Đã gửi bởi
MÔN GIẢI TÍCH
Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:
$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$
Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:
$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.
Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời:
$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và
$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$
Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:
Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$
Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$
MÔN ĐẠI SỐ
Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:
$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$
a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.
b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.
Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.
a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.
b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.
c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.
Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$
a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.
b) Tìm $BA$
Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng: $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.
Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$
Chi chem moi gt thoi nhe!
Cau 6 Vì f liên tục trên \left [ 0;1 \right ] nên tồn tại M=maxf(x);x\epsilon\in \left [ 0;1 \right ]
Sử dụng tính liên tục của f ta có với \epsilon > 0 cho trứớc tồn tại \left [ a;b \right ]\subset \left [ 0;1 \right ] để f(x)\geq M-\frac{\epsilon }{2} với mọi x\in \left [ a;b \right ]
Ta có (\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\leq \int_{0}^{1}Mdx=M (1)
(\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (\int_{b}^{b}(M-\frac{\epsilon }{2})^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (M-\frac{\epsilon }{2})(a-b)^{\frac{1}{n}}\geq M-\frac{\epsilon }{2}(2)
Từ (1),(2) suy ra đpcm
