Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}=m & \\x+y=3m & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z> 0$. CMR:

$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{2}(\frac{x^{2}}{yz}+\frac{xy}{z^{2}})}$$\leq \frac{5}{8}(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+\frac{9}{8}$

Cho $a,b,c> 0$ sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN :

               $P=\sum (3a+\frac{2}{b+c})^{4}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $16x^{4}-4x^{2}+6x+27=12\sqrt[3]{2x+9}$

Cho $(x_{n})$ $\left\{\begin{matrix} x_{1}=a> 1 & & \\ 2010x_{n+1}=x_{n}^{^{2}}+2009x_{n} & & \end{matrix}\right.$ với $n\epsilon N^{*}$

Xét dãy số $(y_{n})$ với $y_{n}=\sum ^{n}_{i=1}\frac{x_{i}}{x_{i+1}-1}$. 

Tìm lim $y_{n}$

Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=x(1+2\sqrt{1-x^{2}})$

cái này là từ phần hàm số suy ra được, còn nếu không bạn chịu khó nhân chéo rồi nhóm cũng ra mà.

Tớ học lớp 11 nên chưa học hàm. Còn nhân chéo thì tớ làm rồi nhưng còn cái sau ko cm được vô nghiệm

Đặt x+1=a;y=b ta có; $HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b(a^{2}+1)=(a-1)(b^{2}+6) & \\ (b-1)(a^{2}+6)=a(b^{2}+1) & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{b^{2}+6}=\frac{a-1}{a^{2}+1} & \\ \frac{a}{a^{2}+6}=\frac{b-1}{b^{2}+1} & \end{matrix}\right.(cm:a,b\neq 0;1)\Leftrightarrow \frac{b(b-1)}{(b^{2}+6)(b^{2}+1)}=\frac{a(a-1)}{(a^{2}+6)(a^{2}+1)}\Leftrightarrow a=b$

Thay vào phương trình ẩn a;b tìm được x;y...    

Bạn giải thích rõ tại sao x=y

Cho tứ diện ABCD. CMR: $(AB+DC)^{2}+(AD+BC)^{2}> (AC+BD)^{2}$

Giải phương trình, hệ phương trình:

1,         $\sqrt[3]{14-x^{3}}+x=2(1+\sqrt{x^{2}-2x-1})$

2,         $\left\{\begin{matrix} y(x^{2}+2x+2)=x(y^{2}+6) & \\ (y-1)(x^{2}+2x+7)=(x+1)(y^{2}+1) & \end{matrix}\right.$

1,       Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$

     CMR:    $\frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

2,     Cho $a,b,c> 0$. Tìm GTNN của:

  $P=\frac{(a+b)^{2}}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c)^{2}}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a)^{2}}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

Giải phương trình $2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}= 3(5x+1)$

Cho $a,b,c> 0$ và $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR:  $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

Giải bất phương trình:

$\sqrt{x^{2}+\frac{19x}{4}-\frac{1}{4}}-\sqrt{6x-1}\geq \frac{x+1}{2}$

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1+x}{y+z}+\frac{z+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y}\leq 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$ 

Cho hình bình hành ABCD, $(-7,0)$. Điểm M nằm trong hình bình hành sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{MCB}$, MB: $x+y-2=0$, MC: $2x-y-1=0$. Tìm $A\in d: y=3x$ biết A có tọa độ nguyên

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho trong khai triển của nhị thức $(1+x)^{n}$ có 2 số hạng liên tiếp mà tỉ số các hệ số của nó bằng $\frac{7}{15}$

Bài này chúng ta sử dụng định lý $Vi-et$ cho đa thức bậc 2016.

Viết lại $f(x) = (1+x)(1+2x)(1+4x)....(1+2^{2015}x) = 2^{0+1+2+...+2015} \Pi_{k=0}^{2015} (x+ \frac{1}{2^k} $

Suy ra $ f(x) = 2^{2015.1008} \sum_{k=0}^{2016} S_k . x^k $

Từ đó, theo định lý Vi-et cho đa thức bậc n (ở đây là bậc 2016) ta có hệ số của $x^2$ là:

$S_2 = \sum_{i, j = \bar{0,2015}; i \ne j} 2^{i+j}$

Bạn làm lại cho dễ nhìn đc không

Tìm hệ số của $x^{2}$ trong khai triển:

$(1+x)(1+2x)(1+4x)....(1+2^{2015}x)$

Cho dãy số thực $(U_{n})$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_{1} =\frac{-2}{5}& \\ 25u_{n+1}u_{n}+15u_{n+1}+15u_{n}+10=\sqrt{25u_{n}^{2}+30u_{n}+10} & \end{matrix}\right.$, $n\geq 1$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AB,AC,AD,AG lần lượt tại A', B', C', G'. Chứng minh rằng $\frac{AB}{AB'}+\frac{AC}{AC'}+\frac{AD}{AD'}=3\frac{AG}{AG'}$ 

Cho $a,b,c> 0$ và $ab+bc+ca=1$

Chứng minh rằng:

                             $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Cho A(0,1). Cho $(C): x^{2}+y^{2}=2$ và $(C'): x^{2}+y^{2}=5$. Tìm tọa độ $B\in (C), C\in (C')$ sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

Giải phương trình: $x\sqrt{x}=(2014+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$

$x\sqrt{x}=(2014+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$

$\Leftrightarrow x\sqrt{x}(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}=(2014+\sqrt{x})(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$

$x\sqrt{x}(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}=(2014+\sqrt{x})x$

$x=0$ hoặc $\sqrt{x}(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}=2014+\sqrt{x}$

Khai triển ta được

$2\sqrt{x}-x+2\sqrt{\sqrt{x}-x}=2014+\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}-x+\sqrt{\sqrt{x}-x}-2014=0$

Đến đây thì dễ rồi!!!