Giải pt sau:

$$cox(x).cox(2x).cos(4x)=\frac{-\sqrt{2}}{16}$$
 

xét sin x =0

xét sin x #0. Nhân 2 vế vs 8 sin x :

cos 8x=- 1/căn 2 sin x

Cho các số thực $a,b$ không âm không đồng thời bằng $0$ .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{4}+y^{4}}{(x+y)^{4}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{5}{8}$

Chuẩn hóa với: $x+y=2\Rightarrow \frac{(4-y)^4+y^4}{16}+\frac{\sqrt{(2-y)y}}{2}\geqslant \frac{5}{8}$

Biến đổi thành bậc 8.

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+3}+\sqrt{3-2x}=4y^2+2\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c là các số thực dương. Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\ by+cz=(y-z)^2\\ cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

Dễ dàng $CM$ được: $ax.by.cz=(ax+by)(by+cz)(cz+ax)=(x-y)^2.(y-z)^2.(z-x)^2$

Đặt: $ax=m;by=n;cz=p\Rightarrow mnp=(m+n)(n+p)(m+p)=(mn+mp+n^2+np)(m+p)\Leftrightarrow \sum m^2(n+p)+mnp=0$

Để í rằng: $n+p=by+cz=(y-z)^2\geqslant 0;mnp=ax.by.cz\geqslant 0\Rightarrow VT\geqslant 0$

Do đó: $x=y=z=0$

From The Secret Makes The Women More Beautiful :v

Giải bpt

$\sqrt{(x+1)(4x+1)}-\sqrt{2x^2+2x-5+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{2x+\frac{2}{x}+1}$

ĐK : x,y >0

$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} & \\1-\frac{1}{x+y}=\frac{4}{\sqrt{y}} & \end{matrix}\right.$

cộng trừ hai pt ta được .

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}=1 & \\\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2}{\sqrt{y}}=\frac{1}{x+y} & \end{matrix}\right.$

sau đó nhân theo vế hai pt .

$\Rightarrow \frac{1}{x+y}=(\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}).(\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2}{\sqrt{y}})\\\Leftrightarrow \frac{1}{x+y}=\frac{1}{3x}-\frac{4}{y}$

quy đồng ra pt đẳng cấp , tìm được mối liên hệ x, y rồi thế trở lại pt . OK

Mình làm ra đến đó rồi nhưng thấy số lẻ quá , cho xin đáp án vs . Tks 

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}(1+\frac{1}{x+y})=2\\ \sqrt{2y}(1-\frac{1}{x+y})=4\sqrt2 \end{matrix}\right.$

cho a;b;c >o thỏa a+b+c=3.CM:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$

$a^2+2\sqrt{a}\geqslant 3a\Rightarrow \sum a^2+2\sum \sqrt{a}\geqslant 3.\sum a=(a+b+c)^2\Rightarrow \sum \sqrt{a}\geqslant \sum ab$

Lời giải bằng $pqr$ rất đơn giản cho: $p\geqslant 4\geqslant q$

Với $p<4$ thì dùng pqr quá đơn giản rùi :v

Dùng pqr, 

Cho $a,b,c\geqslant 0:ab+ac+bc+abc=4.CMR:\sum a\geqslant \sum ab$

Cách khác ntn:

$\frac{1}{1+x}=\frac{1+m}{2};\frac{1}{1+y}=\frac{1+n}{2};\frac{1}{1+z}=\frac{1+p}{2}\Rightarrow m+n+p+mnp=0;ine\Leftrightarrow \sum (\frac{m+1}{2})^2+\frac{\prod (m+1)}{4}\geqslant 1\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+m^2n^2p^2\geqslant 4mnp$

Đúng theo $AM-GM$ $4$ số. :v

$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$

1/  Cho dãy: $n\in {0;1;2;..} .U_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}$

CM $U_n$ luôn nguyên.

Tìm n nguyên để $U_n$ chia hết 3.

2/

$a_0=2;a_{n+1}=4.a_n+\sqrt{15a^2-60};n\in N^*$

Xác định Công thức tổng quát $U_n$.

CMR: $\frac{1}{5}(a_{2n}+8)$ biểu diễn đc dưới dạng bình phương 3 số nguyên 

Chú ý đọc kĩ đề câu 1 nha!!!

Trên tử mình đã fix

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq 12$

Tìm GTNN của $P=\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}$

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{(\sqrt{c}+1)(c-\sqrt{c}+1)}}\geqslant \sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+c+2}\geqslant \sum \frac{a^3}{\frac{a+b}{2}+c+2}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\frac{\sum a^2+3\sum ab}{2}+2\sum a}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\frac{9}{4}.\sum a^2+12}=\frac{t^2}{\frac{9}{4}t+12}\geqslant \frac{96}{5}\Leftrightarrow (t-48)(t+4.8)\geqslant 0(true:t=\sum a^2\geqslant \frac{(\sum a)^2}{3}\geqslant 48)$

Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm Min: $S=3\sqrt{x^2+y^2}+4\sqrt{x^2+y^2-8y+16}+5\sqrt{x^2+y^2-6x+9}$

dùng BĐT Minkowski

làm ntn ???

làm đi bạn

Bạn trình bày rõ hơn được không

quá dễ hiểu nhất rồi :3

Câu b nè ;v

$gt=>u> x,y,z\Rightarrow u!\vdots x!;....\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x!+y!\vdots z!\\ y!+z!\vdots x!\\ x!+z!\vdots y! \end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=2;u=3$

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

a) $x!+y!=(x+y)!$

b) $x!+y!+z!=u!$

Spoiler

Mấy bài tập đề nghị trong cuốn Chuyên đề số học VMF khó quá

$(a):(x+y)!\vdots x!\Rightarrow y\vdots x;x\vdots y\Rightarrow x=y\Rightarrow 2.x!=(2x)!\Rightarrow x=1$

$x,y,z\geqslant 0.CMR:\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+7z}}\geqslant 1$

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, có các cạnh a,b,c và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong tương ứng.CMR

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Phân giác $AD$.

Qua $B$ kẻ đường song song $AD$, cắt $AC$ tại $M$

Tam giác $ABM$ cân tại $A$

Sử dụng tính chất p/g và định lí Ta let, có: $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$.

• Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$;
• Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$;
• Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

$a+b+c=0;ab+ac+bc=-3;abc=-1$

$(a)$

$A=\frac{(1-a)(b+1)(c+1)+(1-b)(a+1)(c+1)+(1-c)(a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{-3abc-\sum ab+\sum a+3}{\sum abc+\sum ab+a+1}$
Thay vào thôi :v

$(b)$

$\sum (a^2-2)=\sum a^2-6=(a+b+c)^2-2\sum ab-6=0;...$

Thay vào, theo Viets đảo, dĩ nhiên có: $k^3-3k+1=0$

$(c)$

Theo câu $b$, có được: 

$a^2-2=a,a^2-2=b,a^2-2=c$

Nếu $a^2-a-2=0$ mâu thuẫn.

Nếu: $a^2-2=b$ $\Rightarrow b^2-2=c;c^2-2=a$

Điều này mâu thuẫn cho việc $a<b<c$

a,b>0. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

đa thức

đề thi hsg