Bạn cần Cm thêm rằng dãy này không bị chặn trên nữa

Chứng minh được $(a_n)$ tăng, sau đó giả sử bị chặn trên, chuyển về giới hạn là suy ra mâu thuẫn mà.   

Dù sao cũng cảm thank bạn, tui sẽ sửa lại cho đẹp bài.

Cho dãy $a_n$ với $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013} \end{matrix}\right.,n\geq 1$

Tính $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n$ với $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}$

Đăng lời giải cho mọi người tham khảo nha (Mới giải xong      )

Dễ thấy $(a_n)$ tăng nên giả sử $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_n=a>0,5$

Chuyển về giới hạn $a=a+\frac{a^2}{2013}\Leftrightarrow a=0$, mâu thuẫn

Suy ra $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_n=+\infty$

Từ giả thiết thì $a_n\neq a_{n+1}$ nên $a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013}\Leftrightarrow 2013=\frac{a_n^2}{a_{n+1}-a_n}$

Khi đó: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+\frac{a_i^2}{a_{i+1}-a_i}}=\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}} \right )=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}$

Như vậy $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}} \right )=\frac{1}{a_1}=2$

Cho dãy số $u_n = ​\frac{2n-1}{2^{n}},n>0.$ Gọi $S_n$  là tổng n số hạng đầu tiên. Tính $limS_n$

Ta có: 

$S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^i}=\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac{2\left ( i-1 \right )+3}{2^{i-1}}-\frac{2i+3}{2^i} \right ]=\frac{2\left ( 1-1 \right )+3}{2^{1-1}}-\frac{2n+3}{2^n}$

Suy ra $limS_n=3$

Cho dãy $a_n$ với $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n}^{2}}{2013} \end{matrix}\right.,n\geq 1$

Tính $\lim_{x\rightarrow \infty }S_n$ với $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}$

Chứng minh $n^2+n+41$ là số nguyên tố với mọi $\left\{\begin{matrix} n\in \mathbb{N}\\ n<40 \end{matrix}\right.$

 

Tìm mọi số nguyên dương n sao cho $n < t_{n}$, trong đó $t_{n}$ là số các ước nguyên dương của n    

 

Xét tập hợp $A_n=\left \{ 1;2;3;...;n \right \}$ là tập $n$ số nguyên dương đầu tiên và tập $B_k=\left \{ a_1;a_2;...;a_k \right \}$ là tập các ước nguyên dương của $n$. Rõ ràng $B$ có $k$ phần tử.

Khi đó theo giả thiết, ta có $n<k$ và $n>a_i$ với $0<i<k+1$ $(1)$.

Từ $n<k$ và vì $A,B$ là tập các số nguyên dương và $A$ là tập $n$ số nguyên dương đầu tiên nên tồn tại ít nhất một phần tử $a_i$ thuộc $B$ sao cho $n<a_i$, trái với $(1)$.

Như vậy không tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa yêu cầu đề

nghĩa là bạn làm hơi tắt,mình ko hiểu sao lại có $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

thì đoạn này $6-x=x^4-2x^3\Leftrightarrow \left ( x^2-x-3 \right )\left ( x^2-x+2\right )=0....$

$TO BE CONTINUED...$

Bạn giải tiếp đi minh cung ra đến đó nhung lm cách khác

Giải ra nghiệm $\frac{21\pm 9\sqrt{5}}{4};-\frac{3}{2}$

Mình làm một trường hợp thôi nhá, các trường hợp kia tương tự thôi.

Khi $t=xy=\frac{21+9\sqrt{5}}{4}\Rightarrow x^3y^3=d^3$

(với $d=\left ( \frac{21+9\sqrt{5}}{4} \right )$)

Thay vào $PT$ đầu: $8d^3+27=18y^3\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{\frac{8d^3+27}{18}}\\ \Rightarrow x=\frac{d\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{8d^3+27}}$

Vậy nghiệm là $\left ( x,y \right )=\left ( \frac{d\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{8d^3+27}};\sqrt[3]{\frac{8d^3+27}{18}} \right )$

