Với mọi số x,y,z$\geq 1$ chứng minh:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

 

 

Với mọi x,y,z dương chứng minh :

$(1+x)(1+y)\geq (1+\sqrt{xy})^2$

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

câu 1 chúng ta nhân tung ra biến đổi tương đương cũng đk

Đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

 

Khi đó $VT=\sum \frac{xz}{2y^2+yz}=\sum \frac{(xz)^2}{2xy^2z+xyz^2}\geqslant \frac{(xy+yz+xz)^2}{3xyz(x+y+z)}\geqslant 1$

 

(do $(xy+yz+xz)^2\geqslant 3xyz(x+y+z)$ theo $AM-GM$)

 

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

Sai rồi ông bạn. Ngay từ dòng thứ 2

Mình thấy bạn ây làm đúng rồi mà sai sót gì đâu bạn 

$x^3-21x-20=(x-5)(x+4)(x+1)=0 nên pt có 3 nghiệm x=5 ,x=-4,x=-1$

$a^2+b^2+c^2 \geq 2(a+b+c)-3 \geq  a+b+c$ mà 

$\widehat{FKO}=180-\widehat{KEA}-\widehat{EAK}=90-\frac{\widehat{B}+\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{C}}{2}=\widehat{FOC}suy ra FOCK nội tiếp .....$xong nha

Hướng giải là cm CKFO nội tiếp

cách khác áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có $\sum \frac{a}{2b+1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+2ab+2bc+2ca}$ bđt đưa về cm $\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+2ab+2bc+2ca}>=1$ với $abc=1$ biến đổi nhân chéo sang ta có $\sum a^2\geq \sum a với abc=1 $rất dễ dàng

dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

$a^{2} \leq a$

từ đó đưa về

tìm max $\sum\frac{a}{a+c}$ bằng cách AMGM ngược dấu vs bđt bunhia phân thức

EM dùng textmaker mà sao đổ ra file pdf thì nó bảo file not found

Còn đổ ra DVI thì đưa tệp sang cho người khác thì họ đều không download đk

Cho em hỏi cách tạo khung trong textmaker là ntn

Trong buổi dạ hội,có 20 cặp vợ chồng tham dự.Trước khi chia tay họ trao đổi  địa chỉ với người khác . Một Người đàn ông nhận thấy số địa chỉ những người còn lại nhận được đôi một khác nhau. Hỏi rằng vợ ông ta đã trao đổi địa chỉ với bao nhiêu người khác

Trong 1 kì nghỉ hè,có 7 người bạn đi nghỉ matxa. Họ hứa với nhau là trong suốt thời gian nghỉ mỗi người phải viết thư cho đúng 3 người trong số họ. CMR có 1 người không viết thư trả lời cho người đã viết thư cho mình 

Trong  lớp học có 1 em học sinh chơi thân với 1 số lẻ bạn . CMR trong lớp có 2 em học sinh cùng chơi thân với một số chẵn bạn trong lớp

Chứng minh rằng trong khai triển thập phân của số $\sqrt{2}$ có 1 chữ số xuất hiện vô hạn lần 

có một người ngày nào cũng chơi cờ, nhưng 1 tuần anh ta không chơi quá 13 ván cờ.chứng minh rằng tồn tại 1 số ngày liên tiếp mà anh ta chơi đúng 20 ván.

cmr không thể phủ kín 1 vết mực hình tam giác có diện tích lớn hơn 1 bởi 1 đĩa giấy hình tròn bán kính 1 sao cho tâm của đĩa giấy hình tròn không rời vào vết mực

pt tương đương với $x+1-2x\sqrt{2+x-x^{2}}=0$  suy ra

$(\sqrt{2+x-x^{2}}-x)^{2}-1=0$ từ đó tìm được nghiệm của pt$

giải pt sau

$x^{2}-2x-1+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=0$

như thế không được hay với lại sẽ ko chắc là mất căn đâu

đặt 3x-2=a,x-1=b

ta đưa về giải hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2a-b+2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=2 & & \\ a-3b=1 & & \end{matrix}\right.$ là ok

áp dụng bđt miniowsky ta có $\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c}}\geq \sqrt{(\sum a)^{2}+(\sum \frac{1}{\sqrt{b+c}})}$ áp dụng bđt cauchy điểm rơi ở mẫu $\frac{1}{\sqrt{b+c}} rồi sd bđt \sum \frac{1}{x} \geq \frac{9}{\sum x}$

giải pt sau 

$\left\{\begin{matrix} (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})=1+y^{7} & & \\ (1+y)(1+y^{2})(1+y^{4})=1+x^{7}& & \end{matrix}\right.$

giải pt  sau

$x^{3}-x^{2}-8x+12 =0$

giải pt sau

   $\sqrt{2x^{2}+6x+1}=x+2$

giải hệ pt sau

$\left\{\begin{matrix} x-2y+\frac{x}{y}=6 & & \\ x^{2}-2xy-6y=0 & & \end{matrix}\right.$