a^{2}+11a+12)(a^{2}+9a+20)(a^{2}+13a+42)$
<=> $36(a+5)(a+6)(a^{2}+11a+31)=(a^{2}+11a+12)(a+4)(a+5)(a+6)(a+7)$ (1)
Với $a=-5 , a=-6$ ta thấy thỏa phương trình => $a=-5 , a=-6$ là nghiệm của phương trình
Xét $a\neq -5 , a\neq -6$
Chia cả 2 vế cho $(a+5)(a+6)$
(1) <=> $36(a^{2}+11a+31)=(a^{2}+11a+12)(a^{2}+11a+28)$
Đặt $a^{2}+11a = x$
(1) trở thành :
$36(x+31)=(x+12)(x+28)$
<=>$x^{2}+4x-780 = 0$
<=>$(x-26)(x+30)=0$
<=> $x-26 =0$ hoặc $x+30 =0$
<=>$a^{2}+11a-26=0$ hoặc $a^{2}+11a+30=0$
<=>$(a+13)(a-2) = 0$ hoặc $(a+5)(a+6)=0$
<=> $a=-13, a=2, a= -5 , a=-6$
<=>$a= -13 , a=2$ Do 2 nghiệm kia không thỏa điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là : $a=-13, a=2, a= -5 , a=-6$

D-B=24.4
E=10
F=0
S=53.6

Đề đúng là chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số
Giải :
Xét A=$a+b+c+d+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$
<=> A =$a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1))$
=> A chia hết cho 2
Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2(a^{2}+b^{2})$ chia hết cho 2
=> a+b+c+d chia hết cho 2
Mà a+b+c+d $\geq$4
=> đpcm

Các trường hơp cắt nhau hay song song đều đúng
Không biết có trùng không nhỉ chứ mình nghỉ cái này liên quan tới Cê-va hay Meneleuyt gì thôi
chứ không gọi là định lý mới được

Giải :
$pt\Leftrightarrow (x-7)[1-(x-7)^{10}]=0$
$\Leftrightarrow (x-7)[1-(x-7)^{5}][1+(x-7)^{5}]=0$
$\Leftrightarrow x=7$ hoặc $(x-7)^{5}=1$ hoặc$(x-7)^{5}=-1$
$\Leftrightarrow x=7$ hoặc $x=8$ hoặc $x=6$
Vậy tập nghiệm của PT là $S={7,8,6}$
P\s : Không biết có gài gì không

D-B=6.5h
E=10
F=0
S=71.5

2/a ĐKXĐ : $x\geq 0$
Đăt : $\sqrt{x}=a$
$\sqrt{x+2}=b$
Ta có : $b^{2}-a^{2}=2$
và$a-\frac{4}{b}+b=0$
Từ đây dễ tính được $x=\frac{2}{3}$
b/ Xét $x=1$ thỏa PT
Dễ C/m 1>x không thỏa PT
Vậy PT có nghiệm duy nhất là 1

Dấu "=" xảy ra khi a=b=2 bạn ơi

Bài 5 : mình giải cách này được không nhỉ :
Pt <=> $(2x+1)^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5$
VT do là SCP nên chia 8 dư 0,1,4
VP xét trường hợp z chẵn và lẻ , ta được số dư là 3,5
=> PT khong có nghiệm nguyên

Mình nghĩ bài 2 bạn nên giải cách này cho dễ :
Ta có : DKXD : $x\geq 7$ và $y\geq 7$
Thì :$\sqrt{x+9}+\sqrt{y-7}\geq \sqrt{7+9}+\sqrt{7-7}=4$
Từ đó ta có nghiệm là (7,7)