CMR:
$\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}$

giải như sau:
$\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}\Leftrightarrow \frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1\geq \frac{51}{7}+3=\frac{72}{7} \Leftrightarrow \frac{2y+3z+6+x}{1+x}+\frac{3z+x+2y+6}{1+2y}+\frac{x+2y+3z+6}{1+3z}= (3z+x+2y+6)(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z})\geqslant (18+6)(\frac{9}{3+x+2y+3z})=24.\frac{3}{7}=\frac{72}{7}$

do parabol cắt trục hoành tại hai điểm nên:$ax^2+bx+c=0$
$\Rightarrow T=a.S_{2012}+b.S_{2011}+c.S_{2010}=a(x_{1}^{2012}+x_{2}^{2012})+b(x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011})+c(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})=x_{1}^{2010}(a.x_{1}^{2}+b.x_{1}+c)+x_{2}^{2010}(a.x_{2}^{2}+b.x_{2}+c)=0$

Áp dụng công thức:
$\frac{n}{a^n}=\frac{(a-1)n+1}{(a-1)^2.a^{n-1}}-\frac{(a-1)n+a}{(a-1)^2.a^n}$

Cho tam giác $ABC$. $A',B',C'$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $O_1=AA'\cap BB'$' $O_2=AA'\cap CC'$' $O_3=BB'\cap CC'$. Giả sử $O_1,O_2,O_3$ lần lượt nằm trên đường trung trực của $AB,AC,BC$. Tính $P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}$

 Thấy thế nào ấy     

 Giải như sau :

Do $O_{1};O_{2};O_{3}$ lần lượt  nằm trên đường trung trực của AB,AC,BC nên ta đặt :

$\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=\alpha ;\angle ACO_{2}=\angle CAO_{2}=\beta ;\angle BCO_{3}=\angle CBO_{3}=\gamma$

Do đó :

$P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}=\frac{sin\alpha .sin\gamma .sin\beta }{sin\beta .sin\alpha .sin\gamma }=1\Rightarrow P=1$

Do $\frac{A'B}{A'C}=\frac{AB.AA'.sin\alpha }{AC.AA'.sin\beta }$

 

$4(a-b)(b-c)-(c-a)^2=4(a-b)(b-c)-(a-b+b-c)^2=4(a-b)(b-c)-(a-b)^2-(b-c)^2-2(a-b)(b-c)=-(a-b-b+c)^2=-(a-2b+c)^2$
theo tinh chat day ti so bang nhau:
$\frac{a}{2011}=\frac{2b}{4024}=\frac{a-2b}{-2013}=\frac{c}{2013}\Rightarrow a-2b+c=0\Rightarrow M=0$

n^3+2009n=n^3+2010n-n=(n^3-n)+2010n
ta có:2010n chia het cho 3 voi moi n
n^3-n=n(n-1)(n+1) chia het cho 3 voi moi n
=> n^3+2009n chia het cho 3 voi moi n

áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$2abc=3a^2+4b^2+5c^2=a^2+a^2+a^2+b^2+b^2+b^2+b^2+c^2+c^2+c^2+c^2+c^2\geqslant 12.\sqrt[12]{a^6.b^8.c^10}\Rightarrow a^3.b^2.c\geqslant 46656\Rightarrow 3a+2b+c=a+a+a+b+b+c\geqslant 6.\sqrt[6]{a^3.b^2.c^2}=6.6=36$

Cho a,b,c là các số dương. Tìm Min của:

\[
\frac{\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}  + \sqrt{\frac{b^3 }{c^3}}  + \sqrt{\frac{c^3}{a^3}} }{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}
\]
 

 

 

Bài nay mình đọc trong chuyên đề Cô-si, nhưng giải mãi chưa ra. Mọi người giúp mình nhé.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=x;\sqrt{\frac{b}{c}}=y;\sqrt{\frac{c}{a}}=z\Rightarrow xyz=1$$\sqrt{\frac{a}{b}}=x;\sqrt{\frac{b}{c}}=y;\sqrt{\frac{c}{a}}=z\Rightarrow xyz=1$

BĐT trở thành:

$Q=\frac{x^3+y^3+z^3}{x^2+y^2+z^2}$

Dễ đàng chứng minh đuoc : $x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{3(x^2+y^2+z^2)-3}{2}$$\Rightarrow Q\geqslant \frac{3(x^2+y^2+z^2)-3}{2(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{2.3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}}=1$$\Rightarrow Q\geqslant \frac{3(x^2+y^2+z^2)-3}{2(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{2.3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}}=1$

