Secrets In Inequalities VP nội dung
Có 298 mục bởi Secrets In Inequalities VP (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
#307966 $ \sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}$
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 03-04-2012 - 18:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
$ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}$$ \leq 3$
#308142 Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Bắc Giang năm học 2011-2012
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 04-04-2012 - 17:40 trong Tài liệu - Đề thi
#308232 $ abc+2\sum a^{2}+8\geq 5\sum a$
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 04-04-2012 - 22:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
$ abc+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8\geq 5(a+b+c)$.
-----------------------------------------------------------------------------------
Bài này thục ra ĐK là $ a,b,c\geq 0$ thui , nhg nếu nhu thế thj` sẽ khó hon .
Ai có time thì CM thủ nhé !
#308245 Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 04-04-2012 - 22:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 4 :1.cho a,b,c$\geq 1$.cmr
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{2+abc}$
2.cho a+b+c $\epsilon [0,1]$,$a+b+c= \frac{3}{2}$.Chứng minh rằng
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{5}{4}$
3.Cho x, y, z > 0 và xyz=32. Tìm Min của
S=$x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}$
4.Chứng minh rằng:$\frac{1}{a^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}\leq \frac{3}{2abc}$.Với$a,b,c\epsilon [0,1]$
Ta có : $ a^{3}+1= (a+1)(a^{2}-a+1)\geq (a+1)(2a-a)= a(a+1)$
$ \Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+1}\leq \sum \frac{1}{a(a+1)}$ . Ta sẽ CM :$ \sum \frac{1}{a(a+1)}\leq \frac{3}{2abc}$
BĐT : $ \Leftrightarrow \sum \frac{bc}{abc(a+1)}\leq \frac{3}{2abc}\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a+1}\leq \frac{3}{2}$
Cái này đúng vì theo Mr.Cauchy thì :
$ \sum \frac{bc}{a+1}= \sum \frac{bc}{\sqrt{a+1}.\sqrt{a+1}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{b^{2}}{a+1}+\frac{c^{2}}{a+1})\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})$
$ = \frac{1}{2} (\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b})$
$ = \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})= \frac{3}{2}$
Vậy BĐT đc CM .
#308309 Trong mặt phẳng cho 8045 điểm
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 05-04-2012 - 11:43 trong Hình học
Bài 5.2:
Gọi X là tập hợp các điểm đã cho trước.
Trong các tam giác có 3 đỉnh thuộc tập X, ta chọn $\vartriangle ABC$ là tam giác có diện tích lớn nhất.
Các đường thẳng qua A,B,C thứ tự song song với BC,CA,AB đôi một cắt nhau tại D,E,F như hình vẽ.
Ta chứng minh mọi điểm của tập X đều nằm trong $\vartriangle DFE$, kể cả trên cạnh.
Giả sử, có 1 điểm M thuộc tập X sao cho M nằm ngoài $\vartriangle DFE$. Không mất tính tổng quát, giả sử vị trí của M nằm như hình vẽ.
Vẽ MA cắt FD tại H.
$S_{MAC}>S_{CAH}=S_{CAB}$: trái với cách chọn $\vartriangle ABC$ ban đầu.
Vậy ta có mọi phần tử của X đều nằm trong $\vartriangle DFE$ nên chúng nằm trong 1 trong 4 tam giác: ABC,ABF,ACE,BCD.
Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 1 tam giác chứa 2012 điểm.
Lại có $S_{ABC}=S_{ABF}=S_{ACE}=S_{BCD}<1$ nên ta có đpcm.
#308649 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012 .
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-04-2012 - 21:51 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 1 (3 điểm )
1. Cho $ f(x)= \frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$ . Hãy tính giá trị của biểu thúc sau :
$ A= f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+...+f(\frac{2010}{2012})+f(\frac{2011}{2012})$
2.Cho biểu thúc :
$ P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^{2}-\sqrt{x}}$
Tìm tất cả các giá trị của $ x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm )
Tìm tất cả các cặp số nguyên duong $ (x;y)$ thỏa mãn $\ (x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$.
