So sánh M và N biết $M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}$ và $N=(2012^{2013}+2013^{2013})^{2012}$
$M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}=2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2012}+1]^{2013}>2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2013}+1]^{2012}=N$
There have been 60 items by Frosty Flame (Search limited from 09-06-2020)
Posted by Frosty Flame on 09-09-2018 - 21:26 in Đại số
So sánh M và N biết $M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}$ và $N=(2012^{2013}+2013^{2013})^{2012}$
$M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}=2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2012}+1]^{2013}>2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2013}+1]^{2012}=N$
Posted by Frosty Flame on 08-09-2018 - 16:16 in Bất đẳng thức và cực trị
cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$
cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
$(x^2+\frac{1}{x^2})(1^2+9^2)\geq (x.1+\frac{1}{x}.9)^2$
$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+81}}=\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{82}}$
CMTT
$=>\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq\frac{y+\frac{9}{y}}{\sqrt{82}} ;\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq\frac{z+\frac{9}{z}}{\sqrt{82}}$
$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$
$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}[(x+\frac{1}{9x})+(y+\frac{1}{9y})+(z+\frac{1}{9z})+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})]$
$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(2\sqrt{x.\frac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{9z}}+\frac{80}{9}\frac{9}{x+y+z})($Do $a+b\geq2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$
$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{80}{1})($Do $x+y+z\leq 1$ theo gt $)$
$=\sqrt{82}=>$ĐPCM
Dấu $"="$ xảy ra $<=>...<=>x=y=z=\frac{1}{3}$
Posted by Frosty Flame on 08-09-2018 - 15:50 in Toán rời rạc
Cách khác:
Vì $x^2-1\geq 0($Theo ĐKXĐ$)$
$=>x^4\geq x^4-x^2+1>0<=>x^2\geq \sqrt{x^4-x^2+1}$
$=>$ Ta có: $VT=x^2+3\sqrt{x^2-1}\geq \sqrt{x^4-x^2+1}=VP($Vì $\sqrt{x^2-1}\geq 0)$
Mà dấu $"="$ phải xảy ra(Theo gt)
$=>x^2-1=0<=>x=\pm 1$
Vậy, ...
Posted by Frosty Flame on 08-09-2018 - 15:45 in Đại số
cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa $\sqrt{a+b-c}$ + $\sqrt{b+c-a}$ + $\sqrt{c+a-b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$. Tính độ dài các đường cao của tam giác đã cho theo a
Ta có:
$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}\leq \sqrt{2((a+b-c)+(b+c-a))}=2\sqrt{a}($ Do $(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=>x+y\leq\begin{vmatrix}x+y\end{vmatrix}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\forall x,y\in \mathbb{R})$
CMTT
$=>\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq 2\sqrt{c};\sqrt{c+a-b}+\sqrt{a+b-c}\leq 2\sqrt{a}$
$<=>\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Vì dấu $"="$ phải xảy ra (Theo giả thiết)
$=>\sqrt{a+b-c}=\sqrt{b+c-a}=\sqrt{c+a-b}$
$<=>a=b=c<=>$Tam giác đã cho là tam giác đều
$<=>$Đường cao của tam giác đó có độ dài là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Posted by Frosty Flame on 06-09-2018 - 21:45 in Toán rời rạc
$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$
ĐKXĐ: $x^2-1\geq 0$
$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$
$<=>x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}-1}=0$
$<=>\frac{x^4-(x^4-x^2+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\sqrt{x^{2}-1}=0($ Do $x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\neq 0)$
$<=>\sqrt{x^{2}-1}(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3)=0$
$<=>\sqrt{x^{2}-1}=0($Do $\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\geq 3> 0)$
$<=>x^2-1=0<=>x=\pm 1($ T/m ĐKXĐ $)$
Vậy, ...
Posted by Frosty Flame on 06-09-2018 - 21:34 in Đại số
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+2b+3c=3. CMR: $\frac{a^{2}}{a+2b+\sqrt{2ab}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\sqrt{6bc}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\sqrt{3ac}}$$\geq 1$
$\frac{a^{2}}{a+2b+\sqrt{2ab}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\sqrt{6bc}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\sqrt{3ac}}$
$\geq \frac{a^{2}}{a+2b+\frac{a+2b}{2}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\frac{2b+3c}{2}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\frac{3c+a}{2}}$
$\geq \frac{(a+2b+3c)^2}{3(a+2b+3c)}$(Theo BĐT Cauchy-Schwarz)
$= 1($ Do $a+2b+3c=3)$
$=>$ĐPCM
Dấu $"="$ xảy ra $<=>a=1,b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{3}$
Posted by Frosty Flame on 29-08-2018 - 22:40 in Đại số
Cho a là 1 nghiệm dương của pt: $4x^{2}+2\sqrt{x}-\sqrt{2}=0$. Tính giá trị của biểu thức A=$\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$
Số xấu quá, coi lại đề bài phần giả thiết.
