Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $a^{3}+2=a^{3}+1+1\geq 3a$

 

                                            $b^{3}+2\geq 3b, c^{3}+2\geq 3c$

 

Do đó: $\frac{a}{a^{3}+2}+\frac{b}{b^{3}+2}+\frac{c}{c^{3}+2}\leq \frac{a}{3a}+\frac{b}{3b}+\frac{c}{3c}=1$

 

Như vậy thì giả thiết $a+b+c=3$ là thừa ak bạn???

Tính góc của tam giác ABC biết

$ 2.cosA.sinB.sinC + \sqrt{3}.( sinA + cosB + cosC) = \frac{17}{4}$

 

http://diendantoanho...nacosbcosc-170/

CMR: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\geq \frac{9}{2}$

Phải là $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}= \sqrt{2}-\sqrt{1}$ chứ

 

$\sqrt{1}$ và $1$ khác gì nhau ak bạn? Nhưng đề đã được sửa rồi nhé!

Ta có:$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{{2}-\sqrt{1}}{2-1}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$

Tương tự có:$VT=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1=10-1=9>\frac{9}{2}$ suy ra điều phải chứng minh

 

Xin lỗi, mk nhầm đề, đã fix!

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Cm:

$\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

 

http://diendantoanho...1y1zgeq-frac34/

Hai bài toán đâu có liên quan tới nhau 

 

Hai bài toán này họ hàng với nhau mà

Tính: $\frac{1}{90}-\frac{1}{36}-\frac{1}{28}-\frac{1}{21}-\frac{1}{15}-\frac{1}{10}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}$

Bấm máy tính ta có: $\frac{1}{90}-\frac{1}{36}-\frac{1}{28}-\frac{1}{21}-\frac{1}{15}-\frac{1}{10}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=-\frac{14}{15}$

Nói như bạn thì nói làm gì nữa.

Bài này phải rút gọn rồi mới tính chứ!

Bài này cũng dễ mà

Giải phương trình
$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}= x + 21$

 

Điều kiện: $x\neq 0$

 

Ta có: 

 

$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}= x + 21$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}= x + 21$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}{4x^2}= x + 21$

 

$\Leftrightarrow (3+\sqrt{9+2x})^2=2x+42$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{9+2x}=4$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-9}{2},x\neq 0\\ 9+2x=16 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{7}{2}$

pt liên hợp có 1 nghiệm là 2 còn phần này là m chưa c/m dc   

 

bạn up phương trình lên xem tí được không? hoặc gửi qua tin nhắn ấy )

với $\frac{-10}{3}\leq x\leq \frac{1}{4}$. c/m$\frac{3}{\sqrt{3x+10}+2}+\frac{4}{3+\sqrt{1-4x}}=x+1$ vô nghiệm

 

Cái này hình như xuất phát từ phương trình nào đó phải không bạn?

theo dự đoán thì 96,69% là từ một bt liên hợp     

Mình nghĩ đó là một phương trình giải bằng phương pháp liên hợp. Nhưng liên hợp mà không lấy hết nghiệm thì giải hoa mắt cũng không ra! Đề nghị chủ thớt post phương trình lên!

Giải phương trình: $\frac{3-4cosx-8sin^4x}{sin2x+cos2x}=\frac{1}{sin2x}$

Dễ dàng cm được $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}$
Ta cần CM : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \sum \frac{a}{b}\geq 2\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
Sử dụng BDT AM-GM :$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{3}}{bcd}}=4\frac{a}{\sqrt[4]{abcd}}$
Tương tự và cộng từng vế lại ta có đpcm

Cho mình hỏi một tí, giả sử $0< \frac{a}{b}\leq 1$ thì làm sao mà $\frac{a^2}{b^2}\geq \frac{a}{b}$ được bạn???

Chứng minh rằng:
a) $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
b) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
-------------------------------------
p/s: Đây là một bài trong bài tập tết của mình, nhưng mình lại không thấy điều kiện, mình đưa nguyên si lên để nhờ mọi người giúp, bài này mình nghĩ cần có thêm đk $a,b,c,d$ dương

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq\frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})^{2}+\frac{1}{2}(\frac{c}{d}+\frac{d}{a})^{2}\geq \frac{1}{4}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})^{2}$
AM-GM
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{abcd}{abcd}}=4$

Nhưng đề y/c chứng minh khác mà bạn, nó đâu có ra số cụ thể

Bạn dùng bất đẳng thức sau$a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$
sau đó dùng AM-GM

Bạn làm cụ thể dùm mình được không bạn?

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Ta có:

 

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}$ (Vì $a,b,c>0$)

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}\geq a+b+c$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số dương ta có:

 

$\frac{a^3}{bc}+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a\Rightarrow \frac{a^3}{bc}\geq 3a-b-c$

 

Tương tự: $\frac{b^3}{ca}\geq 3b-c-a,\frac{c^3}{ab}\geq 3c-a-b$

 

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có $đpcm$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Cho a,b,c$> 0.CMR \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

 

Theo BĐT Cauchy ta có:

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$

 

$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c$

 

$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$

 

$\Rightarrow 2\left ( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right )\geq 2(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c$

 

Dấu $'='$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Gọi a, b, c là dộ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và h_a,h_b,h_c là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh đó; l_a, l_b, l_c là độ dài các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C; r, R lần lượt là bán kinhs đường tròn nội tiếp và ngoai tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$

Sử dụng các công thức tính độ dài đường cao và đường phân giác của một tam giác theo độ dài các cạnh:
$h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$l_a=\frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$
trong đó $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$, ta được:
$\frac{h_a}{l_a}=\frac{b+c}{a\sqrt{bc}}\sqrt{(p-b)(p-c)}$ và hai hệ thức tương tự:
$\frac{h_b}{l_b}=\frac{c+a}{b\sqrt{ca}}\sqrt{(p-c)(p-a)}$
$\frac{h_c}{l_c}=\frac{a+b}{c\sqrt{ab}}\sqrt{(p-a)(p-b)}$
Từ đó, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$, ta được (với $S$ là diện tích tam giác):
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(b+c)(c+a)(a+b)(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{8S^2}{pabc}}=3\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
(vì $(b+c)(c+a)(a+b) \geq 8abc$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c, lúc đó $\Delta ABC$ đều.

Công thức nhị thức Newtơn là như thế nào vậy ai có thể trả lời giúp em được không?

 

Công thức nhị thức $Newton$:

 

$(a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+...+C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_nb^n$

 

trong đó $n$ là số nguyên dương, $C^k_n(k\in \mathbb{N},k\leq n)$ là các hệ số của nhị thức.

 

$C^k_n$ bằng số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử, tức là $C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}$  ($k!=1.2.3.4...k$ ; quy ước $0!=1$)

Đề không sai đâu bạn, mình lấy từ trang này: http://thinkzone.wlo...un/Triangle.htm

 

Mình đã vào nhưng không thấy đề, nên theo mình $D$ không thể là trung điểm của cạnh $AC$ được. Bởi nếu $D$ là trung điểm của $AC$ thì mình sẽ chứng minh được $\Delta ABC$ vuông tại $B$. Nhưng như thế thì không thỏa mãn giả thiết!

Đề: Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $E$ sao cho $BE = 2/3 BC$. Lấy $D$ là trung điểm cạnh $AC$. Biết rằng $\angle DAE=10^{o}$, $\angle EAB=70^{o}$, $\angle DBA=60^{o}$, $\angle EBD=20^{o}$. Tính góc $\angle DEA=20^{o}$.

 

bạn xem lại đề thử coi chứ mình giải thấy hình như sai đề!