Câu 3 (1,5 điểm )
Cho $\ a,b,c,d$ là các số thục thỏa mãn điều kiện :
$ abc+bcd+cda+dab= a+b+c+d+\sqrt{2012}$
CMR : $ (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$ .
Câu 4 (3 điểm )
Cho 3 đuòng tròn ($O_1$), ($O_2$) và ($O$) . Giả sủ ($O_1$) và ($O_2$) tiếp xúc ngoài vs nhau tại $I$ và cùng tiếp xúc trong vs ($O$) tại $M_1$ , $M_2$ . Tiếp tuyến của ($O_1$) tại $I$ cắt ($O$) tại $A$ , $A'$. $A$$M_1$ cắt lại ($O_1$) tại điểm $N_1$, $A$$M_2$ cắt lại ($O_2$) tại điểm $N_2$ .
1. CMR : tú giác $M_1$$N_1$$N_2$$M_2$ nội tiếp và $O$$A$ vuông góc vs $N_1$$N_2$.
2. Kẻ đuòng kính $P$$Q$ của ($O$) sao cho $P$$Q$ vuông góc vs $I$$A$ ( điểm $P$ nằm trên cung $A$$M_1$ ko chúa điểm $M_2$ ) .CMR : Nếu $P$$M_1$ và $Q$$M_2$ không song song thì $A$$I$, $P$$M_1$ và $Q$$M_2$ đồng quy .
Câu 5 ( 1 điểm )
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều đc tô màu , trong đó mỗi điểm đc tô bỏi 1 trong 3 màu xanh, đỏ, tím. CMR : luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác màu .
#308654 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012 .
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-04-2012 - 21:57 trong Tài liệu - Đề thi
Ngày thi : 06/04/2012
Đề khó vật ! ! Chả biết các mem noi khác làm bài thế nào ?
#308699 Đề thi HSG khối 9 thành phố Hải Phòng 2011-2012 Bảng A
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 07-04-2012 - 06:18 trong Tài liệu - Đề thi
#308826 Đề thi HSG khối 9 thành phố Hải Phòng 2011-2012 Bảng A
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 07-04-2012 - 20:28 trong Tài liệu - Đề thi
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có :
$3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}= [\frac{(a+b+c)2}{a+b+c}]\leq (\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a})^{2}$
$=(\sum \frac{a^{2}}{b\sqrt{b(c+2a)}}.\sqrt{bc+2ca})^2\leq VT.3(ab+bc+ca)\Rightarrow VT\geq 1$
#309882 Cho a+b+c=1 a,b,c >0 CMR $\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 12-04-2012 - 18:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có :Cho $a+b+c=1$
$a$, $b$, $c$ $>0$
CMR:
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\leq \frac{3}{2}$
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}= \sum \sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}= \sum \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\sum (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})= \frac{3}{2}$
#310435 Với a,b,c là các số thực t/mđẳng thức a+b+c=0.CMR: $2.(a^{5}+b^{5}+c^{5}...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 14-04-2012 - 22:14 trong Đại số
Tù $a+b+c=0\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}= 3abc$Với a,b,c là các số thực t/mđẳng thức a+b+c=0.CMR:
$2.(a^{5}+b^{5}+c^{5})=5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})= 3abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \sum a^{5}+\sum a^{3}(b^{2}+c^{2})= 3abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ (1)
$a+b+c= 0\Leftrightarrow -a= b+c\Leftrightarrow a^{2}= b^{2}+c^{2}+2bc\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}-2bc$
$(1)\Leftrightarrow \sum a^{5}+\sum a^{3}(a^{2}-2bc)= 3abc\sum x^{2}$
$(1)\Leftrightarrow \sum a^{5}+\sum a^{5}-2\sum a^{3}bc= 3abc\sum a^{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{5}= 3abc\sum a^{2}$ (đpcm )
#310442 $2\sum a^{4}+4\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum ab(a^{2}+b^{...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 14-04-2012 - 22:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thục ko âm .
CMR : $2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})+3bc(b^{2}+c^{2})+3ca(c^{2}+a^{2})$.
