Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR $P=a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\leq \frac{1}{12}$

Cho $S=5+5^{2}+5^{3}+...+5^{2016}$

CMR: S chia hết cho 6 ;31;26;126 

P/S:toán lớp 6->giải bằng cách lớp 6

Tìm tích 8 nghiệm phức của phương trình :$\frac{(x+1)^{9}-1}{x}=0$

Cho $f(x)$ có đạo hàm trên $(0;+\infty)$

CMR nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left [ f(x)+2013f(x)' \right ]=2014$ thì $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=2014$

Cho $\int_{0}^{1}f(x).x^{n}=0$ với mọi $n\in N$.CMR $f(1)=0$

Cho $f(x)$ liên tục trên R ;giả sử tồn tại 2 số $x_{1};x_{2}$ sao cho $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$.

CMR tồn tại 3 số $a,b,c$ sao cho $a< b< c;a+c=2b$ và $15f(a)+2f(b)+2014f(c)=0$

----Nguyên bản BK2014---------

 

 Cách khác cho câu 3

$u(x)\leq 1+\int_{0}^{x}\frac{\varphi '(t)u(t)dt}{\varphi (t)}$

Dễ thấy $ u(0) \leq 1$

 

$\Leftrightarrow u(x)-\varphi (x)  \leq  \int_{0}^{x} \frac{\varphi '(t)u(t)dt}{\varphi (t)}-\int_{0}^{x}\varphi '(t)dt=\int_{0}^{x}\left (\varphi '(t)( \frac{u(t)-\varphi (t)}{\varphi (t)})  \right ) dt $

Do $\varphi (t)$ đồng biến và $\varphi(0)=1 \Rightarrow \varphi (t)\geq 1 \forall t\in [0;\infty) $

$\Rightarrow u(x)-\varphi (x) \leq  \int_{0}^{x}\left (\varphi '(t)(u(x)-1)  \right ) dt=u(x)-\varphi (x)-\int_{0}^{x}\varphi '(x) $

$\Rightarrow \varphi(x)<1-\int_{0}^{x}u'(t)\varphi (t)dt ;\varphi(x)\geq 1 \forall x\in [0;\infty] \Rightarrow  u'(t)<0 $

Xét hàm số $g(x)=u(x)-\varphi (x) $

$g'(x)=u'(x)-\varphi' (x) <0 ;g(0)=u(0)-\varphi (0)<0 \Rightarrow g(x)<0 \forall x\in [0;\infty]$

 

Dòng này có vấn đề??

Bài 6 có thể chứng minh f=0.

Anh có thể giải thích rõ cho em được không ạ!

Câu 3:Do $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$ nên theo định lý trung gian tồn tại ít nhất 1   $x\in (x_{1};x_{2})$ (giả sử $x_{1}< x_{2}$) là nghiệm của $f(x)=0$

Trong các nghiệm đó phải có  $x_{0}$ sao cho tồn tại $\epsilon > 0$ đủ nhỏ để $x_{1}< x_{0}-\epsilon < x_{0}+\epsilon < x_{2}$ và 

với mọi $x\in (x_{0}-\epsilon ;x$_{0}$):f(x)< 0$

với mọi $x\epsilon (x^{0},x_{0}+\epsilon );f(x)> 0$ (TH ngược lại xét tương tự)

Đặt $g(x)=15f(x)+2f(x+\alpha )+2014f(x+2\alpha );\alpha \in (0;\frac{\epsilon }{3})$

$\Rightarrow g(x)$ liên tục

Chọn $x_{1}'\in (x_{0}-\epsilon ;x_{0}-2\alpha )\Rightarrow x,x+\alpha ,x+2\alpha \in (x_{0}-\epsilon ;x_{0})\Rightarrow g(x_{1}') < 0$

Chọn $x_{2}'\in (x_{0};x_{0}-2\alpha +\epsilon )\Rightarrow g(x_{2}')> 0$

Do $g(x_{1}').g(x_{2}')< 0$ nên pt g(x)=0 có tồn tại nghiệm ;chọn là x=b.Bài toán được chứng minh

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 

$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 

Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 

$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 

$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 

$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 

Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 

$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                             gt.jpg

 

                                                                                MÔN ĐẠI SỐ

 

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:

 

$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

 

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

 

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

 

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

 

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

 

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

 

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

                                              ds.jpg

Chi chem moi gt thoi nhe!

Cau 6 Vì f liên tục trên \left [ 0;1 \right ] nên tồn tại M=maxf(x);x\epsilon\in \left [ 0;1 \right ]

Sử dụng tính liên tục của f ta có với \epsilon > 0  cho trứớc tồn tại \left [ a;b \right ]\subset \left [ 0;1 \right ]  để f(x)\geq M-\frac{\epsilon }{2} với mọi x\in \left [ a;b \right ]

Ta có (\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\leq \int_{0}^{1}Mdx=M (1)

(\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (\int_{b}^{b}(M-\frac{\epsilon }{2})^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (M-\frac{\epsilon }{2})(a-b)^{\frac{1}{n}}\geq M-\frac{\epsilon }{2}(2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

1,Tính tổng chuỗi $\sum_{n=1}^{vocung }arctan(\frac{1}{2n^{2}})$

2,Giải phương trình $xy'+y+(y')^{2}=0$

Tìm hàm $f(x)$ thỏa mãn $f^{(n)}(0)=n.3^{n-1}$ với mọi $n\in N$

1,Tính đạo hàm cấp 2016 tại 0 của $f(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+4}$

2,Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{vocung}\frac{1}{2^{ln(n)}}$

Bài này làm thế nào vậy?

Cho a+b+c+d=2. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$

CMR với mọi số nguyên dương n>1 ta có :

$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5...\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}}}<3$

Vì n>1 nên ta có $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}}}^{2^{n-1}}<3^{2^{n-1}}$

                          $\Leftrightarrow 2^{2^{n-2}}3^{2^{n-3}}...n < 3^{2^{n-1}}$

Vẫn chưa làm được bạn ơi?Mình thử quy nạp nhưng k đc.

Cho 3 số a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. CMR: $\frac{\sqrt{a}}{1+a} +\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

Cho các số thực $a,b,c$ khác nhau từng đôi một thỏa mãn $a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$. CMR:$(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$

Cho các số x,y,z thỏa mãn $x\sqrt{1-2y^{2}}+y\sqrt{4-6z^{2}}+z\sqrt{15-3x^{2}}=4$. Tính giá trị của biểu thức P=$x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$

Cho a là 1 nghiệm dương của pt: $4x^{2}+\sqrt{2}.x-\sqrt{2}=0$. Tính giá trị của biểu thức A=$\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$

CMR với $n\geq 3$ ta luôn có BĐT:$\sqrt[3]{n}>\sqrt[4]{n+1}$

Số xấu quá, coi lại đề bài phần giả thiết.

Cho các số x,y thỏa mãn $(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$. Tính giá trị của x+y

Cho các số x,y,z thỏa mãn $x=y^{3}+y^{2}+y-2; y=z^{3}+z^{2}+z-2; z=x^{3}+x^{2}+x-2$. Tính giá trị biểu thức $A=x+2y^{2}+3z^{3}$