Tớ nghĩ đề bài phải là số thực dương vì nếu không phải thì thử thay a=(-1) ,b=1,c=1 vào mà xem
$\rightarrow 15 \leq 7$ ( luôn sai) :|

Áp dụng bđt quen thuộc: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab + bc + ca$
Áp dụng AM-GM, ta có:

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}= \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Ngược đấu rồi bạn ơi

Đặt a=1/x, b=1/y, c=1/z. Khi đó x+y+z=xyz.
bdt<=>$\frac{x^2y}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{z^2x}{z+x}\geq \frac{9}{2}$.
Theo AM-GM ta có: $\frac{x^2y}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{z^2x}{z+x}\geq\frac{9xyz}{2x+2y+2z}=\frac{9}{2}$
Từ đó có đpcm!
ok?

Theo AM-GM ta có: $\frac{x^2y}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{z^2x}{z+x}\geq\frac{9xyz}{2x+2y+2z}=\frac{9}{2}$
Bạn có thế nói rõ hơn dc không tớ thì tính được ntn cơ :
$\frac{x^2y}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{z^2x}{z+x}\geq\frac{3\sqrt{xyz}}{2x+2y+2z}$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{\frac{x^{3}y^{3}z^{3}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\geq \frac{xyz}{\frac{2(x+y+z)}{3}}=9\frac{xyz}{2x+2y+2z}$

Hình như thiếu phải là:
$\Rightarrow 3\sqrt[3]{\frac{x^{3}y^{3}z^{3}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\geq 3\frac{xyz}{\frac{2(x+y+z)}{3}}=9\frac{xyz}{2x+2y+2z}$

Cho$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} =1$
Tính $\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} +\frac{c^2}{a+b} $

Theo mình cứ học theo hứng thú thôi , không làm dc thì lằm bài nào mình làm dc:D
Làm vừa tầm để vừa học nhanh nhớ lâu , rồi cứ từng bước 1 mà học nhanh nhớ lâu thôi

Cho hình vuông $ABCD$, $M$ là điểm tùy ý trên đường chéo $AC$. $E$ và $F$ lần lượt là các hình chiếu hạ từ $M$ xuống $AD$, $DC$. CMR: $BM \perp EF$

Từ M kẻ MI $\perp$ AB, lấy MB$ \cap EF ={O}$
Dẽ dàng cm $\Delta EMF = \Delta IMB$ (cgc)
$\rightarrow \angle EFM = \angle MBI$ ( 2 góc tương ứng)
$\rightarrow \Delta MOF \sim MIB ( g-g)$
$\rightarrow$ DPCM

tìm GTLN của P:
P = $\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} .\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}\sqrt{3}}}}$

Bạn ơi , đây có phải là bài trong bộ 100 đề thi chuyên ngữ phần 1 đề 3 đúng không , nếu phải thì đề phải như thế này
P = $\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} .\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$

Theo mình đề bài phải là tính giá trị của P chứ?

Đúng vậy , phải là tính Giá trị của P
-------------------------------------------------------
Bài làm :
nhân P với $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$ rồi sử dụng hdt số 3 , giải như bình thường sau đó

Đề của trọng tài:

Bài 1: Cho $49c\ge a\ge b\ge c>0$. Chứng minh:
$$a+4b+7c\le 4\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right)$$

Bài 2: Cho các số không âm $x,y$. Chứng minh:
$$\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge \frac{5}{8}$$


Chú ý: Chỉ cần giải 1 trong 2 bài.
Không sử dụng các phương pháp vượt quá chương trình THCS.
Thời gian làm bài được tính từ 12 giờ ngày 4 tháng 6 năm 2012.