#312861 Kosovo Team Selection Test 2012
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 26-04-2012 - 21:09 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Câu 1. Nhận thấy sau mỗi lần xé số mảnh giấy tăng lên 1 số là bội của $18-1=17$ nên tổng số giấy sẽ chia 17 du 1.
Câu 1.
Một học sinh có $18$ tờ giấy. Anh ta chọn ra một số tờ, sau đó cắt mỗi tờ trong số vừa chọn thành $18$ mảnh. Anh ta lại lấy một số mảnh và một lần nữa cắt mỗi mảnh thành $18$ mảnh. Anh ta cứ tiếp tục như thế cho đến khi mệt. Sau một thời gian, anh ta đếm lại và thấy có $2012$ mảnh. Chứng minh rằng học sinh đã sai trong quá trình kiểm đếm.
Câu 2.
Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.
Câu 3
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
$$ (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}) = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$$
Câu 4.
Mỗi số hạng tiếp theo của dãy $1,0,1,0,1,0,...$ đều là chữ số hàng đơn vị của tổng $6$ số hạng liền trước nó. Chứng minh rằng trình tự $...0,1,0,1,0,1,...$ không bao giờ xảy ra trong dãy.
Câu 5
Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
\[ \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \]
Mà 2012 chia 17 du 6 nên anh này đếm sai rồi !
#313083 Cho $a,b,c \in (0;1]$ . Chứng minh rằng : $$\d...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 28-04-2012 - 05:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
#314231 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 04-05-2012 - 09:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 345.Bài 344.
Với $a, b, c, d >0$ Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}$$
Bài 345.
Cho $a, b, c \in [1.2]$ . Chứng minh rằng :
$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\le 7abc$$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}\leq 7$
$\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\leq 7\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
Đến đây bài này quen rồi !
#314702 $$\dfrac{a+b}{1-ab}+\dfrac{b+c}{1-bc}+\dfrac{c+a}{1-...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-05-2012 - 14:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chuẩn bị một số bài, mong rằng tối nay mọi người sẽ có việc để thư giãn
Bài toán 3.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{a^2+bc}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{b^2+ca}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{c^2+ab}{(c+a)(c+b)}$$
Bài toán 3.
BĐT $\Leftrightarrow \frac{\sum a(a+b)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a^{2}+bc)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum (a^{3}+a^{2}b+a^{2}c+abc)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+c^{2}b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum a^{3}+\sum ab(a+b)+3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2\sum ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\Leftrightarrow \sum a^{3}+\sum ab(a+b)+3abc\geq 2\sum ab(a+b)$
$\Leftrightarrow \sum a^{3}++3abc\geq \sum ab(a+b)$
( luôn đúng vì Schur )
MOD: Chỉ trích dẫn những chỗ cần thiết. Trích lại toàn bộ rất mất thẩm mỹ.
#314704 \[\sum {\frac{1}{{a + b}}} \ge \sum {\frac{a}{...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-05-2012 - 15:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{a^{2}+bc}-\frac{1}{b+c})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{ab+ac-a^{2}-bc}{(a^{2}+bc)(b+c)}\geq 0$Cho 3 số dương a,b,c
$\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b} \leq \frac{a}{a^{2}+bc} + \frac{b}{b^{2}+ca} + \frac{c}{c^{2}+ab}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)(a-c)}{(a^{2}+bc)(b+c)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a-c)}{(a^{2}+bc)(b+c)}+\frac{(b-c)(b-a)}{(b^{2}+ac)(a+c)}+\frac{(c-a)(c-b)}{(c^{2}+ab)(a+b)}\geq0$
Dễ thấy : $\frac{1}{(a^{2}+bc)(b+c)}$ , $\frac{1}{(b^{2}+ca)(c+a)}$ , $\frac{1}{(c^{2}+ab)(a+b)}$
là 1 bộ đon điệu .
Do đó BĐT đúng theo BĐT Schur suy rộng ( vonicur schur ) .
-----
p/s : ko cảm thấy tụ tin vs lòi giải này lắm !