Với $d=\left ( \frac{21+9\sqrt{5}}{4} \right )$

(Còn hai nghiệm nữa...  Đề nhìn vậy cơ mà sao bá vậy!)

làm sao mà lại giải ra được nghiệm kia bạn ơi

Bạn nói rõ nghiệm kia là nghiệm gì vậy bạn

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HOA LƯ                                                                                BÀI KIỂM TRA TẬP HUẤN SỐ 02

                                                                                                                                             NĂM HỌC 2014-2015

                                                                                                                                       Thời gian làm bài: 150 phút   

                                                                                                                                     (Đề này gồm 05 câu,1 trang)

 

Câu 3 (4 điểm)

2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 8x^3y^3+27=18y^3 & & \\ 4x^2y+6x=y^2& & \end{matrix}\right.$

 

Ta có $8x^3y^3+27=18y.y^2=18y\left ( 4x^2y+6x \right )\\ \Leftrightarrow 8x^3y^3-72x^2y^2-108xy+27=0$

đặt $t=xy$ thì: $8t^3-72t^2-108t+27=0$

Từ đó...

$\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...+\sqrt{20}}}}}$ có 2014 dấu căn tính giá trị của biểu thức

Ta có: 

$4<\sqrt{20}<5\Rightarrow 4+12<\sqrt{20}+20<5+20\\ \Leftrightarrow 16<\sqrt{20}+20<25\Leftrightarrow 4<\sqrt{\sqrt{20}+20}<5\\ \Rightarrow 4+12<\sqrt{\sqrt{20}+20}+20<25\Leftrightarrow 4<\sqrt{\sqrt{\sqrt{20}+20}+20}<5$

Tương tự như vậy suy ra...

Giải phương trình:   $log_{2}(6-x)=log_{2}(x^{2}-2x)+log_{\sqrt{2}}x$

ĐK: $2\leq x\leq 6$

$PT\Leftrightarrow log_{2}(6-x)=log_{2}(x^{2}-2x)+log_{\sqrt{2}}x\Leftrightarrow log_{2}(6-x)=log_{2}(x^{2}-2x)+log_{2}\left ( x^2 \right )\\ \Leftrightarrow log_{2}(6-x)=log_{2}(x^{4}-2x^3)\Leftrightarrow 6-x=x^4-2x^3$

Giải ra nghiệm (kết hợp điều kiện) ta được: $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Giải thích lại cho mình là nhân vế nào với vế nào nhé, mình thấy có vẻ kì kì , có thể do mình chậm hiểu nên không hiểu nổi bạn nha !

Chắc là vầy

$a_i\equiv 1\left ( modm \right )$ với $1\leq i\leq \phi (m)$

nên $\prod_{i=1}^{\phi (m)}a_i\equiv 1\left ( modm \right )$

Từ hệ $B=aa_1,aa_2,...,aa_{\phi (m)}$ là một thặng dư thu gọn $modm$ nên suy ra

$\prod_{i=1}^{\phi (m)}aa_i\equiv 1\left ( modm \right )\Leftrightarrow a^{\phi (m)}\prod_{i=1}^{\phi (m)}a_i\equiv 1\left ( modm \right )$ 

Suy ra $a^{\phi (m)}\prod_{i=1}^{\phi (m)}a_i\equiv \prod_{i=1}^{\phi (m)}a_i \left ( modm \right )\Leftrightarrow a^{\phi (m)}\equiv 1\left ( modm \right )$

                                                                                 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH 

                                                                                               Năm học: 2014-2105

                                                                                               Môn: Toán

                                                                                      Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

                                                                                                              

                                                                                                      ĐỀ:

 

Bài 4. (3đ)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^3+2y^2+y+1=0\\ 2y^3+2z^2+z+1=0 \\ 2z^3+2x^2+x+1=0 \end{matrix}\right.$

Cách khác

Nhìn vào thấy ngay hệ lặp ba ẩn.

