Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=2

Chứng Minh : $\frac{\sqrt{a}}{1+a} + \frac{\sqrt{b}}{1+a+b} + \frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\leq \sqrt{2}$

Biết a+b+c=2 . Chứng minh  : $\frac{\sqrt{a}}{a+1} + \frac{\sqrt{b}}{a+b+1} + \frac{\sqrt{c}}{a+b+c+1} \geq \sqrt{2}$

Chứng minh : căn 2 + căn 5 là số vô tỷ  )

cho  $z\geq y\geq x> 0$ Chứng minh : $y( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) + \frac{1}{y}(x+z) \leq (x+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} )$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CM

$\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$

Ta có :$\sum a^{2}=3=>\sum a\leq 3$

$VT=2(\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 2(\sum a-\frac{b\sqrt{a}}{2})\geq 2(\sum a-\frac{\sqrt{(\sum ab)(\sum a)}}{2})\geq 2(\sum a)-\frac{(\sum a)\sqrt{\sum a}}{\sqrt{3}}\geq \sum a$ (ĐPCM)

cho a,b,c là các số thực dương chung minh rang

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Ta có :

VT=$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2c}} \geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2c}}=\sum \sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{2b}}+\frac{1}{\sqrt{2c}})\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{2\sqrt{b+c}}=2(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}})$=VP=> ĐPCM

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTLN:

 

$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Ta có :

P=$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)}{(a^{3}+b^{2}+c)(\frac{1}{a}+1+c)}\leq \frac{\sum a+\sum ab+3}{(\sum a)^{2}}\leq \frac{\sum a+\frac{1}{3}(\sum a)^{2}+3}{(\sum a)^{2}}=1$

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=1

2.cho a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ cmr  $\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

đã có ở đây : https://diendantoanh...32/#entry676259

Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. CMR : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}\geq 3$

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sqrt{(a+b+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c)}}\geq 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sum a^{2}+\sum a}=\frac{4 \sum a^{2}+2\sum a}{\sum a^{2}+\sum a}=2+\frac{2\sum a^{2}}{\sum a^{2}+3}=2+\frac{2}{1+\frac{3}{\sum a^{2}}}\geq 2+\frac{2}{1+\frac{9}{(\sum a)^{2}}}=3$(đpcm)

cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=3 

tìm GTNN của $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}$

Ta có ; $\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+a}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+1)=\frac{1}{b}-\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}$

tương tự . Cộng lại ta được : $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{4a}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(\sum \frac{1}{a})-\frac{3}{4}\doteq \frac{3}{4}(\frac{9}{a+b+c})-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\left ( \frac{1}{( a-b)^{2}}+\frac{1}{( b-c)^{2}}+\frac{1}{( c-a)^{2}} \right )\geq \frac{27}{4}$

bài toán 4 nha b  

link : https://julielltv.wo...huc-quan-trong/

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}$

ta có : $\frac{1}{3a} + \frac{4}{3b}\geq \frac{9}{3(a+b)}=\frac{3}{a+b}$

   $\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}\geq \frac{36}{6b+8c}=\frac{18}{3b+4c}$                          

 $\frac{1}{c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\geq \frac{9}{c+6a}$

Cộng vế theo vế ta được đpcm 

Đẳng thức xảy ra khi a=1;b=2;c=3

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng

(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)$\leq$8

Từ giả thiết suy ra :  ab+bc+ca=abc . Bạn xem tại đây :

https://diendantoanh...a-1ca-b-1leq-8/

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

 $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \sqrt{(\sum a+c)(\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)})} = \sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\prod (a+b)}}$

Đến đây ta áp dụng bđt phụ : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$

=> ĐPCM

Cho a,b,c >0 . Sao cho a+b+c=2

Tìm Min : $\sqrt{a^{2}+ b^{2} + c^{2}} + \frac{ab+bc+ca}{2} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện : ab+4 $\leq$ 2b

Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$

Cho a,b,c >1

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{c-1} + \frac{c^{2}}{a-1} \geq 12$

Cho ( O , R )  Dây cung BC  cố định . A nằm trên cung lớn BC sao cho Tam giác ABC là Tam giác nhọn . Đường cao AD ,BE CF đòng quy tại H , BE , CF kéo dài cắt (O) tạI Q , P

a) Gọi I là trung điểm của BC . C/M : Góc FDE = 2ABC VÀ FDE = FIE

b) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC để chu vi DEF lớn nhất

Cần cm : $\sum x^{3}y \geq \sum y^{3}x$ . Gỉa sử z $\geq y\geq x$

Ta có : $\sum x^{3}y - \sum y^{3}x = xy(x-y)^{2} + (z-x)(z-y)(xy+xz - y^{2}) \geq 0 => right$

=> $( \sum x^{3}y )^{2} \geq (\sum x^{3}y )(\sum y^{3}x) \geq ($\sum$(xy)^{2} )^{2} => đpcm$

Cho a,b,c dương .   ab+bc+ca=1  . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 4(a+b+c)^{2}$

Từ giả thiết ta được : $x^{2}+y^{2}-xy=x^{2}y^{2}$

                                  $(x+y)^{2}=xy(xy+3) => x+y=\sqrt{xy(xy+3)}$ ( do x,y dương )

Ta có : 

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} = \frac{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{x^{3}y^{3}} = \frac{(x+y)x^{2}y^{2}}{x^{3}y^{3}} = \frac{x+y}{xy}=\frac{\sqrt{xy(xy+3)}}{xy} = \sqrt{\frac{xy+3}{xy}} =\sqrt{1+\frac{3}{xy}}$

Bây h ta chỉ cần tìm min xy là bài toán được giải quyết .

$(x+y)^{2}=xy(xy+3) \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}(xy+3) => xy+3\geq 4 => xy\geq 1$

=> Max A = 2

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn: $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+3a^2}+\frac{1}{1+3b^2}+\frac{1}{1+3c^2}+\frac{1}{1+3d^2}\ge \frac{16}{7}$

Ta có : $(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(\sum 1+3a^{2})(1+1+1+1)(1+1+1+1)\geq 256 ( holder)$

Mà : $(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(\sum 1+3a^{2})(1+1+1+1)(1+1+1+1)\geq (\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(4+\frac{3(\sum a)^{2}}{4})X16\geq 112(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})$

=> $\sum \frac{1}{1+3a^{2}}\geq \frac{16}{7}$( Q.E.D )

http://diendantoanho...2b21frac2015ab/

Câu 1: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{\sqrt{xy}}$. Tìm Min 

câu 2: $a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\geq 0$ với a,b,c là các số thực

câu 3:Cho $a\geq 0 , b\geq 0,c\geq 0$. Chứng minh : $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

câu 4 cho số a,b,c dương. Chứng minh :  $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Chém tạm câu 4 vậy   

Đặt : $a=\frac{kx}{y} ; b= \frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$

Bđt cần cm tương đương : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} \geq \frac{3}{k(k+1)}$

Ta có : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} = \sum \frac{(yz)^{2}}{k^{2}xzy^{2}+kxyz^{2}}\geq \sum \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(\sum x+\sum kx)}\geq \sum \frac{3xyz(\sum x)}{kxyz(1+k)(\sum x)}= \frac{3}{k(k+1)}$ (Q.E.D)

Câu 3 bđt ngược dấu nếu thử với (a;b;c)=(0;1;1)