Cho $(O)$ và dây cung $BC$ không là đường kính. Tìm $A$ thuộc cung $BC$ lớn để $AB+k.AC$ đạt $GTLN$ ($k$ là hằng số dương)

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $M$ bất kỳ thuộc cung $CD$ nhỏ $(M\neq C;D)$. $MA$ cắt $BD,CD$ tại $X,Z$. $MB$ cắt $AC,CD$ tại $Y,T$. $CX\cap DY=\left \{ K \right \}$

$a/$ Chứng minh: $\widehat{MXT}=\widehat{CXT};\widehat{DYZ}=\widehat{MYZ};\widehat{CKD}=135^{\circ}$

$b/$ Chứng minh $\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD}=1$

Cho $(O;R)$ và dây $BC$ cố định $(BC< 2R)$. $A$ di chuyển thuộc cung $BC$ lớn $(A\neq B;C)$. $M$ là trung điểm của $AC$. $HM\perp AB$. Xác định vị trí của $A$ thuộc cung $BC$ lớn để $CH$ đạt $GTLN$

Cho $(O;R)$ và dây $AB$ cố định nhỏ hơn $2R$. $C$ chính giữa cung $AB$ nhỏ. $M$ thuộc cung $AB$ lớn. $CM\cap AB=\left \{ N \right \}$.

$a)$ Chứng minh $CM.CN$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

$b)$ Xác định vị trí của $M$ thuộc cung $AB$ lớn để $AM-BM=\frac{1}{3}AB$

Cho $(O;R)$ và dâuy $AB$ cố định, $AB=R\sqrt{3}$. $P$ là điểm chính giữa cung $AB$ nhỏ. Đường thẳng $d$ quay quanh $P$, cắt $AB$ tại N $(N\neq A;B)$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Gọi $I$    thuộc $BM$ sao cho $BI=\frac{1}{3}BM$.

$a)$ Chứng minh $AP$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMN$

$b)$ Hãy dựng $d$ để tổng khoảng cách từ $I$ đến $AO$ và $AP$ đạt $GTNN$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{(xy^{2}+y^{2}+1)(xy^{2}-y^{2}+1)}=2(3-\sqrt{2}-x)y^{2} & \\ \sqrt{x-y^{2}}+x=3 & \end{matrix}\right.$

 

 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+x+y=y^{2} & \\ x^{4}-4x^{2}y+3x^{2}+y^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$ và $x+y+z=3$

Tìm $\min P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}$

Cho phương trình: $ax^{2}+(2b+c)x+2d+e=0$ có một nghiệm không nhỏ hơn $4$. Chứng minh rằng phương trình $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ có nghiệm 

Cho dãy số nguyên dương $u_{n}$ thỏa mãn $u_{1}=1;u_{2}=2;u_{4}=5$, với mọi $n$ nguyên dương khác $1$ ta có: $u_{n+1}u_{n-1}=u_{n}^{2}+a$ với $a^{2}=1$

$a/$ Tìm số hạng tổng quát của dãy trên

$b/$ Tìm các số tự nhiên $n$ không vượt quá $2012$ sao cho $u_{n}\vdots 10$

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $J$ là tâm tỉ cự của $A,B,C$ theo bộ số $(7,-1,-1)$

$a/$ Chứng minh $\overrightarrow{GJ}=2\overrightarrow{AB}$

$b/$ Gọi $I$ là giao của $AJ$ và $BG$. Tính $\frac{JA}{JI}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2x^{2}y^{2}=5y^{2}-y^{4} & \\ x-xy+x^{2}y=y-y^{2} & \end{matrix}\right.$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ đường kính $BC$
$1)$ Vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ nửa $(I)$ đường kính $AB$ và nửa $(K)$ đường kính $AC$. Đường thẳng qua $A$ cắt hai nửa $(I)$ và $(K)$ lần lượt tại các điểm $M,N$
Tính các góc của tam giác $ABC$ khi diện tích tam giác $CNA$ bằng $3$ lần diện tích tam giác $AMB$
$2)$ Cho $AB<AC$ và điểm $D$ thuộc $AC$ sao cho $AD=AB$. Gọi $E$ là hình chiếu của $D$ trên $BC$ và $F$ là hình chiếu của $A$ trên $DE$.
So sánh $\frac{AF}{AB}$ và $\frac{AF}{AC}$ với $\cos \widehat{AEB}$

Giải phương trình nghiệm nguyên không âm
$xyz=x^{2}-2z+2$

Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao AH. Điểm M thuộc AH, các điểm E, F tương ứng thuộc AB, AC sao cho $\angle EMC=\angle FMB=90^{0}$. Chứng minh $EF//BC$

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ĐK a+b+c=3
Tìm max của $P=3(ab+bc+ca)+\frac{1}{2}(a-b)^{2}+\frac{1}{4}(b-c)^{2}+\frac{1}{8}(c-a)^{2}$

Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.

Tìm tất cả các số nguyên không là nghiệm của pt:$ax^{2}+bx+c=0$
Biết đa thức $f(x)=ax^{2}+bx+c (a;b;c\in Z;a\neq 0)$ có $f(2005)=3$

Cho A và B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tan giác MAB và K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MAB. Tìm GTNN của tích KH.KM

Giải phương trình sau $\overline{abc}=\sqrt[3]{\overline{abcbcba}}$ $(a;b;c\in \mathbb{Z})$

Trong mặt phẳng cho $8045$ điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn $1$. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được $2012$ điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích không lớn hơn $1$

Cho hệ $\left\{\begin{matrix} (m-1)-2y=1 & \\ 3x+my=1& \end{matrix}\right.$
$1/$ Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với mọi $m$
$2/$ Tìm $m$ để $x-y$ đạt $GTNN$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a\leq b\leq 3\leq c & \\ c\geq b+1 & \\ a+b\geq c & \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Tìm $x$ để $\frac{x(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)}$ đạt $Min$

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1, CMR:
$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+...+[\sqrt{n^{2}-1}]=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$