Nếu $x_1=x_2$ thì $f(x)$ là hàm nào chẳng được :|

Bài này khó nhưng thuộc dạng có phương pháp. Phương pháp của nó là Nhóm Abel.
Trước hết, ta có công thức biến đổi Abel như sau: $\sum_{i=1}^{n}a_ib_i=\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i+1})(\sum_{j=1}^{i}b_j)$, trong đó $a_{n+1}=0$
Cụ thể, với n=2 thì công thức sẽ là $a_1b_1+a_2b_2=(a_1-a_2)b_1+a_2(b_1+b_2)$
Quay lại bài toán, ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi Q đạy GTLN là tại $a=2$ và $b=3$
Như vậy ta sẽ đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức: $Q \leq 2^3 + 2^2 + 3^2 +3^3$ bằng cách chứng minh 2 bất đẳng thức nhỏ là $a^2+b^2 \leq 2^2 + 3^2$ (1) và $a^3+b^3 \leq 2^3 + 3^3$ (2)
Chứng minh (1): Nếu có 1 số trong a hoặc b nhỏ hơn 2 thì ta có ngay đpcm. Xét trường hợp $ 2 \leq a \leq b \leq 3$. Đổi vế và áp dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, ta được đpcm
<=>$(a-2)(a+2)+(b-3)(b+3) \leq 0$ (*)
Bây giờ ta tìm cách chọn $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ cho hợp lý. Nhận thấy $(a-2)(a+2) \geq 0$ nên ta muốn bổ sung 1 đại lượng để biểu thức trên không dương, mặt khác ta cần dấu "=" khi $a=2$ và $a+b=5$ nên ta chọn $a-2$ là $b_1$, $b-3$ là $b_2$. Do đó thì $a_1$ là $a+2$; $a_2$ là $b+3$. Áp dụng công thức Abel:
(*) <=> $(a+2-b-3)(a-2)+(a+2)(a+b-5) \leq 0$
Dễ thấy bất đẳng thức trên đúng.
Tương tự, ta CM (2). Nếu a hoặc b có 1 số nhỏ hơn 2 thì có ngay đpcm. Xét trường hợp $ 2 \leq a \leq b \leq 3$ đpcm
<=> $(a-2)(a^2+2a+4)+(b-3)(b^2+3b+9)\leq 0$
<=> $(a^2+2a+4-b^2-3b-9)(a-2)+(b^3+3b+9)(a+b-5) \leq 0$
Dễ thấy bất đẳng thức trên đúng.
Tóm lại ta có $max Q =2^2+3^2+2^3+3^3$. Dấu "=" <=> $a=2$ và $b=3$

Không. Bạn lưu ý mình đã viết các tam giác đồng dạng theo đỉnh tương ứng. Ví dụ như tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEC thì $\widehat{ABC}= \widehat{DEC}$. Bạn đã hiểu sai giả thiết
____________________________
Beautifulsunrise: Theo như bạn nói thì $\widehat{ABC}= \widehat{DEC}= \widehat{DBE}$

Chúc mừng năm mới 2013! Mình xin đưa ra giả thiết sau mở hàng cho box, mong các bạn giải quyết được trong thời gian sớm nhất:
Cho tam giác ABC nhọn và D,E,F lần lượt thuộc, BC, CA, AB thỏa mãn 4 tam giác ABC, AEF, DEC, DBE đồng dạng. Chứng minh rằng: D, E, F là chân 3 đường cao tam giác ABC

Mình xim được kết thúc năm 2012 của box BĐT và cực trị bằng bài toán sau:
Cho $a_1, a_2,..., a_n$ và $b_1, b_2,..., b_n$ là 2 bộ số thực dương; $m$ là 1 số nguyên dương thỏa mãn $a_1^{m}+a_2^{m}+...+a_n^{m}=b_1^{m}+b_2^{m}+...+b_n^{m}$. Chứng minh rằng:
$\frac{a_1^{2013+m}}{b_1^{m}}+\frac{a_2^{2013+m}}{b_2^{m}}+...+\frac{a_n^{2013+m}}{b_n^{m}}\geq a_1^{2013}+a_2^{2013}+...+a_n^{2013}$

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
$\frac{a^3b}{1+ab^2}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Cho $a,b,c> 0$ và $a+b+c= 3$ Chứng minh rằng:
$\frac{a}{7a^{2}+11}+\frac{b}{7b^{2}+11}+\frac{c}{7c^{2}+11}\leq \frac{1}{6}$

Ta có $\angle MNO=\angle MPO=90^{\circ}$ nên tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn đường kính OM. Gọi trung điểm của OM là I => tâm ngoại tiếp $\Delta MNP$ là I. Kẻ OH vuông góc với AB => OH=a là độ dài cố định. Kẻ IK vuông góc với d thì theo t/c đường trung bình $IK=\frac{a}{2}$ Do đó I chạy trên đường thẳng e//d và cách d 1 khoảng là a/2

Bổ sung: e thuộc nửa mp bờ AB chứa O

Cho (O;R) và (O';r) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung CD; AB cắt CD tại M. OO' cắt (O) và (O') lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a) M là trung điểm CD
b) CE, DF, AB đồng quy

Cho $\Delta ABC$ điểm $I$ thuộc cạnh $BC$ cố định. Dựng đ.tròn ngoại tiếp $\Delta AIB$ và $\Delta AIC$ kí hiệu là $(AIB)$ và $(AIC)$. 1 đường thẳng $d$ đi qua $I$ cắt $(AIB)$ và $(AIC)$ tại $B_1$ và $C_1$. $D$ là 1 điểm cố định khác thuộc $BC$ ($D\neq I$). $D_1$ là 1 điểm thuộc BC và thỏa mãn $\frac{BD}{DC}= \frac{B_1D_1}{D_1C_1}$
Tìm cách dựng đường thẳng $d$ sao cho
a)Chu vi $\Delta ADD_1$ lớn nhất
b)Diện tích $\Delta ADD_1$ lớn nhất
MOD : Chú ý tiêu đề !

Cho a,b,c dương. CMR:
$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ và m,p nguyên dương.
Kí hiệu $S(i)=a_1^{i}+a_2^{i}+...+a_n^{i}$
CMR: $\sum \frac{a_1^{m}}{S(p)-a_1^{p}}\geq \frac{n.[S(m)]}{(n-1).[S(p)]}$

Mình xin được đề xuất 1 cách giải khác
Trc hết, ta có bổ đề: $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O;R) thì a=sinA.2R (phần CM khá dễ nên dành cho các bạn)
Áp dụng vào bài toán trên: Đặt $\widehat{ACB}$=x, $\widehat{CBD}$=y. Theo bổ đề ta có:
$AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}.sin^{2}x+4R^{2}.sin^{2}y=4R^{2}.(sin^{2}x+sin^{2}y)=4R^{2}$
=> $sin^{2}x+sin^{2}y=1$ => $sin y = cos x$ => $widehat{ACB}+widehat{CBD}=90$ => đpcm

Cho biết x,y,z thực dương và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$
Tìm GTNN biểu thức $\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

Công thức kẹp trong cặp dấu $

$công thức$