Bài1 Cho dãy số $(u_{n})$ với
$u_{n}= sin(2010-sin(2010-sin(2010-...-sin(2010-sin2010)...)))$
Tìm $n_{0}$ để $\forall n\geq n_{0}$, $u_{n}$ có 4 chữa số phần thập phân ngay sau dấu phẩy không đổi. Tính $u_{2009}$

$Cho tam thức f(x)=x^2+bx+c biết \left | f(x)) \right | \leq \frac{1}{2} với \forall x\in [-1;1].Tìm b,c $

Vì
$\left | f(x) \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \left [ -1;1 \right ]$
do đó
$\left | f(-1) \right |=\left | 1-b+c \right |\leq \frac{1}{2}$
$\left | f(0) \right |=\left | c \right |\leq \frac{1}{2}$
$\left | f(1) \right |=\left | 1+b+c \right |\leq \frac{1}{2}$
nên
$2= \left | 1-b+c+1+b+c-2c \right |\leq \left | 1-b+c \right |+\left | 1+b+c \right |+\left | -2c \right |\leq 2$
$\Rightarrow b=0, c=\frac{-1}{2}$

B3:
Khi khai triển và ước lượng số hạng đồng dạng của P(x)=$(1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000})(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000})$ ta có thể viết P(x) dưới dạng
P(x)= $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{4000}x^{4000}$
Tính $a_{2004} , a_{2005}$

đặt$ f(x)= 1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000}$
$g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000}$
Để có $x^{2005}$ của P(x) thì một hạng tử $x^{k}, (o\leq k\leq 2000)$ của f(x) phải nhân với hạng tử $x^{n}, (0\leq n\leq 2000)$ của g(x) sao cho
$n+k=2005$
suy ra
- nếu $k=0$ thì $n=2005$( loại, vì $n\leq 2000$)
-nếu $k=1$ thì $n=2004$(loại)
...
-nếu $k=5$ thì $n=2000$(thỏa mãn)
-nếu $k=6$ thì $n=1999$
-nếu $k=7 $thì $n=1998$
........................................
-nếu $k=2000$ thì n=5$
vậy
$a_{2004}.x^{2004}=(x^{4}x^{2000}-x^{5}x^{1999}+x^{6}x^{1998}-...)$
$a_{2004}.x^{2004}=(1-1+1-...)$
Trong dãy số 5,6,...1999,2000 có số các số lẻ = số các số chẵn.
Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số$= -1$
Các hạng tử với số mũ chẵn có hệ số $=1$
Nên $a_{2005}.x^{2005}=0$
$\Rightarrow a_{2005}=0$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có ba cạnh AB, AC, BC lần lượt bằng 5; 12; 13. Khoảng cách từ O đến dây AB bằng?

Tam giác ABC vuông ở A, dễ dàng tính dc khoảng cách từ O đến dây AB mà bạn (=$\frac{1}{2}$AC)

Bài 2:Cho đa thức bậc f(x) thỏa mãn $f(x)-f(x-1)=x$ Với
$\forall x \epsilon R$
Từ dãy trên suy ra công thức tinh tổng 1+2+3+...+n

vì $f(x)-f(x-1)=x$ nên f(x) ít nhất phải là đa thức bậc 2
không mất tính tổng quát, giả sử $f(x)=ax^{2},a\neq 0$
từ GT ta có
$ax^{2}-a(x-1)^{2}=x$
$\Rightarrow a= \frac{x+1}{2x}\Rightarrow f(x)= \frac{x^{2}+x}{2}$
lại có :
$1=f(1)-f(0)$
$2=f(2)-f(1)$
.....
$n=f(n)-f(n-1)$
cộng vế vói vế, ta có :
$1+2+...+n= f(n)-f(0)=\frac{n^{2}+n}{2}= \frac{n(n+1)}{2}$

Bertrand Russell từng viết rằng :" Toán học nắm giữ không chỉ sự thật mà cả vẻ đẹp tối thượng ,một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc như của một tác phẩm điêu khắc, tinh khiết và hoàn hảo tuyệt vời, chỉ có ở nghệ thuật vĩ đại nhất ".
bạn thử tham khảo ở đây xem http://forum.doremiv...n-s%E1%BB%91!!!

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=8\\ xy+yz+zx=4\end{matrix}\right.$
Chứng minh $|x|, |y|, |z| \leq \frac{8}{3}$

cách này có vẻ dài, bạn tham khảo xem :
$PT(1)\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=8$
kết hợp với PT(2) suy ra $x+y+z=\pm 4$
xét 2 trường hợp
$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=4 \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \end{matrix}\right.$
và
$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=-4 \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \end{matrix}\right.$
với mỗi trường hợp ta giải bằng cách coi 2 điều kiện như HPT đối với x,y còn z là tham số và tìm điều kiện của z để hệ có nghiệm

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

Đặt $sin^{2}x =a, cos^{2}x=b \Rightarrow a,b\geq 0$ và $a+b=1$
a) khi đó : $sin^{4}x +cos^{4}x=a^{2}+b^{2}$
Mà
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab = 1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$
vậy $min= \frac{1}{2}$
b)khi đó : $sin^{6}x+cos^{6}x=a^{3}+b^{3}$
mà $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)= 1-3ab\geqslant 1-3\frac{(a+b)^{2}}{4}= \frac{1}{4}$

vậy $min= \frac{1}{4}$

Cho $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ Để:
$cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta +cos^{2}\gamma = a + b.cos\alpha .cos\beta .cos\gamma$

Thì a= ?, b=?

bạn có thể làm như sau:
Ta có
$VT= cos^{2}\alpha +\frac{1+cos2\beta }{2}+\frac{1+cos2\gamma }{2}$
$= cos^{2}\alpha +1+cos(\beta +\gamma )cos(\beta -\gamma )$
$= 1- cos\alpha (cos(\beta +\gamma )+cos(\beta -\gamma ))$
$= 1- 2cos\alpha. cos\beta. cos\gamma$
Vậy $a=1$,$b=-2$