Ta xét y = 0 $\rightarrow$ Bất đẳng thức cần chứng minh $\leftrightarrow$ 1+0=1 $\geq \frac{5}{8}$( luôn đúng)
Ta xét x = 0 $\rightarrow$ Bất đẳng thức cần chứng minh $\leftrightarrow$ 1+0=1 $\geq \frac{5}{8}$( luôn đúng)
Khi y $\neq$ 0 , ta đặt $\sqrt{\frac{x}{y}}$ =a (a > 0)

Bất đẳng thức cần chứng minh:
$\leftrightarrow \frac{\frac{x^4 + y^4}{y^4}}{\frac{(x+y)^4}{y^4}} +\frac{\sqrt{xy}}{\frac{x}{y} +1} \ge \frac{5}{8}$
$\leftrightarrow \frac{a^8 +1}{(a^2+1)^4} +\frac{a}{a^2 +1} \ge \frac{5}{8}$
$\leftrightarrow \frac{a^8 +1}{(a^2+1)^4} +\frac{a(a^2 +1)^3}{(a^2 +1)^4} \ge \frac{5}{8}$
$\leftrightarrow \frac{a^8 +1 +a(a^2 +1)^3}{a^2 +1)^4}\ge \frac{5}{8}$
Quy đồng lên ta có :
$\leftrightarrow 8(a^8 +1 +a(a^2 +1)^3) \geq 5(a^2 +1)^4 $
$\leftrightarrow 8(a^8 +1+a^7 +3a^5 +3a^3 +a ) \geq 5(a^8 +4a^6 +6a^4 +4a^2 +1)$
$\leftrightarrow 8(a^8 +1+a^7 +3a^5 +3a^3 +a ) - 5(a^8 +4a^6 +6a^4 +4a^2 +1) \geq 0$
$\leftrightarrow 3a^8 + 8a^7 -20a^6 +24a^5 -30a^4 +24a^3 -20a^2 +8a +3 \geq 0$
$\leftrightarrow (3a^8 -3a^7) +(11a^7 -11a^6) -(9a^6 -9a^5)+(15a^5 -15a^4)-(15a^4 -15a^3)+(9a^3 -9a^2)-(11a^2 -11a^1)-3(a-1)\geq 0$
$\leftrightarrow (a-1)(3a^7 +11a^6 -9a^5 +15a^4 -15a^3 +9a^2 -11a -3) \geq 0$
$\leftrightarrow (a-1)[(3a^7 -3a^6) +(14a^6 -14a^5)+(5a^5 -5a^4)+(20a^4 -20a^3)+ (5a^3 -5a^2)+(14a^2 - 14a^1)+3(a-1)] \geq 0$
$\leftrightarrow (a-1)^2 (3a^6 +14a^5 +5a^4 +20a^3 +5a^2 +14a +3) \geq 0$
Ta có $(a-1)^2 \geq 0 $
$a>0 \Rightarrow 3a^6 +14a^5 +5a^4 +20a^3 +5a^2 +14a +3 \geq 0$
Do đó $\rightarrow$ ĐPCM ,dấu "=" sảy ra $\leftrightarrow a=1 \leftrightarrow \sqrt\frac{x}{y} =1 \leftrightarrow x=y$ $\leftrightarrow Q.E.D$

D-B=27.5h
E=10
F=0
S=50.5

AI đó định nghĩa cho mình đường gấp khúc khép kín trong bài này được hiểu là j đi:
Nếu phải thành 1 đa giác thì bài có vẻ sai đề :S

Cho ∆ABC nhọc có trực tâm H & $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. Gọi M,N,P lần lượt là chân các đường cao kẻ từ A,B,C của ∆ABC & I là trung điểm BC.
1) C/m: ∆TNP đều.

T là điểm nào hả bạn =="

Mình xin chém bài chuyển động :
Gọi vận tốc của xe máy là x (x>0) vận tốc ôto là y (y>0)
Vậy thời gian 2 xe gặp nhau là $\frac{210}{x+y}$
Ta có phương trình :
$(\frac{210}{x+y}+4).x +(\frac{210}{x+y} + 2.25).y =420$
Giải phương trình trên kết hợp với DK , ta $\rightarrow$ DPCM

