Muốn chứng minh $\lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}$ ko tồn tại cũng đơn giản thôi , dùng định nghĩa giới hạn của hàm số.
Định nghĩa : $ \lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \forall (x_n) : \lim x_n = x_0$ thì $\lim f(x_n) = L$
Vậy ta sẽ chọn các dãy $x_n$ phù hợp để chứng minh.
Dãy đầu tiên ta chọn $x_n = \frac{1}{2n\pi}$ ( hiển nhiên $\lim x_n =0$)
Khi đó $\cos \frac{1}{x_n} =\cos (2n\pi)=1$ hay $\lim \cos \frac{1}{x_n}=1$
Tương tự chọn $x_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ thì $\lim \cos \frac{1}{x_n}=-1$
Vậy theo định nghĩa thì suy ra không tồn tại $\lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}$