Posted by Frosty Flame on 29-08-2018 - 22:34 in Đại số
Các bác giúp em với ah
$A=(x+1)^4-(x^2+x+1)^2$.
Nếu đề là phân tích thành nhân tử thì:
$A=(x+1)^4-(x^2+x+1)^2=x(2x^2+3x+2)$(đơn giản quá ???!!)
Posted by Frosty Flame on 29-08-2018 - 21:34 in Đại số
CMR với $n\geq 3$ ta luôn có BĐT:$\sqrt[3]{n}>\sqrt[4]{n+1}$
Ta có: $n^4-(n+1)^3=\frac{1}{3}n^3(n-3)+\frac{1}{3}n^2(n^2-9)+\frac{1}{9}n(n^3-27)+\frac{1}{81}(n^4-81)+\frac{17}{81}n^4>0\forall n\geq 3$
$<=>n^4>(n+1)^3\forall n\geq 3$
$=>...$
Posted by Frosty Flame on 29-08-2018 - 16:01 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
[quote name="trang2004" post="714903" timestamp="1535466299"]
$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$
<=> $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2$,rồi dùng hệ số bất định là ôkê. Cũng đặt $t=\sqrt{x+8}\geq0$ cũng xong nhé
Từ $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$ thì cái pt bậc 3 tính sao ???
Posted by Frosty Flame on 29-08-2018 - 14:52 in Quán hài hước
Hai vợ chồng nhà kia sinh được một cậu con trai dễ thương mạnh khỏe. Nay đã bốn tuổi rồi… Một đêm nằm chưa ngủ được cô tâm sự với chồng.
Anh ah! Con vẫn …bú… dù em đã hết …sữa rồi ! nó vẫn cứ nhằn thôi . Nhiều hôm em đau quá không chịu được.
Người chồng cũng xót xa tiếc vợ. Rồi cũng cười nhẹ và nói.
Anh đã có cách, em bôi chút dịch gì đó vào nó bú thấy khó chịu là bỏ liền. Đêm đó người chồng lấy một lọ màu vàng ra và bôi vào nhũ hoa vợ. Hôn vợ yêu một cái cái rồi đi trực ca đêm. Đã giữa đêm rồi người chồng chợt nhớ ra là mình đã lấy nhầm lo thuốc cực độc bôi cho vợ. Anh thốt lên thôi chết rồi ba giết con rồi. Anh liền lên xe tức tốc lao về nhà. Khi về tới nhà anh thấy mọi người đang đúng rất đông quanh nhà mình.
Biết con có chuyện chẳng lành anh lại than lên trong tuyệt vọng. Con ơi ! ba giết con rồi !
Trong nhà thì phát ra tiếng xôn xao người thì bảo kệ mẹ nó cho nó chết. Người lại bảo gọi xe cấp cứu. Người cha lại càng thêm tuyệt vọng khụy gối trước cổng than khóc. Chợt có ai vỗ vào vai mình người cha vô cùng bất ngờ khi nhìn đó là con trai mình.
Lúc đó cậu khẽ nói ba ơi! sao chú hàng xóm tự nhiên lại chết trong nhà mình…
Đọc truyện ko bt nên khóc hay nên cười
Posted by Frosty Flame on 28-08-2018 - 21:34 in Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
4,1/x+1/y=z
Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$
$<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$
hoặc $x=-y\neq 0$
$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$
$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$
Vậy, ...
5,x^-25=y^2
Có vấn đề với đề bài
Posted by Frosty Flame on 28-08-2018 - 20:24 in Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
1, x^2-5y^2=17
Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y
2,x^2+2x+1=37
Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x
3,x^2+x+1=xyz
Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$
Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$
Posted by Frosty Flame on 27-08-2018 - 21:34 in Mệnh đề - tập hợp
Cho ánh xạ $f: \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ với $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$
Tìm $A=\left \{ y|y=f(x),x\in \mathbb{R},x>0 \right \}$
Xét $0<x<1$ và $x>1$
$=>...=>A=(-\infty ;-3)\bigcup(0;+\infty)$
Posted by Frosty Flame on 26-08-2018 - 21:21 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 4:[attachment=35161:xDDD.JPG]
Posted by Frosty Flame on 26-08-2018 - 20:56 in Đại số
cho P=$\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$
biết $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$
ĐKXĐ:$a^3-4a^2+5a-2\neq 0$
Ta có :
$a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$
$<=>a^3=55+\sqrt{3024}+55-\sqrt{3024}+3(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}})\sqrt[3]{(55+\sqrt{3024})(55-\sqrt{3024})}$
$<=>a^3=110+3a<=>(a-5)(a^2+5a+22)=0<=>a=5$(T/m ĐKXĐ)
Thay $a=5$ vào
$=>P=\frac{7}{3}$
Vậy,...