#314726 $$\dfrac{a+b}{1-ab}+\dfrac{b+c}{1-bc}+\dfrac{c+a}{1-...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-05-2012 - 18:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chuẩn bị một số bài, mong rằng tối nay mọi người sẽ có việc để thư giãn
Bài toán 4.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+1=4abc$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}$$
Chúc mọi người có một buổi tối vui vẻ !
GT $\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}= 4$
Đặt $\frac{1}{a}= x$ , $\frac{1}{b}= y$ , $\frac{1}{c}= z$ .
GT $\Leftrightarrow xy+yz+zx+xyz= 4$
Ta fải CM : $x+y+z\geq 3\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$
(*) CM : $x+y+z\geq 3$ .
Đặt $x+y+z= t$ .
Tù GT $\Rightarrow 4= xy+yz+zx+xyz\leq \frac{t^{2}}{3}+\frac{t^{3}}{27}\Leftrightarrow t^{3}+9t^{2}-108\geq 0\Leftrightarrow (t+6)^{2}(t-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq 3$
(*) CM : $3\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$
Đặt $\sqrt{xy}= m,\sqrt{yz}= n,\sqrt{zx}= t\Rightarrow m^{2}+n^{2}+p^{2}+mnp= 4$
Thao nguyên tắc dirichlet Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng > hoặc < 1.
Giả su là m và n $\Rightarrow (m-1)(n-1)\geq 0\Leftrightarrow m+n\leq mn+1$ (1)
Mà $4=m^{2}+n^{2}+p^{2}+mnp\geq 2mn+mnp+p^{2}\Leftrightarrow 4-p^{2}\geq mn(2+p)$$\Rightarrow 2-p\geq mn\Leftrightarrow p\leq 2-mn$ (2)
Cộng (1) vs (2) đc ngay !
Tóm lại bài toán đc Cm hoàn toàn !
-----------
Hơi dài nhể !
#315808 $\sum \sqrt{a^{3}+a} \geq 2\sqrt{a+b+c}$
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 11-05-2012 - 15:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 : Cho $x,y,z> 0$ . CMR : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+6\geq (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Bài này tự chế !
Bài 2 : Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca= 1$. CMR :
$\sqrt{a^{3}+a}+\sqrt{b^{3}+b}+\sqrt{c^{3}+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$
------------------
Wow , em yêu ảo lòi !
#315810 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 11-05-2012 - 15:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cai' này là Iran 96 đúng ko nhi?Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------
#315881 $\sum \sqrt{a^{3}+a} \geq 2\sqrt{a+b+c}$
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 11-05-2012 - 20:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đây chính là BĐT Schur bậc -2Bài 2, khai triển và bất đẳng thức trên quy về:
$\sum \frac{(z-x)(z-y)}{z^2}\geq 0$
Từ đây giả sử $x\leq y\leq z$
Thì bất đẳng thức trên đúng theo Schur suy rộng
#317708 Cho 3 số dương x,y,z thỏa $x+y+z=6$. CMR $x^2 +y^2 +z^2-xy-yz-...
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 18-05-2012 - 21:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 3 số dương x,y,z thỏa $x+y+z=6$. CMR
$x^2 +y^2 +z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$
Đặt $ x+y+z=p$ , $ xy+yz+zx=q$ , $\ xyz=r$
$ BDT\Leftrightarrow p^{2}-3q+r\geq 8$ $ \Leftrightarrow 36-3q+r\geq 8\Leftrightarrow 28-3q+r\geq 0$
Ta sẽ CM :$28-3q+r\geq 0$ (1)
Tù BĐT quen thuộc : $ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$
Ta rút ra đc : $ r\geq \frac{4pq-p^{3}}{9}$ $ \Rightarrow r\geq \frac{8}{3}q+24$
Suy ra : $ VT\geq 28-3q+\frac{8}{3}q-24= 4-\frac{q}{3}$
Ta có BĐT quen thuộc : $ xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 12\Rightarrow q\leq 12$
Do đó : $ VT\geq 4-\frac{q}{3}\geq 4-\frac{12}{3}= 0$
Suy ra : (1) đúng $\ \Rightarrow BDT$ đúng.
Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=z=2$ .