Nhân hai thừa số đầu và hai t/số cuối ta có:
$(a^2+2)(b^2+2)=(ab)^2+2(a^2+b^2)+4=[(ab)^2-2ab+1]+2(a^2+b^2)-2ab+3$
$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)\geq 2(a+b)^2-2ab+3 vì (ab-1)^2\geq 0$ (1)
ta có bdt :$(a+b)^2 \geq 4ab đặt a+b=x \Rightarrow x^2\geq 4ab\Rightarrow 2ab\leq \frac{x^2}{2}\rightarrow -2ab\geq \frac{-x^2}{2}$ (2)

Đỏ gõ sai mà làm theo cái sai coi như sai tuốt
P/S cố nghĩ cách khác đi chj

$(ab-1)^2 + 2(a+b)^2 - 2ab + 3$
$=(ab)^2 - 2ab + 1 + 2(a^2+b^2) + 4ab - 2ab + 2 + 3$
$=(ab)^2 +2(a^2+b^2)+6$

Bạn ơi , nhàm rồi phải là $(ab-1)^2 + 2(a^2+b^2) - 2ab + 3$ chứ

Câu 1: Cho $ a>0 $, $b>0$, $c>0$. Chứng minh rằng:
$$ \frac{{a^3+b^3}}{{2ab}} + \frac{{b^3+c^3}}{{2bc}} + \frac{{c^3+a^3}}{{2ac}} \ge a+b+c $$

Câu 2: Cho $ x + y + z = 2 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết:

$ A = \frac{{x^2}}{{x-2}} + \frac{{y^2}}{{y-2}} + \frac{{z^2}}{{z-2}} $

Mọi người vào làm giúp mình. Mai mình phải thi toán rồi. Mình cám ơn trước

Câu 2 nè
$A \geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z -6} = \frac{4}{-4} =-1 $
vậy Min A = -1 dấu = sảy ra $\leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$

C1:
$Ta co b+c =(b+c)[a+(b+c)]^2 \geq (b+c)4a(b+c)=4a(b+c)^2$
ma :$(b+c)^2 \geq 4bc \rightarrow 4a(b+c)^2 \geq 4a .4bc =16abc$
$\rightarrow Q.E.D$
C2
$b+c \geq 16abc \leftrightarrow b+c \geq 16bc(1-b-c)$
$\leftrightarrow b+c\geq 16bc -16b^2 c -16bc^2$
$\leftrightarrow c(16b^2 -8b +1)+b(16c^2 -8c +1) \geq 0$
$\leftrightarrow c(4b-1)^2 +b(4c-1)^2 \geq 0 ( luon dung)$
c3
dat $b+c\geq 16abc$ (1)
$(1) \leftrightarrow b+c\geq 16bc(1-b-c) =16bc -16bc(b+c)$
$\leftrightarrow (b+c) +16bc(b+c) \geq 16bc$
$\leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$(2)
ta cm (2)
$(b+c)^2 \geq 4bc,(1+16bc)^2 \geq 4.16bc$
$\rightarrow (b+c)^2 (1+16bc)^2 \geq 4bc.4.16.bc = (16bc)^2$
$\rightarrow (b+c)(1+16bc) \geq 16bc$
(2) va (1) $\rightarrow$ Q.E.D

Cho ad-bc=1 CMR$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 +ac+bd \geq \sqrt{3}$
-------------------------------------------
Đề Thi HSG quận Cầu Giấy năm 2007 -2008

Bài 1 : Đúng 6 giờ sáng một xe đạp xuất phát từ A để đến B và đúng 7giờ sáng cùng ngày một người đi ô tô xuất phát từ B để đến A, 16 phút sau khi gặp nhau người đi ô tô về đến A và 1 giờ 40 phút sau khi gặp người đi xe đạp về đến B. Hỏi mỗi người đã đi hết quãng đường AB mất bao lâu ? Biết vận tốc mỗi người không đổi trong suốt quãng đường

Mình xin chém bài 1 :
Gọi vân tốc xe đạp là x , vận tốc oto là y(x,y>0)
Ta có 2 phương trình :
$\frac{4y}{15} +\frac{5x}{3} =AB$ (1)
$\frac{\frac{AB-x}{x+y}+\frac{5}{3}}{\frac{AB-x}{x+y} +\frac{4}{15}} =\frac{y}{x}$
Giải phương trình ta sẽ tìm được $\frac{x}{y}=?$ rồi sau đó ép vào pt (1) $\rightarrow$ $Q.E.D$

cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz-$\large \frac{16}{x+y+z}$
tính giá trị nhỏ nhất của P=(x+y)(x+z)

Thỏa mãn j vậy bạn
"="chứ

Bạn tham khảo đây nè
http://www.wolframal...%28x%2B9%29%5E2
___
Cái này có liên quan gì tới giải phương trình này đâu em?