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} 2x^3+2y^2+y+1=0\\ 2y^3+2z^2+z+1=0\\ 2z^3+2x^2+x+1=0 \end{matrix}\right.$

Hay

$\left\{\begin{matrix} x=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left ( 2y^2+y+1 \right )}\\ y=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left ( 2z^2+z+1 \right )}\\ z=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left ( 2x^2+x+1 \right )} \end{matrix}\right.$

Xét hàm $f(t)=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left ( 2t^2+t+1 \right )}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Vì $f(t)$ đơn điệu trên từng khoảng $\left ( -\infty;-\frac{1}{4} \right );\left ( -\frac{1}{4};+\infty \right )$ nên từ hệ suy ra $\left\{\begin{matrix} x=-f(x)\\ x=y=z \end{matrix}\right.$ (Xét hai trường hợp)

Từ đó tìm được $x=y=z=-1$

Bài $4.1$ vòng $2$ (Cách khác)

Viết lại PT: $x^2+\left ( y-1 \right )x+y^2+y+1=0$

Khi đó: $\Delta =\left ( y-1 \right )^2-4\left ( y^2+y+1 \right )\geq 0\\ \Leftrightarrow 3y^2+6y+3\leq 0\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=1$

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI VÒNG QUỐC GIA

Năm học 2014 – 2015

 

Cấu 5: Tổ 1 gồm có 7 người nam và 5 người nữ. Trong 7 người nam đó có tổ trưởng tên là A. Thầy chủ nhiệm phân công tổ 1 trực nhật 6 ngày trong tuần, mỗi người đều phải trực một ngày và mỗi ngày đều có hai người trực.

1) Có bao nhiêu cách phân công tổ 1 trực nhật một tuần?

2) Một cách phân công trực nhật được gọi là cách phân công “tốt” nếu trong cách phân công đó có A là người trực ngày đầu tiên và có đúng một ngày trong tuần cả hai người trực nhật đều là nam. Lấy ngẫu nhien một cách phân công trực nhật, tìm xác suất lấy được cách phân công “tốt”.

$1)$ Chọn $2$ trong số $12$ người của tổ trực ngày $T2$ có $C_{12}^{2}$ cách chọn

Chọn $2$ trong số $10$ người còn lại của tổ trực ngày $T3$ có $C_{10}^{2}$ cách chọn

Chọn $2$ trong số $8$ người còn lại của tổ trực ngày $T4$ có $C_{8}^{2}$ cách chọn

Chọn $2$ trong số $6$ người còn lại của tổ trực ngày $T5$ có $C_{6}^{2}$ cách chọn

Chọn $2$ trong số $4$ người còn lại của tổ trực ngày $T6$ có $C_{4}^{2}$ cách chọn

Chọn $2$ trong số $2$ người còn lại của tổ trực ngày $T7$ có $C_{2}^{2}$ cách chọn

Vậy có $C_{12}^{2}.C_{10}^{2}.C_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.C_{2}^{2}=7484400$ cách phân công tổ $1$ trực.

$2)$ Gọi cặp $(nam;nam)$ là cặp hai bạn nam cùng trực trong một ngày, từ giả thiết thì cặp $(nam;nam)$ là duy nhất hay nói cách khác, ngoại trừ ngày mà có cặp $(nam;nam)$ trực nhật thì các ngày còn lại cặp trực nhật là $(nam;nữ)$

Ta chia làm hai trường hợp:

 $*$ Cặp $(nam;nam)$ trực ngày $T2$:

       Chọn $1$ trong $6$ nam trực chung với $A$ có $6$ cách

       Còn lại $5$ nam, $5$ nữ, chia thành $5$ cặp $(nam;nữ)$ có $5!$ cách, sau đó sắp xếp $5$ cặp này vào $5$ ngày còn lại có $5!$ cách

Suy ra có $6.(5!)^2=86400$ cách chọn.

 $*$ Cặp $(nam;nam)$ không trực ngày $T2$:

       Chọn $2$ nam trong $6$ nam (trừ A) để thành một cặp $(nam;nam)$ có $C_6^2$ cách 

       Chọn $4$ cặp trực trong $4$ ngày còn lại (trừ ngày trực có cặp $(nam;nam)$ và ngày trực đầu tiên) có $C_4^1C_5^1C_3^1C_4^1C_2^1C_3^1C_1^1C_2^1=2880$ cách

       $1$ nữ còn lại hiển nhiên trực ngày đầu với A

       Hoán vị $5$ cặp gồm một cặp $(nam;nam)$ và $4$ cặp $(nam;nữ)$ cho các ngày $T3->T7$ nên sẽ có tất cả: $345600$ cách

Suy ra xác suất để chọn được cách phân công tốt: $\frac{86400+345600}{7484400}=\frac{40}{693}$

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI VÒNG QUỐC GIA

Năm học 2014 – 2015

 

Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$.