#317735 Tìm GTLN của $$A=\sum \frac{x}{x^2+yz}$$
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 18-05-2012 - 21:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
GT $\Leftrightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 1$Tìm GTLN của biếu thức biết $x,y,z$ là các số thực dương và $x^2+y^2+z^2=xyz$
$$A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}$$
$A= \sum \frac{x}{x^{2}+yz}\leq\sum \frac{x}{4}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{yz})= \sum \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{x}{yz})$
$= \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy})= \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1)$
Theo AM-GM : $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq \frac{2}{z}$
$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{2}{x}$
$\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\geq \frac{2}{y}$
$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 1$
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{4}.(1+1)= \frac{1}{2}$
Dấu "=" khi $x=y=z=3$ .
#318091 Bosnia and Herzegovina TST 2012
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 20-05-2012 - 13:22 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Tù đây có cách khác nhanh hon :[/right]
SOLUTION:
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\sum {\frac{{{a^3}}}{{{b^2} + c}} = \sum {\frac{{{a^4}}}{{a{b^2} + ca}}} } \ge \frac{{{{\left( {\sum {{a^2}} } \right)}^2}}}{{\sum {a{b^2}} + \sum {ab} }} = \frac{1}{{\sum {a{b^2}} + \sum {ab} }}$
Và có: $\sum {ab} \le \sum {{a^2}} = 1$
Cần chứng minh: $\sum {a{b^2}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Đặt $x = a\sqrt 3 ;y = b\sqrt 3 ;z = c\sqrt 3 \to x,y,z > 0\& \sum {{x^2}} = 3$
Như vậy cần chứng minh:$\sum {x{y^2}} \le 3$
Ta có hệ quả quen thuộc sau:
Với x,y,z >0 thỏa $\sum {{x^2}} = 3$ thì:
$\sum {x{y^2}} \le xyz + 2$
Và áp dụng AM-GM: $\sum {{x^2}} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \Rightarrow xyz \le 1$
=>$\sum {x{y^2}} \le 1 + 2=3$
=> $Q.E.D$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c$ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
--------
P/S: Vì vội nên phải làm ngắn gọn, mọi người thông cảm nhé
--------
$(\sum xy^{2})^{2}= (\sum x.xy)^{2}\leq \sum x^{2}.\sum x^{2}y^{2}\leq \sum x^{2}.\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}= 9$
$\Rightarrow \sum xy^{2}\leq 3$
#320180 Trận 15 - "MSS22 nth1235" VS ALL
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 28-05-2012 - 09:54 trong Thi giải toán Marathon cấp THCS 2012
Lâu ko vào MSS chém tj'Do MSS22 không post đề đúng thời hạn nên BTC đưa ra đề dự bị như sau:
Với $x,y,z$ là các tham số dương cho trước, giải hệ pt sau trên tập số dương:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
ax + by + cz = xyz \\
\sqrt {a + b} + \sqrt {a + c} + \sqrt {b + c} =x+y+z \\
\end{array} \right.
\]
Tù pt đầu $\Rightarrow \frac{a}{xy}+\frac{b}{yz}+\frac{c}{zx}= 1$
$\Rightarrow \frac{a}{yz}+\frac{b}{zx}< 1\Leftrightarrow ax+by< xyz\Rightarrow z> \frac{a}{y}+\frac{b}{x}$
Tuong tụ : $x> \frac{b}{z}+\frac{c}{y}$ , $y> \frac{a}{z}+\frac{c}{x}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta đc :
$2(x+y+z)> \frac{b}{z}+\frac{c}{y}+ \frac{a}{z}+\frac{c}{x}+\frac{a}{y}+\frac{b}{x}+x+y+z$
$= (\frac{a+b}{z}+z)+(\frac{b+c}{x}+x)+(\frac{c+a}{y}+y)$
$\geq 2( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$
$\Rightarrow x+y+z> \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Vì dấu "=" ko xảy ra nên mâu thuẫn vs PT thú 2 của hệ .
Vậy hệ PT đã cho vô nghiệm .
Bài giải chính xác. Chuẩn ko cần chỉnh
D - B = 24h
E = 10
F = 0
S = 54
- Diễn đàn Toán học
- → Secrets In Inequalities VP nội dung