Cho 2 phương trình $ax^{2}+bx+c=0$(1) ; $mx^{2}+nx+p=0$(2) . Biết một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Chứng minh phương trình sau có nghiệm
$\left ( an-mb \right )x^{2}+2\left ( ap-mc \right )x+\left ( bp-nc \right )=0$.(3)
giả sử pt(1) vô nghiệm --> b2 - 4ac <0
đặt A = an-bm ; B = ap-mc ; C = bp-cn ta được :
cA -bB+aC = acn-bmc-abp+bmc+abp-anc=0 (*)
(3) trở thành Ax2+2Bx+C = 0 (4)
TH1: với A =0 --> aC - bB =0 --> C = $\frac{b}{a}$B
(4) trở thành 2Bx + $\frac{b}{a}$B =0
--> (3) luôn có nghiệm
TH2: với A khác 0 --> Δ' = B2 - AC
- AC $\leq$ 0 --> (3) có nghiệm
- AC >0 mà b2 -4ac < 0 --> b2AC <4acAC
Từ (*) ta có bB = cA + aC --> b2B2 $\geq$ 4acAC > b2AC
--> b2(B2-AC) >0 -->(3)có nghiệm