Cho tứ diện ABCD có SA=SB=SC=1, mặt phẳng (P)đi qua trọng tâm M của tứ diện cắt SA,SB,SC lan luot D,E,F( khác S)
Tìm max
$$\frac{1}{SD.SE}+\frac{1}{SF.SE}+\frac{1}{SD.SF}$$

bai 2:
đặt:
$\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x^2-x+1}=b \Rightarrow 5ab=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0$
bai 1:
$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+4ab+\frac{1}{4ab}+\frac{1}{4ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2+\frac{1}{4ab}\geqslant 4+2+\frac{1}{4.\frac{1}{4}}=4+2+1=7$

TÌm số hạng chứa $x^4$ trong biểu thức $(1+2x+3x^2)^{10}$


MOD: Chú ý tiêu đề bài viết bạn nhé

cho minh hoi
đề ra kì nàyTHTT số 426

chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn:
$2^n+2\vdots n$

 

 

Bài toán 16: Giải hệ PT $\left\{ \begin{array}{l}{({x_3} + {x_4} + {x_5})^5} = 3{x_1}\\{({x_4} + {x_5} + {x_1})^5} = 3{x_2}\\{({x_5} + {x_1} + {x_2})^5} = 3{x_3}\\{({x_1} + {x_2} + {x_3})^5} = 3{x_4}\\{({x_2} + {x_3} + {x_4})^5} = 3{x_5}\end{array} \right.$

 

 

Giả sử $x_{1}> x_{2}\Rightarrow x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{3}> x_{2}\Rightarrow x_{2}> x_{4}\Rightarrow x_{3}> x_{4}\Rightarrow x_{5}> x_{3}\Rightarrow x_{5}> x_{4}\Rightarrow x_{4}> x_{1}\Rightarrow x_{5}> x_{3}>x_{2}> x_{4}>x_{1}$

 

Chú ý: $x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{1}+x_{2}> x_{3}+x_{4}$  ( vô lí)

Lập luận tương tự $x_{1}< x_{2}$ vô lí

Vậy $x_{1}=x_{2}$

Do $x_{1}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}$

Do đó ta chỉ cần  giải phương trình:

$3^5x_{1}^5=3x_{1}\Rightarrow x_{1}=0$  hoặc $x_{1}=\frac{1}{3}$ hoặc $x_{1}=-\frac{1}{3}$

 

 

Bài toán 15: Giải hệ PT $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x - 2 = 2 - y\\{y^3} - 3y - 2 = 4 - 2z\\{z^3} - 3z - 2 = 6 - 3x\end{array} \right.$

 

 

Hệ tương đương:

$(x+1)^2(x-2)=2-y$

$(y+1)^2(y-2)=2(2-z)$

$(z+1)^2(z-2)=3(2-x)$

$\Rightarrow (z+1)^2.(x+1)^2.(y+1)^2.(x-2)(y-2)(z-2)=-6(x-2)(y-2)(z-2)$

- TH1:

$(x-2)(y-2)(z-2)=0$

- TH2:

$(x-2)(y-2)(z-2)\neq 0$ $\Rightarrow (x+1)^2.(y+1)^2.(z+1)^2=-6$  (  vô lí)

Giả sử $x_{1}> x_{2}\Rightarrow x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{3}> x_{2}\Rightarrow x_{2}> x_{4}\Rightarrow x_{3}> x_{4}\Rightarrow x_{5}> x_{3}\Rightarrow x_{5}> x_{4}\Rightarrow x_{4}> x_{1}\Rightarrow x_{5}> x_{3}>x_{2}> x_{4}>x_{1}$

 

Chú ý: $x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{1}+x_{2}> x_{3}+x_{4}$  ( vô lí)

Lập luận tương tự $x_{1}< x_{2}$ vô lí

Vậy $x_{1}=x_{2}$

Do $x_{1}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}$

Do đó ta chỉ cần  giải phương trình:

$3^5x_{1}^5=3x_{1}\Rightarrow x_{1}=0$  hoặc $x_{1}=\frac{1}{3}$ hoặc $x_{1}=-\frac{1}{3}$

 

 

Giả sử $x_{1}> x_{2}\Rightarrow x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{3}> x_{2}\Rightarrow x_{2}> x_{4}\Rightarrow x_{3}> x_{4}\Rightarrow x_{5}> x_{3}\Rightarrow x_{5}> x_{4}\Rightarrow x_{4}> x_{1}\Rightarrow x_{5}> x_{3}>x_{2}> x_{4}>x_{1}$

