Xét $f(x)=7-\log_{3}(x^2+11)$
$f'(x)=\frac{2x}{(x^2+11)\ln 3} \Rightarrow |f'(x)|<\frac{1}{2} $ với mọi $x \in \mathbb{R} $
Ta có theo định lý Lagrange :
$|x_{n+1}-4|=|7-\log_{3}(x^2+11)-4|=|f(x_n)-f(4)|=|f'(c)|.|x_n-4|<\frac{1}{2}|x_n-4|<...<(\frac{1}{2})^n|x_1-4|$
Mà $\lim (\frac{1}{2})^n|x_1-4|=0 \Rightarrow \lim (x_n-4)=0 $ hay $\lim x_n = 4 $