2/Cho$\Delta$ đều ABC nội tiếp trong (O;R).
a;Tính theo R diện tích phần của hình tròn ở bên ngoài $\Delta$ABC.
b;Gọi M là 1 điểm di động trên cung nhỏ BC,trên tia MA lấy MD=MB.Cmr:$\Delta$MBD đều.
c;Gọi I là giao điểm của MA và BC.Cmr:$\frac{1}{MI}=\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}$
d;D di động trên đường nào.
e;Tìm vị trí của M sao cho tổng S=MA+MB+MC lớn nhất.Tính max S theo R
f;Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tổng$\frac{1}{MI}+\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}$ nhỏ nhất.
g;Tính tổng $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ theo R

a,Dẽ dàng cm :
$Đường cao \Delta ABC =\frac{3}{2}r =\frac{\sqrt3}{2} a$
$\rightarrow S\Delta ABC = \frac{\sqrt{3} .r^2}{4}$
$\rightarrow$ diện tích phần của hình tròn ở bên ngoài $\Delta$ABC =$r^2$ .3,14 - $\frac{\sqrt{3} .r^2}{4}=r^2 .(3,14 -\frac{\sqrt{3}}{4})$

2/Cho$\Delta$ đều ABC nội tiếp trong (O;R).
a;Tính theo R diện tích phần của hình tròn ở bên ngoài $\Delta$ABC.
b;Gọi M là 1 điểm di động trên cung nhỏ BC,trên tia MA lấy MD=MB.Cmr:$\Delta$MBD đều.
c;Gọi I là giao điểm của MA và BC.Cmr:$\frac{1}{MI}=\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}$
d;D di động trên đường nào.
e;Tìm vị trí của M sao cho tổng S=MA+MB+MC lớn nhất.Tính max S theo R
f;Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tổng$\frac{1}{MI}+\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}$ nhỏ nhất.
g;Tính tổng $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ theo R

D, Dẽ dàng cm $\angle BDA$ =$120^o$
$\rightarrow$ quy tich điểm D , là cung nhìn cạnh BA với góc không đổi là $120^o$
Bổ sung thếm dễ dàng cM)
Lấy I đối xứng O qua AB $\rightarrow$ D nằm trên phần đường tròn tâm I' bán kính R chắn bởi dây BA

Tiếp câu e
MA <M'A
Ta Cm MB +MC<M'B +M'C
Thật vậy( xem hình 2)
Ta thấy M chuyển động trên cung BC thì :$\angle BMC =\angle BM'C$
M'C+ M'B >BD
Dễ dàng Cm $\Delta MDC$ đều
$\rightarrow$ BM+MC <M'B +M'C
Vậy MA +MB +MC < M'A +M'B +M'C
Vậy S MAx là =M'A +M'B +M'C =4R
$\leftrightarrow$ M nằm ở vị trí M' .
Hình 1
Hình 2

Vậy rốt cục M' là nằm ở vị trí nào vậy

Ở 1/2 cung BC

Tiếp câu f:
VÌ AM' >AM mà AI'' <AI ( hình chiếu và đường vuông góc) $\rightarrow$ M'I'' >MI
$\frac{1}{MI} +\frac{1}{MB} +\frac{1}{MC} \geq \frac{9}{MI+MC+MB}$ > $\frac{9}{M'I'' +M'B +M'C} =\frac{9}{2,5r}=\frac{3,6}{r}$
Vậy $\rightarrow$ DPCM