Posted by Frosty Flame on 26-08-2018 - 20:44 in Đại số
cho P(x) = x3-3x2+14x -2
tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 sao cho P(x) chia hết cho 11
$P(x)\vdots 11<=>(x-1)^3+11x-1\vdots 11<=>(x-1)^3\equiv1(mod 11)$
Dễ thấy lập phương của một số tự nhiên chia 11 dư 1 khi và chỉ khi số tự nhiên đó chia 11 dư 1 (tự chứng minh bằng cách lần lượt xét các số dư của số tự nhiên đó cho 11)
$=>x-1\equiv1(mod 11)$
$<=>x\equiv2(mod 11)$
$<=>x=2,13,24,...,90$
Posted by Frosty Flame on 26-08-2018 - 20:37 in Đại số
cho x,y,z đôi 1 khác nhau thõa mãn x3=3x-1 , y3=3y-1, z3=3z-1
CMR x2+y2+z2=6
Từ giả thiết suy ra x,y,z lần lượt là 3 nghiệm khác nhau của phương trình $a^3-3a+1=0$
=>$(a-x)(a-y)(a-z)=0$
$<=>a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=0=a^3-3a+1$
Quy đồng hệ số
$=>x+y+z=0$
$xy+yz+zx=-3$
$<=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=6$
Vậy ta có ĐPCM.
Posted by Frosty Flame on 23-08-2018 - 17:22 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f(af(y)+bx)=cx+dy+e(a,b,c,d,e\neq 0, b\neq -ac)$
Posted by Frosty Flame on 21-08-2018 - 16:43 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y > 0 và x+y $\leq$ 1. Tìm GTNN của A = $\frac{1}{x^2 + y^2}$ + $\frac{504}{xy}$
$A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{503}{xy}$
$<=>A\geq \frac{9}{x^2+y^2+4xy}+\frac{503}{xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$
$<=>A\geq \frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{503}{\frac{(x+y)^2}{4}} (Do 4xy\leq (x+y)^2)$
$<=>A\geq \frac{9}{1+\frac{1}{2}}+\frac{503}{\frac{1}{4}}(Dox+y\leq 1)$
$<=>A\geq 2018$
Dấu "="xảy ra $<=>x=y=\frac{1}{2}$
Posted by Frosty Flame on 21-08-2018 - 10:43 in Đại số
ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$
Pt đã cho $<=>(x^2+4x+5)^2=4(2x+3)$
$<=>x^4+8x^3+26x^2+32x+13=0$
$<=>(x+1)^2(x^2+6x+13)=0$
$<=>x=-1$(t/m ĐKXĐ)
Vậy,...
Posted by Frosty Flame on 21-08-2018 - 10:35 in Đại số
Ta có:
$\frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2}+ \frac{(x+y)^2}{xy}$
$=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy})$
$\geq (x+y)^{2}\frac{9}{x^2+y^2+2xy+2xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c})$
$\geq (x+y)^2\frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}(Do 4xy\leq (x+y)^2)$
$=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$
Dấu "$=$" xảy ra $<=>x=y$
Vậy,...
Posted by Frosty Flame on 21-08-2018 - 10:27 in Đại số
tìm m để đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2
Đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2
$<=>m+2=3$ và $m\neq -2$
$<=>m=1$(Thỏa mãn)
Posted by Frosty Flame on 20-08-2018 - 10:34 in Phương trình hàm
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$f(af(y)+bx)=cx+dy+e,\forall x,y\epsilon \mathbb{R} (a,b,c,d\neq 0;b\neq -ac)$(mk ko bt ký hiệu của "thuộc")
Posted by Frosty Flame on 20-08-2018 - 10:28 in Đại số
$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$
với $-1 \leq $ x $\leq 1 $
$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$
$=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(1+x+\sqrt{1-x^2}+1-x)}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$
$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}$(Vì $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}>0$)
$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1+x+2\sqrt{1-x^2}+1-x}$
$=\sqrt{2}\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}$
$=\sqrt{2}\sqrt{1-1+x^2}$
$=x\sqrt{2}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học