ohmymath's Content
There have been 12 items by ohmymath (Search limited from 07-06-2020)
#370032 When Is (xy + 1)(yz + 1)(zx + 1) a Square?
Posted by ohmymath on 16-11-2012 - 23:28 in Tài nguyên Olympic toán
#278102 Vui cùng giới hạn
Posted by ohmymath on 07-10-2011 - 20:53 in Dãy số - Giới hạn
Ta có: $\dfrac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} = {\left( {\dfrac{n}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}$
Chỗ này nhầm rồi ạ, Phải là $\dfrac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} = n{\left( {\dfrac{n}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}$
#278289 Sáng tạo Bất đẳng thức _ Phạm Kim Hùng quyển 2
Posted by ohmymath on 09-10-2011 - 09:11 in Tài nguyên Olympic toán
#277378 phương trình nghiệm nguyên
Posted by ohmymath on 29-09-2011 - 14:14 in Các bài toán Đại số khác
Các bài toán này chủ yếu dùng phương pháp lùi vô hạn.
1. Nhận thấy $x,z$ có cùng tính chẵn lẻ. Ta xét 2 trường hợp.
+ $x,y$ cùng chia hết cho $2$. Khi đó đặt $x_0=2x_1, \ z_0=2z_1$ thì $(x_1,z_1)$ nguyên dương và có
$$4x_{1}^{2}+2y_0^2=4z_1^2 \implies 2x_1^2+y_0^2=2z_1^2 $$
Từ đây dẫn đến $y_0 \ \vdots \ 2$, và lại đặt $y_0=2y_1$ ($y_1$ nguyên dương), thì từ lại đi đến
$$x_1^2+2y_1^2=z_1^2$$
Quá trình đó cứ lặp lại và đến một lúc nào đó ta có
$$x_k^2+2y_k^2=z_k^2$$
Và nghiệm tìm được từ đây là $\boxed{(x,y,z)=(0,0,0)}$.
+ $x,z$ không cùng chia hết cho $2$.
Bạn có thể dễ dàng chứng minh TH này vô lí.
Tương tự với bài còn lại.
Em cũng làm theo cách này nhưng đến trường hợp cùng ko chia hết 2 thì bế tắc.
Lúc đầu em cũng nghĩ là vô lí nhưng không phải. Em tìm được nghiệm (1;2;3).
May sao em vừa mới giải được.
Đương nhiên ta chỉ xét trường hợp nguyên tố cùng nhau.
Từ x ; z cùng lẻ dễ dàng chứng minh y chẵn.
Ta áp dụng đúng cách tìm nghiệm pt pi-ta-go.
$$2(\dfrac{y}{2})^2=\dfrac{z+x}{2}.\dfrac{z-x}{2}$$
Từ đó suy ra $$z=2m^2+n^2 ; x=2m^2-n^2 ; y=2mn$$
Đó là bộ nghiệm tổng quát của pt.
Bài còn lại thì làm tương tự .
Nếu z; x cùng số dư khi chia 3 thì:
$$y^2=\dfrac{z-x}{3}.(z+x)$$
Từ đây ra nghiệm.
Nếu x;z khác số dư ~> có 1 số chia 3 dư 2 và 1 số chia 3 dư 1 (vì ko thể cùng chia hết 3)~>x+z chia hết 3.
Tách: $$y^2=(z-x).\dfrac{z+x}{3}$$
Từ đây lại ra 1 bộ nghiệm nữa.
Em còn chưa làm được bài này:
Chứng minh rằng nếu a;b;c là các số nguyên ; (a;b)=1 thì tồn tại n nguyên sao cho (an+b; c)=1.
Em nghĩ dùng định lý phần dư TH nhưng em kém phần này.
#277343 phương trình nghiệm nguyên
Posted by ohmymath on 28-09-2011 - 22:08 in Các bài toán Đại số khác
1 $x^2 + 2y^2 = z^2$
2. $x^2 + 3y^2 = z^2$
P/s: 1 bài trong quyển số học của thấy Khoái và... bế tắc
#278517 mấy bài dãy số vừa tìm được trên mạng
Posted by ohmymath on 10-10-2011 - 21:46 in Dãy số - Giới hạn
Nhưng bài này là $U_{n+1}=U_n,(U_n-1)$ cơ mà (
#278505 mấy bài dãy số vừa tìm được trên mạng
Posted by ohmymath on 10-10-2011 - 20:20 in Dãy số - Giới hạn
Tìm dạng của $ U_1$ để dãy sau là dãy hội tụ: $U_{n+1}=U_n(U_n-1)$
#279287 CMR với mọi $a, b, c >0 ; abc=1$ ta có: $$ \dfr...
Posted by ohmymath on 17-10-2011 - 15:37 in Bất đẳng thức - Cực trị
Đây là 1 hệ quả của bài toán sau:
Nếu x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 thì:
$$ \sum \dfrac{1}{x^2+x+1} \geq 1 $$ (Bá Cẩn; Vasile)
Thêm 1 gợi ý:
$$\dfrac{2a}{2a^3+1}-\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1} \leq 0 $$
Và 1 gợi ý cuối cùng:
$$1-\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1}= \dfrac{1}{a^4+a^2+1}$$
P/S: mod sửa giùm em với; sao tự dưng bị lỗi thế này, Ơ mà em cũng có thể tự like bài em là sao
#289340 Chứng minh rằng : $\sum \dfrac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ca}}...
Posted by ohmymath on 21-12-2011 - 19:00 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a;b;c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+3bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+3ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+3ba}}\geq \dfrac{3}{2}$
Chú ý: Mong có 1 lời giải sơ cấp và [B]không dùng chuẩn hóa
#261872 bất đẳng thức
Posted by ohmymath on 23-05-2011 - 20:05 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a;b;c>0 thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh rằng :
$ \dfrac{(2a+b+c)^2}{2(a^2)+(b+c)^2} \leq 8 $
#258738 1 bài vận dụng bdt schur
Posted by ohmymath on 22-04-2011 - 21:58 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a;b;c dương. CM:
$(ab+ac+bc)(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+ \dfrac{1}{(c+a)^2}) \geq \dfrac{9}{4}$
Mong sớm có hồi đáp!
- Diễn đàn Toán học
- → ohmymath's Content