 

Ta tìm được $u_n=\frac{2+a}{2}.3^{n-1}-\frac{a}{2}$

Khi đó $v_1=1+b;v_n=\frac{2+a}{2}.3^{n-1}-\frac{a}{2}+b$

Suy ra $(v_n)$ là cấp số nhân khi $-\frac{a}{2}+b=0\Leftrightarrow a=2b$

Từ giả thiết $a$ là số nguyên tố, suy ra $a=2;b=1$

Suy ra $v_n=2.3^{n-1};n\geq 1$

Giải bất phương trình:

$5^x>4+x$ trên tập số không âm.

Xét khai triển: $A=\left ( 1+2x \right )^{100}$. Hãy tìm hệ số lớn nhất của $A$

Các bạn, anh, chị cho mình biết có bao nhiêu loại tổng $sigma$ và cách sử dụng cho từng loại hay không (Cho ví dụ cũng được.)

Em biết được $sigma$ lâu rồi nhưng thấy mọi người dùng nó với nhiều hình thức khác nhau nên cũng sinh ra những bối rối, mong mọi người giúp ạ.

Em xin cảm ơn và hậu tạ bằng like bài ạ!

Tính tổng sau, dùng công thức $Euler$

$1.$ $cos\left ( \alpha \right )+cos\left ( \alpha+\varphi \right )+cos\left ( \alpha+2\varphi \right )+...+cos\left ( \alpha+n\varphi \right )$

$2.$ $sin\left ( \alpha \right )+sin\left ( \alpha+\varphi \right )+sin\left ( \alpha+2\varphi \right )+...+sin\left ( \alpha+n\varphi \right )$

Với $\alpha ,\varphi \in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}^*$

Xét phương trình đặc trưng: $\lambda=2.1$

 

$a+b=-1.1$ nên nghiệm phương trình có dạng $x^{*}_{n}=an^2+bn+c$

 

$a(n+1)^2+b(n+1)+c-\dfrac{21}{10}an^2-\dfrac{21}{10}n+\dfrac{21}{10}c=n^2+1$

 

Bung ra rồi đồng nhất hệ số tính $x^{*}_n \Rightarrow x_n$

$x^*_n$ chỉ mới là nghiệm riêng, có vẻ như bạn thiếu mất nghiệm của phương trình $U_{n+1}=2,1U_n$ rồi. Dù sao cũng thanks nha

ý mình cái này là dãy số cần tìm hay là 1 đk

Đó không phải là dãy cần tìm, cũng không là Đk.

$U_{n+1}=2,1U_n+n^2+1$ là một biểu thức truy hồi mà. Đề yêu cầu tìm công thức tổng quát của dãy đó mà

Cái $u_{n} +n^2+1$ rồi sao nữa

Xin lỗi, câu hỏi của bạn không rõ lắm, đề đúng mà.

Câu 1/

Đặt: $z-2=t\rightarrow PT: (t-2)^4+(t+2)^4=82\Leftrightarrow 2t^4+48t^2+32=82\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1\\ t=-1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} z=3\\ z=1 \end{bmatrix}$

Phatthemkem nhầm bõ thì phải???!!!!

Câu 2/

Ta có PT3: $z_1.z_2.z_3=1>0$ nên trong 3 số có ít nhất 1 số dương.

Giả sử là $z_1=1$

Khi đó $z_2+z_3=0$, do đó: $z_2=1;z_3=-1$ hoặc ngược lại. Mâu thuẫn vs PT 3.

Vậy hpt vô nghiệm

Bạn ơi, đề yêu cầu giải phương trình trên tập số phức mà, bạn làm thế khác gì giải hpt trên tập số thực rồi