Bài 2,
Nếu lỡ may đề không cho trùng hợp khi chạy biến thì sao

Bạn ak, những bài như thế này thường thường là đề thi tỉnh hoặc đề thi khu vực, mà đã là những đề thi như thế thì chắc chắn người ta sẽ không ra bài mà khi chạy biến lại không trùng hợp đâu. Thường thường người ra đề hay đi từ kết quả của bài toán mới đi ngược lại đề. Nên chuyện đó là rất hiếm!

Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\geq 2$

Cho: $xyz=1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z$. Tính $A=(x^{19}-1)(y^{5}-1)(z^{2012}-1)$

Cho $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}-\frac{z}{c}=-2$ và $\frac{a}{x}-\frac{b}{y}-\frac{c}{z}=0$. Tính $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$

Cho $a,b,c,x,y,z\neq 0$ và $\frac{x^2-6yz}{a}=\frac{4y^2-3zx}{2b}=\frac{9z^2-2xy}{3c}$
Chứng minh rằng: $\frac{a^2-6bc}{x}=\frac{4b^2-3ca}{2y}=\frac{9c^2-2ab}{3z}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$
Chứng minh rằng: $a^{2011}+\frac{1}{b^{2012}}=b^{2011}+\frac{1}{c^{2012}}=c^{2011}+\frac{1}{a^{2012}}$

Mọi người ơi cho mình hỏi tí, tại sao mình cài mathtype và làm theo hướng dẫn tích mathtype vào word 2010 rồi nhưng sao nó vẫn cứ hiện ra bảng sau, và mở mathtype lên thì nó vẫn như thế.

Rút gọn: $\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^4}+\frac{1}{1+x^8}+\frac{1}{1+x^{16}}$

Sử dụng tỉ lệ thức của lớp 7.
$$\begin{array}{l} \frac{x^2-6yz}{a}= \frac{4y^2-3xz}{2b}= \frac{9z^2-2xy}{3c} \\ \Rightarrow \frac{(x^2-6yz)^2}{a^2}= \frac{(4y^2-3zx)(9z^2-2xy)}{6bc}= \frac{(x^2-6yz)^2-(4y^2-3zx)(9z^2-2xy)}{a^2-6bc}= \frac{x}{a^2-6bc} \\ = \frac{(4y^2-3xz)^2}{4b^2}= \frac{(x^2-6yz)(9z^2-2xy)}{3ac}= \frac{(4y^2-3xz)^2-(x^2-6yz)(9z^2-2xy)}{4b^2-3ca}= \frac{2y}{4b^2-3ca} \\ = \frac{(9z^2-2xy)^2}{9c^2}= \frac{(x^2-6yz)(4y^2-3xz)}{2ab}= \frac{(9z^2-2xy)^2-(x^2-6yz)(4y^2-3xz)}{9c^2-2ab}= \frac{3z}{9c^2-2ab} \end{array}$$
Do đó $$\frac{a^2-6bc}{x}=\frac{4b^2-3ca}{2y}=\frac{9c^2-2ab}{3z}$$

Bạn ơi, chỗ này đâu có bằng nhau $\frac{(x^2-6yz)^2-(4y^2-3zx)(9z^2-2xy)}{a^2-6bc}= \frac{x}{a^2-6bc}$
Nó phải như thế này chứ: $\frac{(x^2-6yz)^2-(4y^2-3zx)(9z^2-2xy)}{a^2-6bc}= \frac{x(x^3+8y^3+27z^3-18xyz)}{a^2-6bc}$

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $a^{1003}+b^{1003}$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB=2a$. $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ sao cho $OH//AB; OH=c$. Đường thằng $CH$ cắt $AB$ tại $D$. Tính $OD$ theo $a$ và $c$

Giải phương trình nghiệm nguyên $13\sqrt{x}-7\sqrt{y}=\sqrt{2000}$

Phương trình đã cho tương đương với: $13\sqrt{x}-7\sqrt{y}=20\sqrt{5}$
Đặt: $\sqrt{x}=a\sqrt{5}\geq 0;\sqrt{y}=b\sqrt{5}\geq 0$ với $a,b\in \mathbb{Z}^+$
$\Rightarrow 13a-7b=20$
$\Rightarrow a=\frac{20+7b}{13}=1+\frac{7(b+1)}{13}$
Do $a\in \mathbb{Z}^+$ và $(7;13)=1$ nên $13|b+1$
Đặt $b+1=13t (t\in \mathbb{Z}^+)$
$\Rightarrow b=13t-1$ và $a=7t+1$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5(1+7t)^2\\ y=5(13t-1)^2 \end{matrix}\right.$ với $t\in \mathbb{Z}^+$

Xem lại đề bạn nhé. $a^{3}+b^{3}+c^{3}=abc$ mà.

Bạn xem lại đề bài đi, bài này không thể làm được với điều kiện đó đâu

$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$
$\Leftrightarrow a-b=\frac{b-c}{bc}$
Tương tự ta có:
$\Leftrightarrow b-c=\frac{c-a}{ca}$
$\Leftrightarrow c-a=\frac{a-b}{ab}$
Do đó:
$(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-c)(b-c)(c-a)}{(abc)^2}$
$\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)(a^2b^2c^2-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=b=c \\ a^2b^2c^2=1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=b=c \\ abc=1 \end{array} \right.$ $(abc\neq -1$ vì $a,b,c>0)$
Trường hợp 1: $a=b=c$
Ta có: $a^{2011}+\frac{1}{b^{2012}}=b^{2011}+\frac{1}{c^{2012}}=c^{2011}+\frac{1}{a^{2012}}$ $($vì $a=b=c)$
Trường hợp 2: $abc=1$
Theo mình nghĩ chỗ này cần thêm điều kiện $a,b,c\in N,$ chứ nếu đề không có điều kiện này, ta thử 3 số $a=0,25;$ $b=2;$ $c=2$ thì thay vào trái với đpcm.

Nếu có thêm điều kiện $a,b,c\inN$ thì làm tiếp thế nào bạn?

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$$