 

Chú ý: $x_{3}> x_{1}\Rightarrow x_{1}+x_{2}> x_{3}+x_{4}$  ( vô lí)

Lập luận tương tự $x_{1}< x_{2}$ vô lí

Vậy $x_{1}=x_{2}$

Do $x_{1}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}$

Do đó ta chỉ cần  giải phương trình:

$3^5x_{1}^5=3x_{1}\Rightarrow x_{1}=0$  hoặc $x_{1}=\frac{1}{3}$ hoặc $x_{1}=-\frac{1}{3}$

 

Ai xem bai nay co dung ko

Bài toán 39: Tìm tất cả các nghiệm của PT $ (a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)=3b^{2}(2(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}))^{\frac{1}{3}} $

 

 

Ta có:

$VP=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)=((a+b)^2+b^2)((a-b)^2+b^2)=((a^2-b^2)^2)+b^4+b^2.2.(a^2+b^2)\geq 3b^2.\sqrt[3]{2.(a^2-b^2)^2.(a^2+b^2))}=VT$

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

$(a^2-b^2)^2=2b^2(a^2+b^2)=b^4$

-Nếu $b=0 \Rightarrow a=0$ thỏa mãn

-Nếu $b\neq 0\Rightarrow 2a^2+2b^2=b^2\Rightarrow 2a^2=-b^2$ (vô lí)

Vậy nghiêm của phương trình là:

(a;b)=(0;0)

   

Câu 5. Cho $k,m,n$ là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng:

$$\left( {k - \frac{1}{k}} \right)\left( {m - \frac{1}{m}} \right)\left( {n - \frac{1}{n}} \right) \le kmn - (k + m + n)$$

 

Đề sai mà............. 

 

Cho $k=\frac{1}{2};m=\frac{1}{3};n=25$

 

 

http://upanh.com/vie...&id=4vlf8t1j3lr

Bài 1: Chứng minh rằng số 1994 không thể phân tích thành tổng lập phương 2 số nguyên

 

Mot so lap phuong chia cho 9 co so du là 0,1,8 nen tong lap phuong cua hai so nguyen khi chia cho 9 chi co the co so du là 0,1,2,7,8 .  .  Mà 1994 chia cho 9 du 5 nên số 1994 không thể phân tích thành tổng lập phương 2 số nguyên  

Cho $\Delta ABC$ cân tại A, nội tiếp trong (O). D là trung điểm của AB và G là trọng tâm của $\Delta ACD$.

 

CMR: OG vuông góc với CD

   Giải như sau :

$\overrightarrow{OG}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{CD})+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{DA}+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow 3.AO.AD.cos\frac{A}{2}=CB.CD.cos\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.AO.AD=CB.CD$

$\Leftrightarrow 3.AO.AD.sin\frac{A}{2}=CB.CD.sin\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.S_{\Delta ADO}=S_{\Delta BDC}(=\frac{1}{2.S_{\Delta ABC}})$

vậy OG vuông góc với CD 

$\Rightarrow Q.E.D$

   

11.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3\\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=-24 \end{matrix}\right.$

 Xem tại đây 

http://diendantoanho.../97686-giải-hệ/

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với BC=2a,AB=AD=CD=a.Mặt bên SBC là tam giác đều.Biết SD vuông góc với AC
a) tinh SD
b) Mặt phẳng đi qua M thuoc BD song song với SD và AC.TÍnh diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P theo a và $x=\frac{BM}{\sqrt{3}}$
.TÍnh x để diện tích thiết diện đạt MAX

Tìm hàm số $f(x)$ lên tục trên R thỏa mãn $f(0)=2013$ và $f(2013x)=f(x)+x$

 Giải như sau 

liên hợp thôi mà bạn
Đk: $x\geqslant 1$

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2.\sqrt{(x-1)(x^2-3x+5)}=2x \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}-2+2.\sqrt{(x-1)(x^2-3x+5)}=2x-2 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\sqrt{(x-1)(x^2-3x+5)}=2(x-1)$
-nếu x=1 thì 1 là nghiệm của phương trình
-nếu x khác 1 thì phuong trinh tro thanh:
$1+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}+2}+2\sqrt{x^2-3x+5}=2\sqrt{x-1}$

Mà $x^2-3x+5> x-1\Leftrightarrow x^2-4x+6>0\Leftrightarrow (x-2)^2+2>0\Rightarrow VT>VP$