Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp

Cho $\Delta ABC$. Đường tròn (O) cắt cạnh $BC$ tại $X,Y$; cắt cạnh $AC$ tại $Z,T$; cắt cạnh $AB$ tại $U,V$ sao cho $X,Y,Z,T,U,V$ là các đỉnh của một lục giác lồi, $XT\cap YU=A',ZV\cap TX=B',UY\cap VZ=C'$. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).Gọi T là điểm chính giữa cung BC không chứa A.Lấy E là điểm bất kì trên AB.Gọi I là giao điểm ET với BC.Đường vuông góc với EI tại I cắt AC tại F.Chứng minh EF=BE+CF

Cho tam giác ABC(AB<AC) và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) sao cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh MD=ME

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có AB = A'B', BC=B'C'. Chứng minh rằng nếu AC < A'C' thì góc B nhỏ hơn góc B'

1.Cho hai đường tròn $(O_{1}),\left ( O_{2} \right )$ cắt nhau tại $A,B$.Một điểm M chuyển động trên $(O_{1})$. Qua M kẻ tiếp tuyến MT với $(O_{2})$. Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}$ không đổi khi M thay đổi.

2. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ cát tuyến ABC,ADE với B thuộc AC, D thuộc AE. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ hai tại F. AF cắt (O) tại G. EG cắt AC tại M. Chứng minh $\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$

Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n người ta viết 1 số +1 hoặc -1. Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k ( tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k ( tính từ trái sang).
CMR với mọi cách điền số như trên, đều có: $a_{1}+a_{2}+...a_{n}+b_{1}+b_{2}+...b_{n}\neq 0$

Theo giả thiết ta có $a_{k},b_{k}$ đều bằng 1 hoặc -1

Giả sử $\sum a_{k}+\sum b_{k}=0$

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng 1 bằng số các số bằng -1

Mà $a_{1}a_{2}...a_{n}b_{1}b_{2}...b_{n}$ bằng bình phương của tích tất cả các số trong bảng nên bằng 1

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng -1 phải chẵn

Do đó số các số $a_{k},b_{k}$  là tổng của hai số chẵn bằng nhau nên chia hết cho 4

Mà bảng có n hàng, n cột, nên số các số là 2n, n lẻ $\Rightarrow$ 2n không chia hết cho 4

Vậy ta có đpcm

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$$\in \mathbb{Z}$ là 1 số nguyên.

 

Gọi $d$ là ước số của $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Vì $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}+a+b}{ab}$ là số nguyên 

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots ab$

Mà ta có $d=(a,b)$ nên $ab\vdots d^{2}$

Suy ra $(a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots d^{2}$ và $(a^{2}+b^{2})\vdots d^{2}$

Vậy nên $(a+b)\vdots d^{2}$ $\Rightarrow a+b\geq d^{2}$ suy ra đpcm

Cho $0<(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2$

Tìm GTLN của

$4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}$

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi: 

${x_1} = 1,{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{x_n} + 1}},\forall n \ge 1$

$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{(2n+1)^{2}x_{n}+1}\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{(2n+1)^{2}x_{n}+1}{x_{n}}=(2n+1)^{2}+\frac{1}{x_{n}}$

Đặt $v_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}\Rightarrow v_{n+1}=(2n+1)^{2}+v_{n}$

Từ đó sử dụng phép thế ta dễ dàng tìm được 

$v_{n+1}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n(n+1)+n+1\Rightarrow v_{n}=\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n$

Vậy $x_{n}=\frac{1}{\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n}$

Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên $a_{1}=1;a_{n+1}=5a_{n}+\sqrt{ka_{n}^{2}-8}$, với mọi n nguyên dương

Ta có $a_{2}=5+\sqrt{k-8}=5+t$ $(t=\sqrt{k-8}\in N)$

$\Rightarrow a_{3}=5(t+5)+\sqrt{(t^{2}+8)(t+5)^{2}-8}$

Vì $a_{n}$ là dãy nguyên nên $a_{3}$ nguyên

$\Rightarrow (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8=p^{2}$

Ta chứng minh được

$(t^{2}+5t+4)^{2}< (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8<(t^{2}+5t+14)^{2}$

Từ đây dễ dàng tìm được $t=4$, suy ra được $k=24$

1. Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các số nguyên tố khác nhau.Hỏi có bao nhiêu ước số của số $q=p_{1}^{k_{1}}.p_{2}^{k_{2}}....p_{n}^{k_{n}}$

2.Có bao nhiêu số khác nhau (không được bắt đầu bằng 0), nhỏ hơn $2.10^{8}$, chia hết cho 3, có thể viết bởi các chữ số 0,1,2.

