tranhydong

6/ Giaỉ :
Giả sử $x\geq y$
Ta có : $x^{2}<x^{2}+y<x^{2}+x<(x+1)^{2}$
=>$x^{2}+y$ không phải là số nguyên
$\to$ ko tồn tại
Mod: Yêu cầu gõ tiếng việt

1/ d/ ${}1!+2!+3!+...+n!$ là số CP
Đặt : ${}1!+2!+3!+...+n!=y^{2}$ ( $y \epsilon \mathbb{N}$ )
Nếu $n\geq 5$ thì $n!$ có chữ số tận cùng là 0
Vậy $y^{2}$ có chữ số tận cùng của $1!+2!+3!+4!$ là 3 ( vô lý vì SCP không có chữ số tận cùng là 3 )
Vậy n<5 =>$n=1,2,3,4$
Lần lượt thế từng giá trị , ta tìm được n =1,3

Phần thuận :Vẽ $\Delta MAD$ vuông cân tại A ( M và D khác phía với AC )
Ta có :$\angle BAM +\angle MAC =90$
Mà $\angle DAC +\angle MAC =90$ ( cách vẽ )
=> $\angle BAM=\angle CAD$
Dễ có $\Delta BAM=\Delta CAD$ (c.g.c) => BM =CD
Theo gt, ta có :
$2MA^{2}=MB^{2}-MC^{2}=>2MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}$
Mà $\sqrt{2}MA=MD , BM =CD$ ( tam giác MAD vuông cân)
=>$MD^{2}+MC^{2}=CD^{2}$
=>$\Delta DMC$ buông tại M =>$\angle DMC=90$
=>$\angle AMC=\angle DMC+\angle AMD=45 +90=135$
=>Quỹ tích của M là cung chứa góc 135 dựng trên AC
Giới hạn :
*Nếu M nằm ngoài tam giác ABC => quỹ tích của M là cung chứa góc 45 dựng trên AC
*Nếu M trùng A , M trùng C ( hiển nhiên thỏa gt )
Phần đảo : lam tg tự phân thuận ngược lại
P/S : cho em gửi hình sau tại em không biết vẽ hình trên máy tính

Thiếu phần đảo, thiếu hình.
D-B=13.4
E=2
F=0
S=40.6

Giải : Đặt $\sqrt{x}=a , \sqrt{y}=b ,\sqrt{z}=c$ , a,b,c >0
Hệ tương đương :
$a+b+c=2$ (1) và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$ (2)
Từ đây dễ tính được :$ab+bc+ca =2$ (3)
Lấy (2) - (3) :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac = 0$
<=>$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$
<=>$a=b=c$
Từ đây ta dễ tính được nghiệm

1/ Một số CP lẻ luôn chia 8 dư 1
2n+1 là số chính phương lẻ => 2n+1 chia 8 dư 1
=>2n chia hết cho 8 => n chẵn
Từ đây => 3n+1 là số CP lẻ => 3n+1 chia 8 dư 1
=>3n chia hết cho 8 mà (3,8) =1 => n chia hết cho 8 (1)
Một số chính phương chia 5 dư 0,1,4
Ta có : 2n+1 + 3n+1 = 5n+2 chia 5 dư 2=> 2n+1 và 3n+1 cùng chia 5 dư 1
=>2n chia hết cho 5 mà (2,5) =1 => n chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => n chia hết cho 40 . Mà n <99 => n =40 hoặc n=80
Thử lại ta chọn n = 40 là số cần tìm

6/ Giaỉ :
Giả sử $x\geq y$
Ta có : $x^{2}<x^{2}+y<x^{2}+x<(x+1)^{2}$
=>$x^{2}+y$ không phải là số nguyên
$\to$ ko tồn tại
Mod: Yêu cầu gõ tiếng việt

Áp dụng BĐT BCS
Ta có: $$ \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}.\sqrt{2^2+\dfrac{1}{4}} \ge 2a+\dfrac{1}{2.\sqrt{b+c}} $$
Tương tự bới 2 biểu thức kia
$$ \dfrac{\sqrt{17}}{2}S \ge 2(a+b+c)+\dfrac{1}{2}.(\sum \dfrac{1}{\sqrt{b+c}}) \ge 12+\dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{\sum \sqrt{b+c}} \ge 12+\dfrac{9}{2.6} =\dfrac{51}{4} $$
$$ \Rightarrow S \ge \dfrac{3.\sqrt{17}}{2} $$

Mình không hiểu chỗ này lắm vì
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\leq 6$ C/m không được

Giải :
PT <=> $x^{2}(y-5)-(y+1)x+y-1=0$ (1)
Nếu $y =5$ Thế vào ta tính được x không nguyên => loại
Xét $y \neq 5$ => (1) là phương trình bậc 2
$\Delta =-3y^{2}+26y-19$
Để PT (1) có nghiệm <=> $\Delta \geq 0$
Dễ có $\frac{1}{2}< y< 8$ Từ đây thế từng giá trị của y ta tính được x

Giải
$<=> 4x-8 = 2y$
Pt dưới tương đương <=>$mx+4x-16= m+3$
<=>$x(m+4)= m+19$
Nếu $m=-4$ thì PT vô nghiệm
Nếu$m\neq -4 => x=\frac{m+19}{m+4}$
Từ đó tính được $y =\frac{-6m+6}{m+4}$
Vậy $x+y =\frac{-5(m-5)}{m+4} > 0$
<=>$-4< m< 5$

Pt <=>$2x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1 = 2y^2+2y+1$
<=>$2x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x = 2y^2+2y$
<=>$(x^{2}+x)(x^{2}+x+2)=y^2+y$
<=>$(x^{2}+x+1)^{2}-1=y^{2}+y$
<=>$(x^{2}+x+1)^{2}=y^{2}+y+1$
Mà $y^{2}<y^{2}+y+1<(y+1)^{2}$ =>$y^{2}+y+1$ không thể là SCP với mọi số nguyên dương
=> PT có nghiệm (0,0)

Giải
Đặt $x=\frac{a+b}{a-b},y=\frac{b+c}{b-c},z=\frac{c+a}{c-a}$ BDT <=>$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$
Ta có $(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$
$<=> xy + yz +zx = -1$
Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2(xy+yz+xz)$$=2$ (đpcm)

Bài này mình nghĩ đề đúng la $=>a^{3}+b^{3}+c^{3}=2002$
Mình giải như sau :
$a^{3}\equiv 0,1,8 (mod 9), b^{3}\equiv 0,1,8 (mod 9), c^{3}\equiv 0,1,8 (mod 9)$
$=>a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 0,1,8,3,7,2,6(mod 9)$
Mà $2002\equiv 4(mod9)$ => PT vô nghiệm

7/ta có $(x+y)(z+x)\geq (\sqrt{xz}+\sqrt{xz})^2 =>\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$
=>$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(z+x)}} \leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$
lam tương tư, công 3 vế lại ta có dpcm
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z

Câu BDT : đặt a = $\frac{1}{x}$ , b =$\frac{1}{y}$ , ta cần tim GTLN của A =$a^{3} + b^{3}$
với $a+b = a^{2} -ab + b^{2} (gt)$ . Ta có :
$A = a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = (a+b)^{2}$
Mà $a^{2} -ab + b^{2} \geq \frac{(a+b)^{2}}{4} => a+ b \geq \frac{(a+b)^{2}}{4} => 0\leq a+b \leq 4 => A =(a+b)^{2} \leq 16 <=> a = b = 2 <=> x=y=\frac{1}{2}$