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$

$\Delta ABC$ nhọn nội tiếp (O), AB<AC, đường cao AK, các tiếp tuyến tại B và C cắt tiếp tuyến tại A tại E và F. CMR AK là phân giác $\widehat{EKF}$

Ta chứng minh được $\Delta OAE\sim \Delta CKA\Rightarrow EA.KC=OA.KA$

$\Delta OAF\sim \Delta BKA\Rightarrow AF.BK=OA.KA$

Cminh được $\angle EBK =\angle FCK$

$\Rightarrow \Delta EBK\sim \Delta FCK(c-g-c)\Rightarrow \angle EKB=\angle FKC\Rightarrow đpcm$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2^{x}+1=xy$

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của $M$ để $DE$ có độ dài ngắn nhất.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn và có các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các đường vuông góc $MA'$,$MB'$,$MC'$,$MD'$ lần lượt đến các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.Chứng minh rằng $A'B'$ +$C'D'$=$A'D'$ +$B'C'$

Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là 2 đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh $B$ và $C$. Trên đoạn thẳng $DE$ lấy một điểm M bất kì.Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BC,CA,BA$ lần lượt tại $I,J,K$. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng $MI,MJ,MK$ có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn còn lại.

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng cắt $(O)$ tại $C$ và $D.$ $AD$ cắt $BC$ tại $I.$ Gọi $E$ là trung điểm $AO.$ Chứng minh tứ giác $EIDB$ nội tiếp.

Xét $\Delta ODM \sim \Delta OED \Rightarrow \angle ODM=\angle OED$

mà ta có $\angle ODM=\angle OCD  (OD=OC=R) \Rightarrow \angle OED = \angle OCD$ (1)

Ta có $\angle BID =\angle OCD$$= \frac{1}{2}(sđ BD + sđ AC)$ (2) (dễ dàng cm được )

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \angle OED = \angle BID$ $\Rightarrow$ đpcm

P/S: tự vẽ hình

Cho $x,y,z >0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$

Đường tròn đường kính AB có M thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của (O) ở A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M tiếp xúc AC ở C. CD là đường kình của (I). DH vuông góc với BC (H thuộc BC). DH cắt AB ở K. CO cắt (I) ở N

a, O, M, D thẳng hàng

b, tam giác COD cân

c, Tứ giác NHOK nội tiếp

d, $\Delta DHN\sim \Delta COB$

e, $\Delta NHO\sim \Delta DHC$

f, K là trung điểm OA

a) $CM$ vuông góc với $MD$, $CM$ vuông góc với $MO$ nên $O,M,D$ thẳng hàng.

b) Dễ thấy $CD//AB \Rightarrow \angle DCO=\angle COA=\angle DOC \Rightarrow \Delta COD$ cân tại $D$

c) Ta có tứ giác $CDHN$ nội tiếp nên $\angle HNO=\angle CDH=\angle HKO\Rightarrow KNHO$ là tứ giác nội tiếp

d) $\angle HND=\angle HCN=\angle CBO, \angle NDH=\angle OCB$

$\Rightarrow \Delta DHN\sim \Delta COB (g-g)\Rightarrow \frac{HN}{HD}=\frac{OB}{OC}$ (1)

e) Dễ dàng cm được $\Delta AOC \sim \Delta NCD \Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{CN}{CD}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{HN}{HD}=\frac{ON}{CD}(OA=OB, CN=ON)$

Do đó $\Delta NHO \sim \Delta DHC (cgc)$

f) Ta có $\angle NHO =\angle DHC=90^{\circ},\angle NKO +\angle NHO =180^{\circ}\Rightarrow \angle NKO=90^{\circ}$

Xét $\Delta AOC , NK//AC,NO=CN\Rightarrow KA=KO\Rightarrow đpcm$

p/s: bạn tự vẽ hình nhé

Cho hình vuông ABCD cạnh a,M là điểm tùy ý trên AB(M không trùng với A,B).MC cắt BD tại P,MD cắt AC tại Q.Tìm giá trị lớn nhất của tam giác MPQ khi M di động trên AB

$S_{MPQ}=MQ.MP.sin\angle QMP$

$S_{MDC}=MD.MC.sin\angle QMP$

$\Rightarrow \frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{MQ}{MD}.\frac{MP}{MC}=\frac{1}{1+\frac{QD}{MQ}}.\frac{1}{1+\frac{PC}{MP}}$

tới đây đặt $\frac{QM}{QD}=x,\frac{MP}{PC}=y$ và $x+y=1$

Cần tìm GTNN của $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})$ là xong 

p/s: tự vẽ hình

Xác định tham số $a$ để phương trình ẩn $x$ sau :

$x^{4}+2x^{2}+2ax+a^{2}+2a+1=0$ có nghiệm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

$\frac{1}{R^{2}}+\frac{1}{r^{2}}= \frac{4}{a^{2}}$

Vẽ đường trung trực của $AB$ cắt $AB$ tại $M$, $AC$ tại $K$ và $BD$ tại $I$.

Khi đó, điểm $I$ và $K$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,\Delta ABD$ nên $IB=r$ và $KA=R$

Chứng minh được $\Delta MBI \sim \Delta OBA(g-g)\Rightarrow \frac{1}{r^{2}}=\frac{4OB^{2}}{a^{4}}$

$cmtt\Rightarrow \frac{1}{R^{2}}=\frac{4OA^{2}}{a^{4}}$

Do đó $\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{R^{2}}=\frac{4(OA^{2}+OB^{2})}{a^{4}}=\frac{4}{a^{2}}$

p/s: Bạn tự vẽ hình nhé